[BĐT] Khóa HSG thầy Trần Phương_Lê Đức Việt

[hocmai.toanhoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Khóa bồi dưỡng HSG thầy Trần Phương_Lê Đức Việt​

Với mục đích cùng trao đổi, thảo luận, giải đáp các vấn đề về các bài giảng, bài tập trong khóa Bồi dưỡng HSG thầy Trần Phương_Lê Đức Việt. Giúp các em hiểu sâu và thành thạo hơn các kiến thức về BĐT.
Lưu ý: với các bạn đặt câu hỏi cần ghi rõ lại đề bài (hoặc chụp ảnh rõ nét)

 

[hocmai.toanhoc]

Gọi ý giải bài 1.10 + 1.12
Bài 1.10:
\[\begin{array}{l}
a,b,c \ge 0.\frac{a}{{1 + a}} + \frac{{2b}}{{1 + b}} + \frac{{3c}}{{1 + c}} \le 1,CMR:a{b^2}{c^3} \le \frac{1}{{{5^6}}}\\
+ )\frac{a}{{1 + a}} + \frac{{2b}}{{1 + b}} + \frac{{3c}}{{1 + c}} \le 1 \leftrightarrow \frac{1}{{1 + a}} + \frac{2}{{1 + b}} + \frac{3}{{1 + c}} \ge 5\\
= > \frac{1}{{a + 1}} \ge 2 - \frac{2}{{1 + b}} + 3 - \frac{3}{{1 + b}} = \frac{{2b}}{{1 + b}} + \frac{{3c}}{{1 + c}} \ge 5\sqrt[5]{{\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {1 + b} \right)}^2}}}.\frac{{{c^3}}}{{{{\left( {1 + c} \right)}^3}}}}}\\
\frac{1}{{1 + b}} \ge \frac{a}{{1 + a}} + \frac{b}{{1 + b}} + \frac{{3c}}{{1 + c}} \ge 5\sqrt[5]{{\frac{a}{{1 + a}}.\frac{b}{{1 + b}}.\frac{{{c^3}}}{{{{\left( {1 + c} \right)}^3}}}}}\\
\frac{1}{{1 + c}} \ge \frac{a}{{1 + a}} + \frac{{2b}}{{1 + b}} + \frac{{2c}}{{1 + c}} \ge 5\sqrt[5]{{\frac{a}{{1 + a}}.\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {1 + b} \right)}^2}}}.\frac{{{c^2}}}{{{{\left( {1 + c} \right)}^2}}}}}
\end{array}\]

\[\begin{array}{l}
= > \frac{1}{{1 + a}}.{\left( {\frac{1}{{1 + b}}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{1 + c}}} \right)^3} \ge {5^6}\frac{{a{b^2}{c^3}}}{{\left( {1 + a} \right){{\left( {1 + b} \right)}^2}{{\left( {1 + c} \right)}^3}}}\\
= > dpcm
\end{array}\]

 

[hocmai.toanhoc]

Bài 1.12: Cho

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{a_i} \in \left[ {0;1} \right)\\
{a_1} + .. + {a_n} \le 1
\end{array} \right..CMR:\frac{{{a_1}...{a_n}}}{{\left( {1 - {a_1}} \right)...\left( {1 - {a_n}} \right)}} \le \frac{1}{{{{\left( {n - 1} \right)}^n}}}\\
\frac{{{a_1}...{a_n}}}{{\left( {1 - {a_1}} \right)...\left( {1 - {a_n}} \right)}} \le \frac{1}{{{{\left( {n - 1} \right)}^n}}} \leftrightarrow {a_1}...{a_n}.{\left( {n - 1} \right)^n} = \left( {1 - {a_1}} \right)...\left( {1 - {a_n}} \right)\\
\left( {1 - {a_1}} \right)...\left( {1 - {a_n}} \right) = \left( {{a_2} + ... + {a_n}} \right)...\left( {{a_1} + .... + {a_{n - 1}}} \right) \ge \left( {n - 1} \right)\sqrt[{n - 1}]{{{a_2}...{a_n}}}.......\left( {n - 1} \right)\sqrt[{n - 1}]{{{a_1}...{a_{n - 1}}}} = {\left( {n - 1} \right)^n}.{a_1}...{a_n}\\
= > dpcm
\end{array}\]

 

[hocmai.toanhoc]

Một số bài tập về BĐT COSI- trong khóa học
II. KĨ THUẬT TÁCH CÁC PHẦN TỬ NGHỊCH ĐẢO
1. Chứng minh rằng: $a+\frac{4{{a}^{3}}}{(a-1){{(a+1)}^{3}}}>3$ với mọi $a>1$
2. Chứng minh rằng: $2a+\frac{32}{(a-b){{(2b+3)}^{2}}}\ge 5$ với mọi a > b >= 0
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\frac{\left( {{a}^{2}}+16\left| \text{ }a\text{ } \right|+48 \right)\left( {{a}^{2}}+12\left| \text{ }a\text{ } \right|+27 \right)}{{{a}^{2}}}$
4. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b>0 \\
& a+b\ge 4 \\
\end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$S=2a+3b+\frac{6}{a}+\frac{10}{b}$
5. Cho a, b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\frac{{{a}^{2}}}{b-1}+\frac{{{b}^{2}}}{a-1}$
6. Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = $a+{{b}^{2}}+{{c}^{3}}+\tfrac{1}{abc}$
7. Cho $a,b,c\ge 0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt[4]{\tfrac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\tfrac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\tfrac{c}{a+b}}+\sqrt{\tfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}+\sqrt{\tfrac{a+b}{c}}$
8. Cho a thuộc [-1, 1]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S={{a}^{5}}-3{{a}^{4}}+{{a}^{3}}+8{{a}^{2}}-14a+\frac{1}{{{a}^{3}}-{{a}^{2}}-3a+4}$
9. Cho a thuộc [-2, 2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S={{a}^{5}}-7{{a}^{4}}+13{{a}^{3}}+14{{a}^{2}}-72a+\frac{1}{{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+13}$
10. Cho $a\in \left[ -\sqrt{3},\sqrt{3} \right]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = $\frac{{{a}^{6}}-10{{a}^{5}}+19{{a}^{4}}+62{{a}^{3}}-151{{a}^{2}}-96a+257}{{{a}^{3}}-5{{a}^{2}}-3a+16}$
Các bài tập về điểm rơi cố định
1. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c\ge 0 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1 \\
\end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =$a+b+c+\tfrac{1}{abc}$
2. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = $\left( 1+\frac{2a}{3b} \right)\left( 1+\frac{2b}{3c} \right)\left( 1+\frac{2c}{3d} \right)\left( 1+\frac{2d}{3a} \right)$
3. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c\ge \tfrac{3}{2} \\
\end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}}$
4. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c\le \tfrac{3}{2} \\
\end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$S=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}}$
5. Cho a,b,c > 0 và a = Max{a,b,c}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S=\frac{a}{b}+$2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

6. Cho T = ${\left[ \frac{a}{(a-b)(ab-1)} \right]}^2+{{\left[ \frac{b}{(a-b)({{a}^{2}}-1)} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{{{a}^{3}}b}{(ab-1)({{a}^{2}}-1)} \right]}^{2}}$,
trong đó a, b thuộc R và a # b; ab # 1; |a|#1. Chứng minh rằng: ${{T}^{2}}+3.{{T}^{-1}}>10$
7. Cho $a>\frac{1}{2};\ b>\frac{5}{3};\ c>\frac{11}{4}$. Chứng minh rằng: $T=a+b+c+\frac{1}{\sqrt{2a-1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3b-5}}+\frac{1}{\sqrt[4]{4c-11}}\ge 9$

 

[hien_vuthithanh]

Một số bài tập về BĐT COSI- trong khóa học
II. KĨ THUẬT TÁCH CÁC PHẦN TỬ NGHỊCH ĐẢO
2. Chứng minh rằng: $2a+\frac{32}{(a-b){{(2b+3)}^{2}}}\ge 5$ với mọi a > b >= 0
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\dfrac{\left( {{a}^{2}}+16\left| \text{ }a\text{ } \right|+48 \right)\left( {{a}^{2}}+12\left| \text{ }a\text{ } \right|+27 \right)}{{{a}^{2}}}$
4. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b>0 \\
& a+b\ge 4 \\
\end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$S=2a+3b+\frac{6}{a}+\frac{10}{b}$
5. Cho a, b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\dfrac{{{a}^{2}}}{b-1}+\dfrac{{{b}^{2}}}{a-1}$

2.$2(a-b)+\dfrac{2b+3}{2}+\dfrac{2b+3}{2}+\dfrac{32}{(a-b){{(2b+3)}^{2}}}-3\ge 4\sqrt[4]{16}-3=5$

3.Đặt $|a|=t \ge 0$

$S= \dfrac{(t+4)(t+12)(t+3)(t+9)}{t^2}=\dfrac{(t^2+13t+36)(t^2+15t+36)}{t^2}=(t+\dfrac{36}{t}+13)(t+ \dfrac{36}{t}+15) \ge (2\sqrt{36}+13)(2\sqrt{36}+15)=675$

4. $S=(\dfrac{3}{2}a+ \dfrac{6}{a})+(\dfrac{5}{2}a+ \dfrac{10}{b})+ \dfrac{1}{2}(a+b) \ge 6+10+\dfrac{1}{2}.4=18$

5. $\dfrac{{{a}^{2}}}{b-1}+4(b-1) \ge 4a$

$\dfrac{{{b}^{2}}}{a-1}+4(a-1) \ge 4b$

Cộng theo vế được $S \ge 8$

 

[hocdethithilado]

bất dang thuc

giúp em câu này với;
cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=1
tìm giá trị lớn nhất của P=(a-b)^3 +(b-c)^3 + (c-a)^3

 

[nguyenthingocphu]

Thầy ơi cho em hỏi câu này với ạ
Cho số nguyên dương A gồm 2005 chữ số khác 0;1;4;9
(1) chứng minh luôn tồn tại các chữ số liên tiếp của A sao cho tích P của các chữ số này là một số chính phương
(2) tồn tại hay không các chữ số liên tiếp của A thỏa điều kiện (1) mà P>$2^(1973)$. Giải thích cho ví dụ

 

[t0989791873]

Ví dụ 1.7 làm như the nào vậy thầy?

 

[Thầy Lê Thiệu]

Ví dụ 1.7 làm như the nào vậy thầy?

Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}>0$

Ta có $$\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}=\frac{a}{b}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{c}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{c}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}>6\sqrt[6]{\frac{a}{b}.\frac{1}{4}\frac{b}{c}.\frac{1}{27}\frac{c}{a}}=\frac{6}{\sqrt[6]{108}}>\frac{5}{2}$$

 

[Thầy Lê Thiệu]

Sửa lại cái đề chút bài 1. 7. Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}>\frac{5}{2}$

 

[nguyen tien dat123]

Gọi ý giải bài 1.10 + 1.12
Bài 1.10:
\[\begin{array}{l}
a,b,c \ge 0.\frac{a}{{1 + a}} + \frac{{2b}}{{1 + b}} + \frac{{3c}}{{1 + c}} \le 1,CMR:a{b^2}{c^3} \le \frac{1}{{{5^6}}}\\
+ )\frac{a}{{1 + a}} + \frac{{2b}}{{1 + b}} + \frac{{3c}}{{1 + c}} \le 1 \leftrightarrow \frac{1}{{1 + a}} + \frac{2}{{1 + b}} + \frac{3}{{1 + c}} \ge 5\\
= > \frac{1}{{a + 1}} \ge 2 - \frac{2}{{1 + b}} + 3 - \frac{3}{{1 + b}} = \frac{{2b}}{{1 + b}} + \frac{{3c}}{{1 + c}} \ge 5\sqrt[5]{{\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {1 + b} \right)}^2}}}.\frac{{{c^3}}}{{{{\left( {1 + c} \right)}^3}}}}}\\
\frac{1}{{1 + b}} \ge \frac{a}{{1 + a}} + \frac{b}{{1 + b}} + \frac{{3c}}{{1 + c}} \ge 5\sqrt[5]{{\frac{a}{{1 + a}}.\frac{b}{{1 + b}}.\frac{{{c^3}}}{{{{\left( {1 + c} \right)}^3}}}}}\\
\frac{1}{{1 + c}} \ge \frac{a}{{1 + a}} + \frac{{2b}}{{1 + b}} + \frac{{2c}}{{1 + c}} \ge 5\sqrt[5]{{\frac{a}{{1 + a}}.\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {1 + b} \right)}^2}}}.\frac{{{c^2}}}{{{{\left( {1 + c} \right)}^2}}}}}
\end{array}\]

\[\begin{array}{l}
= > \frac{1}{{1 + a}}.{\left( {\frac{1}{{1 + b}}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{1 + c}}} \right)^3} \ge {5^6}\frac{{a{b^2}{c^3}}}{{\left( {1 + a} \right){{\left( {1 + b} \right)}^2}{{\left( {1 + c} \right)}^3}}}\\
= > dpcm
\end{array}\]

cho minh hoi cau 1.10 loi giai dong so 2 . tai sao suy ra duoc 1/(1+a) + 2/(1+b) +3/(1+c) >= 5 vay?

 

[Thầy Lê Thiệu]

cho minh hoi cau 1.10 loi giai dong so 2 . tai sao suy ra duoc 1/(1+a) + 2/(1+b) +3/(1+c) >= 5 vay?

$$\Leftrightarrow 1 - \frac{a}{{1 + a}} + 2 - \frac{{2b}}{{1 + b}} + 3 - \frac{{3c}}{{1 + c}} \ge 6 - 1$$
$$\Leftrightarrow .........................................................$$

 

[maiatenea@gmail.com]

3. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c\ge \tfrac{3}{2} \\
\end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}}$
5. Cho a,b,c > 0 và a = Max{a,b,c}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S=\frac{a}{b}+$2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

6. Cho T = ${\left[ \frac{a}{(a-b)(ab-1)} \right]}^2+{{\left[ \frac{b}{(a-b)({{a}^{2}}-1)} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{{{a}^{3}}b}{(ab-1)({{a}^{2}}-1)} \right]}^{2}}$,
trong đó a, b thuộc R và a # b; ab # 1; |a|#1. Chứng minh rằng: ${{T}^{2}}+3.{{T}^{-1}}>10$

Thầy ơi cho e hỏi cách giải 3 bài này với ạ

 

[maiatenea@gmail.com]

Thầy giúp e bài 3, bài 5, bài 6 trong phần các bài tập về điểm rơi cố định ạ

 

[t0989791873]

Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}>0$

Ta có $$\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}=\frac{a}{b}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{c}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{c}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}>6\sqrt[6]{\frac{a}{b}.\frac{1}{4}\frac{b}{c}.\frac{1}{27}\frac{c}{a}}=\frac{6}{\sqrt[6]{108}}>\frac{5}{2}$$

Cảm ơn nhiều

 

[t0989791873]

Bài 7 Bài tập tự luyện phần 4 . Ai giải giúp với:
$$Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{1}{9}. CMR: S= (2b+2c-a)^{2}+ (2c+2a-b)^{2}+(2a+2b-c)^{2}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$$