Các bài toán hay

[hunter_dk]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình xin tiên phong trước, các bạn cùng tham gia cho zui !

Tìm GTLN của : y=[tex]\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a} [/tex]
Biết : a+b+c=3/4 và a,b,c>0

Các bạn cùng giải cho zui !

 

[potter.2008]

Mình xin tiên phong trước, các bạn cùng tham gia cho zui !

Tìm GTLN của : y=[tex]\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a} [/tex]
Biết : a+b+c=3/4 và a,b,c>0

Các bạn cùng giải cho zui !

tớ giải thử thế này nha..!!
Cái này theo BĐT Co-Si đúng ko bạn ...
[tex]\sqrt[3]{(a+3b).1.1}\leq \frac{a+3b+1+1}{3}[/tex]
tương tự với những cái còn lại ..!!
suy ra GTLN là 3 đúng ko bạn ..

 

[hunter_dk]

Chính xác rồi !
hèm chờ bữa giờ mà chẳng thấy ai tham gia topic này, thôi đành "độc tấu" tiếp zậy. ( Nếu potter rãnh thì thử tiếp nào).

Tìm m để pt có nghiệm :

([tex]\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2} + 2)m = 2\sqrt{1-x^4} + \sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2} [/tex]

Ah` nhân tiện nếu có bài gì hay thì post lên cho tớ học hỏi zới !

 

[potter.2008]

Chính xác rồi !
hèm chờ bữa giờ mà chẳng thấy ai tham gia topic này, thôi đành "độc tấu" tiếp zậy. ( Nếu potter rãnh thì thử tiếp nào).

Tìm m để pt có nghiệm :

([tex]\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2} + 2)m = 2\sqrt{1-x^4} + \sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2} [/tex]

Ah` nhân tiện nếu có bài gì hay thì post lên cho tớ học hỏi zới !

tớ làm thử nha :
Đặt [tex]\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2} =t [/tex]rùi biểu diễn [tex]2\sqrt{1-x^4}=2-t^2[/tex] ..ko bít có sai số ko nữa ...nhưng hướng là thế ......sau đó chỉ cần tìm điều kiện của pt bậc 2 thui mà ....ok..
xin lỗi nha .tớ hơi bận ..lúc nào rảnh tớ sẽ post lên vài bài vậy ..

 

[nhuthao123]

Mấy bạn làm thử bài này nhé:
Định m để pt sau có nghiệm:
[tex] \sqrt[2]{3+x} + \sqrt[2]{6-x} - \sqrt[2]{(3+x)(6-x)}=m [/tex]

 

[giangln.thanglong11a6]

Bài này dễ thế mà cũng post.

Đặt [TEX]\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}=t>0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sqrt{(3+x)(6-x)}=\frac{{t}^{2}-9}{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow t\geq 3[/TEX]

Theo BĐT Cauchy-Schwarz [TEX]t\leq \sqrt{2(3+x+6-x)}=3\sqrt{2}[/TEX]

Khảo sat hàm bậc hai [TEX]t-\frac{{t}^{2-9}}{2}[/TEX]

với [TEX]t\epsilon [3;3\sqrt{2}][/TEX]

ta thu được [TEX]m\epsilon [\frac{6\sqrt{2}-9}{2};3][/TEX]

 

[hunter_dk]

hi`hi`
Có lẽ chỗ này bạn nhầm

Theo BĐT Cauchy-Schwarz [TEX]t\leq \sqrt{2(3+x+6-x)}=3\sqrt{2}[/TEX]

Cái này là BDT Bu-nhi-a-cốp-xki chứ đâu fải Co-sy

 

[giangln.thanglong11a6]

Ông hunter biết gì mà nói. Tên quốc tế của Bunyacovski là Cauchy-Schwarz. Thử lên mathlink.ro đánh Bunyacovski xem bọn nó có hiểu gì không.

 

[hunter_dk]

Sorry , sau khi kiểm tra lại thì đúng là Bu-nhi-a tên quốc tế là Cauchy-Schwarz
b-(b-(b-(b-(
Tại hồi giờ hok để ý tên quốc tế nên nhầm.

Thành thật xin lỗi /

 

[bo_kinh_van]

Ông hunter biết gì mà nói. Tên quốc tế của Bunyacovski là Cauchy-Schwarz. Thử lên mathlink.ro đánh Bunyacovski xem bọn nó có hiểu gì không.

kinh thế .....tên cac BĐT đó vẫn được gọi theo các tên thông thường mà ..ko sao cả..miễn hiểu là được

 

[giangln.thanglong11a6]

Ông hunter thích BĐT AM-GM (ở VN gọi là Cauchy) thì tôi cho 1 bài.
Cho a, b, c dương. CMR:

[TEX]3{({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3})}^{2}\geq {({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}^{3}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
Nếu thấy khó thì cứ thử giải với trường hợp [TEX]{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} = 3[/TEX] xem sao.

@hunter_dk : Sao ông lại ra đề BĐT ở mục "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số" ?

 

[potter.2008]

Ông hunter thích BĐT AM-GM (ở VN gọi là Cauchy) thì tôi cho 1 bài.
Cho a, b, c dương. CMR:

[TEX]3{({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3})}^{2}\geq {({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}^{3}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
Nếu thấy khó thì cứ thử giải với trường hợp [TEX]{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} = 3[/TEX] xem sao.

@hunter_dk : Sao ông lại ra đề BĐT ở mục "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số" ?

định giải theo kiểu AM-GM mà thui để ông hunter-dk giải vậy..ko ông bới chít ...
giải cách khác vậy ...ko phật lòng ai cả...
bài này có lẽ theo Holder thì hay hơn đó ......
[tex]({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3})({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3})(1+1+1)\geq ({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})^3[/tex]

 

[giangln.thanglong11a6]

Anh potter.2008 ơi có phải ai cũng học Holder đâu, chỉ có dân chuyên Toán thôi.
BĐT Holder được suy thẳng từ AM-GM mà, nên dùng AM-GM cho nó đơn giản.

 

[giangln.thanglong11a6]

Ông hunter không giải được thì mình đành tự sướng thôi.
Đặt [TEX]{k}^{2}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{3} (k>0)[/TEX]
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương ta có:
[TEX]{a}^{3}+{a}^{3}+{k}^{3}\geq 3\sqrt[3]{{a}^{3}{a}^{3}{k}^{3}}=3{a}^{2}k[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow {a}^{3}\geq \frac{3{a}^{2}k-{k}^{3}}{2}[/TEX]
Xây dựng 2 BĐT tương tự với b, c rồi cộng lại ta có:
[TEX]{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}\geq \frac{3k({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-{k}^{2})}{2}=k({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})[/TEX]
Bình phương rồi rút gọn là xong.

 

[hunter_dk]

hi` hi` đúng là bữa giờ chưa giải ra nên "trốn" chưa dám lên /
nay thấy có bài giải rồi mới dám "vác" cái mặt lên đây nè

 

[hunter_dk]

Tới lượt tớ ra đề mọi người cùng giải thử nè:

Cho Parabol : (P): y=2x^2+1
(d): y=mx+m-2

Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B khi đó tìm quỹ tích trung điểm AB

 

[hunter_dk]

Còn một bài này nữa

Nếu giải được bài trên rồi thì thử tiếp bài này :

Cho (C) : y=x^3-3x^2+4x-1
(d): y=mx-2m+3
Cm \forall m (d) và (C) luôn luôn có 1 điểm chung là I. Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I,A,B. Khi đó hãy tìm quỹ tích trung điểm A,B

kekekekekek poster đâu rồi zô giải thử đi nào
cả giangln.thanglong giải thử luôn di nào

 

[giangln.thanglong11a6]

Lâu mới thấy ông hunter lên.

Hoành độ A, B là nghiệm PT [TEX]2{x}^{2}-mx+3-m=0[/TEX]

[TEX]\Delta ={m}^{2}+8m-24>0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow m\epsilon (-\propto ;-4-2\sqrt{10})\bigcup (-4+2\sqrt{10};+\propto )[/TEX]

Gọi I là trung điểm AB

[TEX]{x}_{I}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{2}=\frac{m}{4} (Viete) [/TEX]

[TEX]{y}_{I}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}=\frac{{m}^{2}}{4}+m-2[/TEX]

Vậy I[TEX]\epsilon [/TEX]parabol [TEX]y=4{x}^{2}+4x-2[/TEX]
[TEX]{x}_{I} \epsilon (-\propto ;-1-\frac{\sqrt{10}}{2})\bigcup (-1+\frac{\sqrt{10}}{2};+\propto )[/TEX]

 

[giangln.thanglong11a6]

Bài 1 đấy. Còn bài 2 thì sai đề rồi nhìn lại đi. Mà ông hunter chả chịu thank phát nào.

 

[potter.2008]

Nếu giải được bài trên rồi thì thử tiếp bài này :

Cho (C) : y=x^3-3x^2+4x-1
(d): y=mx-2m+3
Cm \forall m (d) và (C) luôn luôn có 1 điểm chung là I. Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I,A,B. Khi đó hãy tìm quỹ tích trung điểm A,B

kekekekekek potter đâu rồi zô giải thử đi nào
cả giangln.thanglong giải thử luôn di nào

tớ chưa thử làm nhưng mà nhìn giangln bảo sai đề nên cũng ngại làm ..
theo tớ cái dạng này thì chắc chắn (C) và (d) luôn có 1 nghiệm thực ko đi với tham số hoặc cả hai cùng đi qua 1 điểm cố định ( cái này có thể tìm ra ) ...
còn câu tìm m thì khi đã biết được điểm I thì hai điểm A, B còn lại là hai nghiệm của pt bậc 2 mà thui..cách giải giống như cách của bạn giangln thui.........