Cho ba số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng $\dfrac{a^3}{a+b} + \dfrac{b^3}{b+c} + \dfrac{c^3}{c+a} \geqslant \dfrac{a^2+b^2+c^2}2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz $\frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+a}=\frac{a^4}{a^2+ab}+\frac{b^4}{b^2+bc}+\frac{c^4}{c^2+ca} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$
AM-GM: $\dfrac{a^3}{a+b}+\dfrac{a(a+b)}{4}+\dfrac{a^2}{2} \ge \dfrac{3a^2}{2}$ Tương tự rồi cộng từng vế 3 bất đẳng thức được $\dfrac{a^3}{a+b}+\dfrac{b^3}{b+c}+\dfrac{c^3}{c+a}+\dfrac{(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)}{4} \ge a^2+b^2+c^2$ Lại có $\dfrac{(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)}{4} \le \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}$ Suy ra đpcm
