Toán Bất đẳng thức

[huynhbachkhoa23]

Cho $x,y,z \in \mathbb{R}$ và $x+y+z=10$

Tìm GTNN của $A=x^2+6y+15z^4$

 

[phuong_july]

What the ......................... :|

Bài của em đơn giản hơn nhiều :|

Bài 1:Thay $x=1-y$ :|

Bài 2: Thay $a=\dfrac{x}{y}; b=\dfrac{y}{z}; c=\dfrac{z}{x}$ và biến đổi thành:
$x^3+y^3+z^3+3xyz \ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$ (Schur bậc 3) :|

Làm kĩ hộ em thế nào để ra phần này với. Em cũng đặt như thế nhưng bị tịt phần ra thế kia.

 

[huynhbachkhoa23]

Làm kĩ hộ em thế nào để ra phần này với. Em cũng đặt như thế nhưng bị tịt phần ra thế kia.

Giả sử $a\ge b\ge c$

$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)=a(a-b)(a-c)-b(a-b)(b-c)+c(a-c)(b-c)$
$=(a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c) \ge 0$

Suy ra $a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$


Hình như là thế :-SS

 

[huynhbachkhoa23]

Làm kĩ hộ em thế nào để ra phần này với. Em cũng đặt như thế nhưng bị tịt phần ra thế kia.

Em quy đồng lên: $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+6\ge 2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)$
Thế vào.

 

[angleofdarkness]

Đọc hết 37 trang BĐT

Cảm ơn sự đóng góp của các mem, tmod, mod toán đã tích cực phát triển topic này.

Mặc dù nó vẫn chưa đạt đến 90 trang như các topic cổ =))

............

 

[transformers123]

ủng hộ topic 1 bài, dễ hơn mấy bài bác Khoa đăng=))

Đề: Cho $x, y, z >0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$, chứng minh:

$$\dfrac{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}}{\sqrt{z^2+1}} + \dfrac{\sqrt{y^2+1}\sqrt{z^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} + \dfrac{\sqrt{z^2+1}\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{y^2+1}} \ge 2\sqrt{3}$$

 

[tanngoclai]

ủng hộ topic 1 bài, dễ hơn mấy bài bác Khoa đăng=))

Đề: Cho $x, y, z >0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$, chứng minh:

$$\dfrac{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}}{\sqrt{z^2+1}} + \dfrac{\sqrt{y^2+1}\sqrt{z^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} + \dfrac{\sqrt{z^2+1}\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{y^2+1}} \ge 2\sqrt{3}$$

Đề nghị bác Khoa đăng bài phù hợp với trình độ học sinh bình thường như em =)) Bác thích xỏ nhau hay sao mà toàn đăng bài gì vậy =))

Ta có : $xy+yz+xz=1$

$\to x^2 + 1 = (x+y)(x+z); \ y^2+1=(y+z)(x+y); \ z^2+1=(y+z)(x+z)$

$\to \dfrac{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}}{\sqrt{z^2+1}} = \dfrac{(x+y)\sqrt{(x+z)(y+z)}}{\sqrt{(x+z)(y+z)}}= x+y$

$\to \sum \dfrac{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}}{\sqrt{z^2+1}} = 2(x+y+z) \ge 2\sqrt{3(xy+yz+xz)} = 2\sqrt{3}$

 

[huynhbachkhoa23]

ủng hộ topic 1 bài, dễ hơn mấy bài bác Khoa đăng=))

Đề: Cho $x, y, z >0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$, chứng minh:

$$\dfrac{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}}{\sqrt{z^2+1}} + \dfrac{\sqrt{y^2+1}\sqrt{z^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} + \dfrac{\sqrt{z^2+1}\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{y^2+1}} \ge 2\sqrt{3}$$

Bác nói gì thế, bài của em còn dễ mà :|

Thôi, giải cho bác luôn :|

Đặt $a=\dfrac{1}{\sqrt[3]{10}}$

Có $x^2+9 \ge 6x$

$15z^4+15a^4+15a^4+15a^4 \ge 6z$

Suy ra $x^2+6y+15z^4 \ge 6(x+y+z)-45a^4-9=51-\dfrac{45}{\sqrt[3]{10000}}$

Dễ không |

 

[viet_213]

Hỏi

[TEX] (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b})+ (\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c})=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}+\frac{a+c}{a+b} \geq3(1)[/TEX]

[TEX](\frac{a}{a + c} + \frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c})+(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c})=3(2)[/TEX]

[TEX](1)(2) \Rightarrow dpcm[/TEX]

Cái (1)cm sao vậy bạn giúp mình đi:-SS=((=(-*

 

[Trịnh Hoàng Quân]

hêhê, bài mình tự chế này:
Cho a

,Tìm GTLN:

 

[Bonechimte]

Cho a,b là 2 số dương phân biệt tuỳ ý
Đặt: A= (a+b)/2 B= căn ab
Chứng minh: B < (a-b)^2/8(A-B) < A
Xin lỗi mk ko bt gõ latex j j đó mk đang cố hx.....

 

[Trịnh Hoàng Quân]

Cho a,b là 2 số dương phân biệt tuỳ ý
Đặt: A= (a+b)/2 B= căn ab
Chứng minh: B < (a-b)^2/8(A-B) < A
Xin lỗi mk ko bt gõ latex j j đó mk đang cố hx.....

Mình sửa lại này! Bạn nên đọc trong nội quy mà anh Hải đưa cho khi là thành viên mới...
Cho a,b là 2 số dương phân biệt tuỳ ý
Đặt

;

Chứng minh :

 

[Bonechimte]

Mình sửa lại này! Bạn nên đọc trong nội quy mà anh Hải đưa cho khi là thành viên mới...
Cho a,b là 2 số dương phân biệt tuỳ ý
Đặt

;

Chứng minh :

Mk cảm ơn....
Ko bt học gõ như vậy ơn đâu nữa.....
Giải hộ mk bài toán vs.

 

[Thanh Nam]

Cho 2 số thực a,b thỏa mãn [tex]a+b\geq 1[/tex] , a>0
Tìm GTNN của [tex]A=8a^2+b/4a +b^2[/tex]

 

[matheverytime]

Cho 2 số thực a,b thỏa mãn [tex]a+b\geq 1[/tex] , a>0
Tìm GTNN của [tex]A=8a^2+b/4a +b^2[/tex]

b/4a hay là b/(4a+b^2) bạn

 

[Thanh Nam]

b/4a hay là b/(4a+b^2) bạn

dạ (8a^2+b)/4a +b^2 ạ

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

hêhê, bài mình tự chế này:
Cho a

,Tìm GTLN:

ráng làm vậy
vì a,b,c > 0 nên ta có :
[tex]P=\frac{\sqrt{c-4}}{c}+\frac{\sqrt{a-2}}{a}+\frac{\sqrt{b-3}}{b}[/tex]
ta lại có :
[TEX]\sqrt{(c-4)4}\leq \frac{c-4+4}{2}=\frac{c}{2} \\\Leftrightarrow 2\sqrt{(c-4)}\leq \frac{c}{2} \\\Leftrightarrow \sqrt{(c-4)}\leq \frac{c}{4} \\\Leftrightarrow \frac{\sqrt{c-4}}{c}\leq \frac{1}{4}[/TEX]
tương tụ , ta thu được :
[tex]\frac{\sqrt{a-2}}{a}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}[/tex]
và :
[tex]\frac{\sqrt{b-3}}{b}\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}[/tex]
cộng lại :
[tex]P\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\approx 0,9[/tex]
dấu "=" xảy ra khi a=4;b=6;c=8
P/s: lỗi latex nên có br

 

[0943099948]

cho tam giac abc có 3 canh a,b,c thoa man a+b+c=6 Cmr 3(a^2+b^2+c^2)+2abc>=52

 

[The explorer]

Bài này làm ntn ạ?
Cho a,b,c dương và abc=1
Cmr: 1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) +1/c^3(a+b) >= 3/2

 

[tranvandong08]

\[P=\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{b+c} \\Dat (\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})\rightarrow (x;y;z)\Rightarrow xyz=1 \\P=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y} \\Cosi:\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq x\Rightarrow \frac{x^{2}}{y+z}\geq x-\frac{y+z}{4} \\\Rightarrow P\geq x+y+z-\frac{2(x+y+z)}{4}=\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\]
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z=1$ $\Rightarrow a=b=c=1$