Toán Bất đẳng thức Cosi

Thanh Tuyền

Học sinh mới
Thành viên
6 Tháng sáu 2016
1
0
1
23

thaolovely1412

<font color =" blue"><b>Cử nhân Toán học</b></font
Thành viên
12 Tháng tư 2013
1,827
12
136
24
Lớp Toán, THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz a3a+b+b3b+c+c3c+a=a4a2+ab+b4b2+bc+c4c2+ca(a2+b2+c2)2a2+b2+c2+ab+bc+ca(a2+b2+c2)2(2(a2+b2+c2)=a2+b2+c22\frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+a}=\frac{a^4}{a^2+ab}+\frac{b^4}{b^2+bc}+\frac{c^4}{c^2+ca} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}
 

thuyanh_tls1417

Học sinh
Thành viên
7 Tháng một 2015
207
1
41
25
Trường THPT chuyên Lam Sơn
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng
a^3/(a+b )+b^3/(b+c )+c^3/(c+a ) ≥ (a^2+b^2+c^2)/2
AM-GM: a3a+b+a(a+b)4+a223a22\dfrac{a^3}{a+b}+\dfrac{a(a+b)}{4}+\dfrac{a^2}{2} \ge \dfrac{3a^2}{2}
Tương tự rồi cộng từng vế 3 bất đẳng thức được
a3a+b+b3b+c+c3c+a+(a2+b2+c2)+(ab+bc+ca)4a2+b2+c2\dfrac{a^3}{a+b}+\dfrac{b^3}{b+c}+\dfrac{c^3}{c+a}+\dfrac{(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)}{4} \ge a^2+b^2+c^2
Lại có (a2+b2+c2)+(ab+bc+ca)4a2+b2+c22\dfrac{(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)}{4} \le \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}
Suy ra đpcm
 
Top Bottom