[BĐT] Khóa HSG thầy Trần Phương_Lê Đức Việt

Thảo luận trong 'Chuyên đề 10: Bất đẳng thức, tìm Min-Max' bắt đầu bởi hocmai.toanhoc, 30 Tháng mười hai 2015.

Lượt xem: 2,289

  1. Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Khóa bồi dưỡng HSG thầy Trần Phương_Lê Đức Việt
    Với mục đích cùng trao đổi, thảo luận, giải đáp các vấn đề về các bài giảng, bài tập trong khóa Bồi dưỡng HSG thầy Trần Phương_Lê Đức Việt. Giúp các em hiểu sâu và thành thạo hơn các kiến thức về BĐT.
    Lưu ý: với các bạn đặt câu hỏi cần ghi rõ lại đề bài (hoặc chụp ảnh rõ nét)
     
  2. Gọi ý giải bài 1.10 + 1.12
    Bài 1.10:
    \[\begin{array}{l}
    a,b,c \ge 0.\frac{a}{{1 + a}} + \frac{{2b}}{{1 + b}} + \frac{{3c}}{{1 + c}} \le 1,CMR:a{b^2}{c^3} \le \frac{1}{{{5^6}}}\\
    + )\frac{a}{{1 + a}} + \frac{{2b}}{{1 + b}} + \frac{{3c}}{{1 + c}} \le 1 \leftrightarrow \frac{1}{{1 + a}} + \frac{2}{{1 + b}} + \frac{3}{{1 + c}} \ge 5\\
    = > \frac{1}{{a + 1}} \ge 2 - \frac{2}{{1 + b}} + 3 - \frac{3}{{1 + b}} = \frac{{2b}}{{1 + b}} + \frac{{3c}}{{1 + c}} \ge 5\sqrt[5]{{\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {1 + b} \right)}^2}}}.\frac{{{c^3}}}{{{{\left( {1 + c} \right)}^3}}}}}\\
    \frac{1}{{1 + b}} \ge \frac{a}{{1 + a}} + \frac{b}{{1 + b}} + \frac{{3c}}{{1 + c}} \ge 5\sqrt[5]{{\frac{a}{{1 + a}}.\frac{b}{{1 + b}}.\frac{{{c^3}}}{{{{\left( {1 + c} \right)}^3}}}}}\\
    \frac{1}{{1 + c}} \ge \frac{a}{{1 + a}} + \frac{{2b}}{{1 + b}} + \frac{{2c}}{{1 + c}} \ge 5\sqrt[5]{{\frac{a}{{1 + a}}.\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {1 + b} \right)}^2}}}.\frac{{{c^2}}}{{{{\left( {1 + c} \right)}^2}}}}}
    \end{array}\]

    \[\begin{array}{l}
    = > \frac{1}{{1 + a}}.{\left( {\frac{1}{{1 + b}}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{1 + c}}} \right)^3} \ge {5^6}\frac{{a{b^2}{c^3}}}{{\left( {1 + a} \right){{\left( {1 + b} \right)}^2}{{\left( {1 + c} \right)}^3}}}\\
    = > dpcm
    \end{array}\]
     
  3. Bài 1.12: Cho

    \[\begin{array}{l}
    \left\{ \begin{array}{l}
    {a_i} \in \left[ {0;1} \right)\\
    {a_1} + .. + {a_n} \le 1
    \end{array} \right..CMR:\frac{{{a_1}...{a_n}}}{{\left( {1 - {a_1}} \right)...\left( {1 - {a_n}} \right)}} \le \frac{1}{{{{\left( {n - 1} \right)}^n}}}\\
    \frac{{{a_1}...{a_n}}}{{\left( {1 - {a_1}} \right)...\left( {1 - {a_n}} \right)}} \le \frac{1}{{{{\left( {n - 1} \right)}^n}}} \leftrightarrow {a_1}...{a_n}.{\left( {n - 1} \right)^n} = \left( {1 - {a_1}} \right)...\left( {1 - {a_n}} \right)\\
    \left( {1 - {a_1}} \right)...\left( {1 - {a_n}} \right) = \left( {{a_2} + ... + {a_n}} \right)...\left( {{a_1} + .... + {a_{n - 1}}} \right) \ge \left( {n - 1} \right)\sqrt[{n - 1}]{{{a_2}...{a_n}}}.......\left( {n - 1} \right)\sqrt[{n - 1}]{{{a_1}...{a_{n - 1}}}} = {\left( {n - 1} \right)^n}.{a_1}...{a_n}\\
    = > dpcm
    \end{array}\]
     

  4. Một số bài tập về BĐT COSI- trong khóa học
    II. KĨ THUẬT TÁCH CÁC PHẦN TỬ NGHỊCH ĐẢO
    1. Chứng minh rằng: $a+\frac{4{{a}^{3}}}{(a-1){{(a+1)}^{3}}}>3$ với mọi $a>1$
    2. Chứng minh rằng: $2a+\frac{32}{(a-b){{(2b+3)}^{2}}}\ge 5$ với mọi a > b >= 0
    3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\frac{\left( {{a}^{2}}+16\left| \text{ }a\text{ } \right|+48 \right)\left( {{a}^{2}}+12\left| \text{ }a\text{ } \right|+27 \right)}{{{a}^{2}}}$
    4. Cho $\left\{ \begin{align}
    & a,b>0 \\
    & a+b\ge 4 \\
    \end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=2a+3b+\frac{6}{a}+\frac{10}{b}$
    5. Cho a, b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\frac{{{a}^{2}}}{b-1}+\frac{{{b}^{2}}}{a-1}$
    6. Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = $a+{{b}^{2}}+{{c}^{3}}+\tfrac{1}{abc}$
    7. Cho $a,b,c\ge 0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt[4]{\tfrac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\tfrac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\tfrac{c}{a+b}}+\sqrt{\tfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}+\sqrt{\tfrac{a+b}{c}}$
    8. Cho a thuộc [-1, 1]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S={{a}^{5}}-3{{a}^{4}}+{{a}^{3}}+8{{a}^{2}}-14a+\frac{1}{{{a}^{3}}-{{a}^{2}}-3a+4}$
    9. Cho a thuộc [-2, 2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S={{a}^{5}}-7{{a}^{4}}+13{{a}^{3}}+14{{a}^{2}}-72a+\frac{1}{{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+13}$
    10. Cho $a\in \left[ -\sqrt{3},\sqrt{3} \right]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = $\frac{{{a}^{6}}-10{{a}^{5}}+19{{a}^{4}}+62{{a}^{3}}-151{{a}^{2}}-96a+257}{{{a}^{3}}-5{{a}^{2}}-3a+16}$
    Các bài tập về điểm rơi cố định
    1. Cho $\left\{ \begin{align}
    & a,b,c\ge 0 \\
    & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1 \\
    \end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = $a+b+c+\tfrac{1}{abc}$
    2. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = $\left( 1+\frac{2a}{3b} \right)\left( 1+\frac{2b}{3c} \right)\left( 1+\frac{2c}{3d} \right)\left( 1+\frac{2d}{3a} \right)$
    3. Cho $\left\{ \begin{align}
    & a,b,c>0 \\
    & a+b+c\ge \tfrac{3}{2} \\
    \end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}}$
    4. Cho $\left\{ \begin{align}
    & a,b,c>0 \\
    & a+b+c\le \tfrac{3}{2} \\
    \end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}}$
    5. Cho a,b,c > 0 và a = Max{a,b,c}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    S=\frac{a}{b}+$2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

    6. Cho T = ${\left[ \frac{a}{(a-b)(ab-1)} \right]}^2+{{\left[ \frac{b}{(a-b)({{a}^{2}}-1)} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{{{a}^{3}}b}{(ab-1)({{a}^{2}}-1)} \right]}^{2}}$,
    trong đó a, b thuộc R và a # b; ab # 1; |a|#1. Chứng minh rằng: ${{T}^{2}}+3.{{T}^{-1}}>10$
    7. Cho $a>\frac{1}{2};\ b>\frac{5}{3};\ c>\frac{11}{4}$. Chứng minh rằng: $T=a+b+c+\frac{1}{\sqrt{2a-1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3b-5}}+\frac{1}{\sqrt[4]{4c-11}}\ge 9$

     
  5. 2.$2(a-b)+\dfrac{2b+3}{2}+\dfrac{2b+3}{2}+\dfrac{32}{(a-b){{(2b+3)}^{2}}}-3\ge 4\sqrt[4]{16}-3=5$

    3.Đặt $|a|=t \ge 0$

    $S= \dfrac{(t+4)(t+12)(t+3)(t+9)}{t^2}=\dfrac{(t^2+13t+36)(t^2+15t+36)}{t^2}=(t+\dfrac{36}{t}+13)(t+ \dfrac{36}{t}+15) \ge (2\sqrt{36}+13)(2\sqrt{36}+15)=675$

    4. $S=(\dfrac{3}{2}a+ \dfrac{6}{a})+(\dfrac{5}{2}a+ \dfrac{10}{b})+ \dfrac{1}{2}(a+b) \ge 6+10+\dfrac{1}{2}.4=18$

    5. $\dfrac{{{a}^{2}}}{b-1}+4(b-1) \ge 4a$

    $\dfrac{{{b}^{2}}}{a-1}+4(a-1) \ge 4b$

    Cộng theo vế được $S \ge 8$
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng một 2016
  6. bất dang thuc

    giúp em câu này với;
    cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=1
    tìm giá trị lớn nhất của P=(a-b)^3 +(b-c)^3 + (c-a)^3
     
  7. Thầy ơi cho em hỏi câu này với ạ
    Cho số nguyên dương A gồm 2005 chữ số khác 0;1;4;9
    (1) chứng minh luôn tồn tại các chữ số liên tiếp của A sao cho tích P của các chữ số này là một số chính phương
    (2) tồn tại hay không các chữ số liên tiếp của A thỏa điều kiện (1) mà P>$2^(1973)$. Giải thích cho ví dụ
     
  8. t0989791873

    t0989791873 Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    4
    Điểm thành tích:
    6

    Ví dụ 1.7 làm như the nào vậy thầy?
     
  9. Thầy Lê Thiệu

    Thầy Lê Thiệu GV môn Toán Nhân viên HOCMAI

    Bài viết:
    4,404
    Điểm thành tích:
    376

    Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}>0$

    Ta có \[\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}=\frac{a}{b}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{c}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{c}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}>6\sqrt[6]{\frac{a}{b}.\frac{1}{4}\frac{b}{c}.\frac{1}{27}\frac{c}{a}}=\frac{6}{\sqrt[6]{108}}>\frac{5}{2}\]
     
    t0989791873 thích bài này.
  10. Thầy Lê Thiệu

    Thầy Lê Thiệu GV môn Toán Nhân viên HOCMAI

    Bài viết:
    4,404
    Điểm thành tích:
    376

    Sửa lại cái đề chút :D bài 1. 7. Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}>\frac{5}{2}$
     
    t0989791873 thích bài này.
  11. nguyen tien dat123

    nguyen tien dat123 Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    1
    Điểm thành tích:
    1

    cho minh hoi cau 1.10 loi giai dong so 2 . tai sao suy ra duoc 1/(1+a) + 2/(1+b) +3/(1+c) >= 5 vay?
     
  12. Thầy Lê Thiệu

    Thầy Lê Thiệu GV môn Toán Nhân viên HOCMAI

    Bài viết:
    4,404
    Điểm thành tích:
    376

    \[ \Leftrightarrow 1 - \frac{a}{{1 + a}} + 2 - \frac{{2b}}{{1 + b}} + 3 - \frac{{3c}}{{1 + c}} \ge 6 - 1\]
    \[ \Leftrightarrow .........................................................\]
     
  13. maiatenea@gmail.com

    maiatenea@gmail.com Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    2
    Điểm thành tích:
    26

    Thầy ơi cho e hỏi cách giải 3 bài này với ạ
     
  14. maiatenea@gmail.com

    maiatenea@gmail.com Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    2
    Điểm thành tích:
    26

    Thầy giúp e bài 3, bài 5, bài 6 trong phần các bài tập về điểm rơi cố định ạ
     
  15. t0989791873

    t0989791873 Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    4
    Điểm thành tích:
    6

    Cảm ơn nhiều :D:D:D:D:D:D:D:D
     
  16. t0989791873

    t0989791873 Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    4
    Điểm thành tích:
    6

    Bài 7 Bài tập tự luyện phần 4 . Ai giải giúp với:
    [tex]Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{1}{9}. CMR: S= (2b+2c-a)^{2}+ (2c+2a-b)^{2}+(2a+2b-c)^{2}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->