Toán Bất đẳng thức

H

huynhbachkhoa23

Cho $x,y,z \in \mathbb{R}$ và $x+y+z=10$

Tìm GTNN của $A=x^2+6y+15z^4$
 
Last edited by a moderator:
P

phuong_july


What the ......................... :|

Bài của em đơn giản hơn nhiều :|

Bài 1:Thay $x=1-y$ :|

Bài 2: Thay $a=\dfrac{x}{y}; b=\dfrac{y}{z}; c=\dfrac{z}{x}$ và biến đổi thành:
$x^3+y^3+z^3+3xyz \ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$ (Schur bậc 3) :|
Làm kĩ hộ em thế nào để ra phần này với. Em cũng đặt như thế nhưng bị tịt phần ra thế kia.
 
H

huynhbachkhoa23

Làm kĩ hộ em thế nào để ra phần này với. Em cũng đặt như thế nhưng bị tịt phần ra thế kia.

Giả sử $a\ge b\ge c$

$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)=a(a-b)(a-c)-b(a-b)(b-c)+c(a-c)(b-c)$
$=(a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c) \ge 0$

Suy ra $a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$


Hình như là thế :-SS
 
A

angleofdarkness

Đọc hết 37 trang BĐT :D

Cảm ơn sự đóng góp của các mem, tmod, mod toán đã tích cực phát triển topic này.

Mặc dù nó vẫn chưa đạt đến 90 trang như các topic cổ =))

............
 
T

transformers123

ủng hộ topic 1 bài, dễ hơn mấy bài bác Khoa đăng=))

Đề: Cho $x, y, z >0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$, chứng minh:

$$\dfrac{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}}{\sqrt{z^2+1}} + \dfrac{\sqrt{y^2+1}\sqrt{z^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} + \dfrac{\sqrt{z^2+1}\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{y^2+1}} \ge 2\sqrt{3}$$
 
Last edited by a moderator:
T

tanngoclai

ủng hộ topic 1 bài, dễ hơn mấy bài bác Khoa đăng=))

Đề: Cho $x, y, z >0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$, chứng minh:

$$\dfrac{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}}{\sqrt{z^2+1}} + \dfrac{\sqrt{y^2+1}\sqrt{z^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} + \dfrac{\sqrt{z^2+1}\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{y^2+1}} \ge 2\sqrt{3}$$

Đề nghị bác Khoa đăng bài phù hợp với trình độ học sinh bình thường như em =)) Bác thích xỏ nhau hay sao mà toàn đăng bài gì vậy =))

Ta có : $xy+yz+xz=1$

$\to x^2 + 1 = (x+y)(x+z); \ y^2+1=(y+z)(x+y); \ z^2+1=(y+z)(x+z)$

$\to \dfrac{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}}{\sqrt{z^2+1}} = \dfrac{(x+y)\sqrt{(x+z)(y+z)}}{\sqrt{(x+z)(y+z)}}= x+y$

$\to \sum \dfrac{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}}{\sqrt{z^2+1}} = 2(x+y+z) \ge 2\sqrt{3(xy+yz+xz)} = 2\sqrt{3}$
 
H

huynhbachkhoa23

ủng hộ topic 1 bài, dễ hơn mấy bài bác Khoa đăng=))

Đề: Cho $x, y, z >0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$, chứng minh:

$$\dfrac{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}}{\sqrt{z^2+1}} + \dfrac{\sqrt{y^2+1}\sqrt{z^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} + \dfrac{\sqrt{z^2+1}\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{y^2+1}} \ge 2\sqrt{3}$$

Bác nói gì thế, bài của em còn dễ mà :|

Thôi, giải cho bác luôn :|

Đặt $a=\dfrac{1}{\sqrt[3]{10}}$

Có $x^2+9 \ge 6x$

$15z^4+15a^4+15a^4+15a^4 \ge 6z$

Suy ra $x^2+6y+15z^4 \ge 6(x+y+z)-45a^4-9=51-\dfrac{45}{\sqrt[3]{10000}}$

Dễ không :)|
 
V

viet_213

Hỏi

[TEX] (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b})+ (\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c})=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}+\frac{a+c}{a+b} \geq3(1)[/TEX]

[TEX](\frac{a}{a + c} + \frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c})+(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c})=3(2)[/TEX]

[TEX](1)(2) \Rightarrow dpcm[/TEX]
Cái (1)cm sao vậy bạn giúp mình đi:-SS=((=(:)-*:p:):p
 

Trịnh Hoàng Quân

Học sinh tiến bộ
Thành viên
15 Tháng ba 2017
540
664
169
22
hêhê, bài mình tự chế này:
Cho a
gif.latex
,Tìm GTLN:
gif.latex

 
  • Like
Reactions: tuananh982

Bonechimte

Học sinh tiêu biểu
Thành viên
8 Tháng bảy 2017
2,553
4,752
563
Hà Nội
...
Cho a,b là 2 số dương phân biệt tuỳ ý
Đặt: A= (a+b)/2 B= căn ab
Chứng minh: B < (a-b)^2/8(A-B) < A
Xin lỗi mk ko bt gõ latex j j đó mk đang cố hx.....
 

Trịnh Hoàng Quân

Học sinh tiến bộ
Thành viên
15 Tháng ba 2017
540
664
169
22
Cho a,b là 2 số dương phân biệt tuỳ ý
Đặt: A= (a+b)/2 B= căn ab
Chứng minh: B < (a-b)^2/8(A-B) < A
Xin lỗi mk ko bt gõ latex j j đó mk đang cố hx.....
Mình sửa lại này! Bạn nên đọc trong nội quy mà anh Hải đưa cho khi là thành viên mới...
Cho a,b là 2 số dương phân biệt tuỳ ý
Đặt
gif.latex
;
gif.latex

Chứng minh :
gif.latex

 

Bonechimte

Học sinh tiêu biểu
Thành viên
8 Tháng bảy 2017
2,553
4,752
563
Hà Nội
...
Mình sửa lại này! Bạn nên đọc trong nội quy mà anh Hải đưa cho khi là thành viên mới...
Cho a,b là 2 số dương phân biệt tuỳ ý
Đặt
gif.latex
;
gif.latex

Chứng minh :
gif.latex
Mk cảm ơn....
Ko bt học gõ như vậy ơn đâu nữa.....
Giải hộ mk bài toán vs.
 

Thanh Nam

Học sinh mới
Thành viên
13 Tháng sáu 2017
5
1
6
21
Cho 2 số thực a,b thỏa mãn [tex]a+b\geq 1[/tex] , a>0
Tìm GTNN của [tex]A=8a^2+b/4a +b^2[/tex]
 

Nguyễn Mạnh Trung

Học sinh chăm học
Thành viên
9 Tháng năm 2017
450
218
81
22
Đắk Nông
hêhê, bài mình tự chế này:
Cho a
gif.latex
,Tìm GTLN:
gif.latex
ráng làm vậy
vì a,b,c > 0 nên ta có :
[tex]P=\frac{\sqrt{c-4}}{c}+\frac{\sqrt{a-2}}{a}+\frac{\sqrt{b-3}}{b}[/tex]
ta lại có :
[TEX]\sqrt{(c-4)4}\leq \frac{c-4+4}{2}=\frac{c}{2} \\\Leftrightarrow 2\sqrt{(c-4)}\leq \frac{c}{2} \\\Leftrightarrow \sqrt{(c-4)}\leq \frac{c}{4} \\\Leftrightarrow \frac{\sqrt{c-4}}{c}\leq \frac{1}{4}[/TEX]
tương tụ , ta thu được :
[tex]\frac{\sqrt{a-2}}{a}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}[/tex]
và :
[tex]\frac{\sqrt{b-3}}{b}\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}[/tex]
cộng lại :
[tex]P\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\approx 0,9[/tex]
dấu "=" xảy ra khi a=4;b=6;c=8
P/s: lỗi latex nên có br
 

tranvandong08

Học sinh chăm học
Thành viên
24 Tháng ba 2017
231
193
109
22
Ninh Bình
Trường THPT Kim Sơn B
\[P=\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{b+c} \\Dat (\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})\rightarrow (x;y;z)\Rightarrow xyz=1 \\P=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y} \\Cosi:\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq x\Rightarrow \frac{x^{2}}{y+z}\geq x-\frac{y+z}{4} \\\Rightarrow P\geq x+y+z-\frac{2(x+y+z)}{4}=\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\]
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z=1$ $\Rightarrow a=b=c=1$
 
Top Bottom