Ta đầu tiên chứng minh rằng với mọi $a \in [-2,-1]$, tồn tại $x$ sao cho $a \le x \le -1$ và $x-\sqrt{x^2-1}=a$. Thật vậy, ta chọn...
Câu 1 theo wolframalpha có đáp án lạ:
Ta có $$ \int \frac{1+x^{1/2}}{1+x^{1/3}}dx= \int x^{1/6} dx + \int \frac{1-x^{1/6}}{1+x^{1/3}}dx = \frac{6}{7}x^{7/6}+ \int...
Đặt $u=\pi-x$ thì $\frac{du}{dx}=-1$. Khi đó $\int_{0}^{\pi} f(\pi-x)dx= -\int_{\pi}^0 f(u)du = \int_0^{\pi} f(x)dx$. Ta suy ra $$2\int_0^{\pi}...
Đặt $t=\tan x$ thì $\frac{dt}{dx}=(\cos x)^{-2}$. Khi đó ta có $$\int \frac{dx}{5\cos^2x-8 \sin x \cos x + 3 \sin^2x}= \int \frac{(\cos...
Cứ liên tục thay tử số bằng $2=(x+5)-(x+3)$ để giản đơn mẫu số tối đa. Khi đó, bạn sẽ thu được tổng các nguyên hàm dạng $\int...
Thấy $5+4x-x^2=(5-x)(x+1)$. Bạn thử tách $4x-3=a(5-x)+b(x+1)$ xem.
Đặt $u=x^2, dv= (1+x^{-2})e^{x-x^{-1}}dx$ thì $u'=2x$ và $v=e^{x-x^{-1}}$. Khi đó $$\int (x^2+1)e^{x-x^{-1}} dx = \int uv' = uv- \int u'v= x^2...
Cho cái thứ hai: Để ý $\int \frac{4\cos x-3 \sin x}{4\sin x+3 \cos x+5} dx= \ln (4\sin x+3 \cos x+5)+c$. Do đó ta chỉ cần đi tìm $\int (4\sin x+3...
Cho cái thứ nhất: Để ý $1-x+x^2=(x-1/2)^2+3/4$ nên nếu ta đặt $x-1/2=\sqrt 3/2 \tan u$ thì $\frac{dx}{du}= \frac{\sqrt 3}{2\cos^2 u}$. Do đó...
Theo wolframalpha thì cái thứ hai của bạn không có kết quả đơn giản. Phải chăng cái mẫu số nên là $e^x-e^{-x}-2$ thay vì $e^x-e^{-x}-1$?
Cho cái đầu tiên: Ta có $\frac{1}{e^x+e^{-x}+2}= \frac{e^x}{e^{2x}+2e^x+1}= \frac{e^x}{(e^x+1)^2}$ nên Đặt $u=e^x+1$ thì $x=\ln(u-1)$ nên...
Chú ý $\sin^4x+\cos^4x=1-\frac 12 (sin 2x)^2$ và $\frac{d}{dx} \left( 1-\frac 12 (sin 2x)^2 \right)=\sin 4x$ nên ta suy ra $$\int \frac{\sin...
Cái này bạn chỉ cần tách $(1+1/x)^3$ ra rồi tìm nguyên hàm.
Đặt $u= \sqrt{1+x^2}$ thì $x= \sqrt{u^2-1}$ nên $\frac{dx}{du}= u (u^2-1)^{-1/2}$. Do đó $$\int f(x) dx= \int \sqrt{u^2-1}\sin u \cdot u...
Dãn cách tên bằng dấu phẩy(,).
