[Toán 12] Bất đẳng thức và cực trị hay

[quang1234554321]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bất đẳng thức và cực trị là 1 phần quan trọng trong toán học . Và quan trọng trong mỗi kì thi .

Trong kì thi đại học , cao đẳng chúng ta thường gặp 1 bài về bất đẳng thức và cực trị .
Vì thế , tôi lập topic này mong mọi người sẽ cùng post các bài bất đẳng thức hay và vừa tầm thi đại học , cao đẳng . Cùng nhau luyện tập để nâng cao kiến thức và kĩ năng làm bài phần bất đẳng thức và cực trị này .

Và xin lưu ý , các bạn cũng hạn chế post những bài quá khó , mang tính chất đánh đố nhau . Nếu muốn post những bài như vậy thì các bạn hãy viết " chú ý bài khó "

Các em lớp dưới có thể tham gia giải bài cùng các anh các chị , vì phần này mọi người được học từ cấp 2

Mở đầu , tôi xin đưa lên 2 bài :

1. Cho a , b , c là 3 số khác 0 . CM :

[TEX]\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2}+ \frac{c^2}{a^2} \geq \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} [/TEX]

2 . CMR với mọi x , y , z dương và [TEX]x+y+z=1[/TEX] thì :

[TEX]xy+yz+zx > \frac{18xyz}{2+xyz} [/TEX] :

 

[vodichhocmai]

Cho a , b , c là 3 số khác 0 . CM :

[TEX]\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2}+ \frac{c^2}{a^2} \geq \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} [/TEX]

Nhận xét dấu bằng xãy ra khi [TEX]\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}\Rightarrow \frac{a}{b}=1[/TEX] nên ta mạnh dạng dùng [TEX]AM-GM[/TEX]
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] cho 2 số dương :
[TEX]\frac{a^2}{b^2}+1\ge 2|\frac{a}{b}| \ge 2\frac{a}{b}[/TEX]
[TEX]\frac{b^2}{c^2}+1\ge 2|\frac{b}{c}| \ge 2\frac{b}{c}[/TEX]
[TEX]\frac{c^2}{a^2}+1\ge 2|\frac{c}{a}| \ge 2\frac{c}{a}[/TEX]
__________________
Cộng vế theo vế ta được .
[TEX]\sum_{cyc}\frac{a^2}{b^2}+3\ge 2\sum_{cyc}\frac{a}{b}(1)[/TEX]
Mà theo [TEX]AM-GM[/TEX] ta có [TEX]\sum_{cyc}\frac{a^2}{b^2}\ge 3 (2)[/TEX]
[TEX](1)&(2)\Rightarrow (dpcm)[/TEX]

 

[vodichhocmai]

CMR với mọi x , y , z dương và [TEX]x+y+z=1[/TEX] thì :

[TEX]xy+yz+zx > \frac{18xyz}{2+xyz} [/TEX]

Ta luôn có theo [TEX]AM-GM[/TEX] thì
[TEX]\left{(x+y+z)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)\ge 9\\x+y+z=1[/TEX][TEX]\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 9 [/TEX][TEX]\Rightarrow xy+yz+zx\ge 9xyz=\frac{18xyz}{2}>\frac{18xyz}{2+xyz}[/TEX] vì [TEX]x,y,z>0[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

Nhận xét dấu bằng xãy ra khi [TEX]\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}\Rightarrow \frac{a}{b}=1[/TEX] nên ta mạnh dạng dùng [TEX]AM-GM[/TEX]
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] cho 2 số dương :
[TEX]\frac{a^2}{b^2}+1\ge 2|\frac{a}{b}| \ge 2\frac{a}{b}[/TEX]
[TEX]\frac{b^2}{c^2}+1\ge 2|\frac{b}{c}| \ge 2\frac{b}{c}[/TEX]
[TEX]\frac{c^2}{a^2}+1\ge 2|\frac{c}{a}| \ge 2\frac{c}{a}[/TEX]
__________________
Cộng vế theo vế ta được .
[TEX]\sum_{cyc}\frac{a^2}{b^2}+3\ge 2\sum_{cyc}\frac{a}{b}(1)[/TEX]
Mà theo [TEX]AM-GM[/TEX] ta có [TEX]\sum_{cyc}\frac{a^2}{b^2}\ge 3 (2)[/TEX]
[TEX](1)&(2)\Rightarrow (dpcm)[/TEX]

Gõ sai rồi, sửa đi bạn
Từ bây giờ sẽ cho bài theo dạng,hay một số mẹo vặt
Bài 3:
[TEX]a,b,c \in [1,2] & a+b+c=4[/TEX]
Tìm giá trị lớn nhất của
[TEX]A=a^2+b^2+c^2[/TEX]

 

[sadman2590]

bạn vodichhocmai có thể nói cho mình bíêt cái AM-GM là cái gì được ko? hay bạn chỉ cần ghi cái tổng quát của nó cũng dc (nếu có chứng minh càng tốt)

 

[vodichhocmai]

Cho [TEX]a,b,c,d[/TEX] là những số dương và thỏa [TEX]a+b+c+d=1[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]\(\frac{1}{a}-1\)\(\frac{1}{b}-1\)\(\frac{1}{c}-1\)\(\frac{1}{d}-1\)\ge 81[/TEX]
____________________________________
khanhsy

 

[ctsp_a1k40sp]

Cho [TEX]a,b,c,d[/TEX] là những số dương và thỏa [TEX]a+b+c+d=1[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]\(\frac{1}{a}-1\)\(\frac{1}{b}-1\)\(\frac{1}{c}-1\)\(\frac{1}{d}-1\)\ge 81[/TEX]
____________________________________
khanhsy

bdt
[TEX]\Leftrightarrow \(\frac{a+b+c+d}{a}-1\)\(\frac{a+b+c+d}{b}-1\)\(\frac{a+b+c+d}{c}-1\)\(\frac{a+b+c+d}{d}-1\) \ge 81[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{b+c+d}{a}.\frac{a+c+d}{b}. \frac{b+a+d}{c}. \frac{b+c+a}{d} \geq 81[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b) \geq 81 abcd[/TEX]
theo cụ Cauchy thì
[TEX]a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc}[/TEX]

[TEX]b+c+d \geq 3\sqrt[3]{bcd}[/TEX]

[TEX]c+d+a \geq 3\sqrt[3]{cda}[/TEX]

[TEX]d+a+b \geq 3\sqrt[3]{dab}[/TEX]
Nhân vào ta có điều phải chứng minh

 

[quang1234554321]

Cho [TEX]a,b,c,d[/TEX] là những số dương và thỏa [TEX]a+b+c+d=1[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]\(\frac{1}{a}-1\)\(\frac{1}{b}-1\)\(\frac{1}{c}-1\)\(\frac{1}{d}-1\)\ge 81[/TEX]

[TEX]VT = \frac{(1-a)}{a}\frac{(1-b)}{b} \frac{(1-c)}{c} \frac{(1-d)}{d} = \frac{(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)(a+b+c)}{abcd} [/TEX]

Áp dụng cosi cho 3 số dương :

[TEX]a+b+c \geq 3.\sqrt[3]{abc} [/TEX]

[TEX]b+c+d \geq 3.\sqrt[3]{bcd} [/TEX]

[TEX]c+d+a \geq 3.\sqrt[3]{cda} [/TEX]

[TEX]d+a+b \geq 3.\sqrt[3]{dab} [/TEX]

Nhân theo vế ta được [TEX](b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)(a+b+c) \geq 81abcd[/TEX]

Suy ra [TEX]VT \geq 81 \Rightarrow done . dpcm[/TEX]

 

[lovebrit]

ta có a+b+c+d>=4*căn bậc 4 của abca nên abcd <= 1/256
đè bai tương đương với (1-a)(1-b)1-c)(1-d)/abcd >=81
(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)>=81/256=(3/4)^4
ta co 1-a luôn >3/4 va 1-b>3/4......
nhân lai thì luôn đúng
minh mới nghĩ ra nếu có chỗ nao sai thì viết lại cho mình ngay nha mình đợi bạn

 

[quang1234554321]

Từ bây giờ sẽ cho bài theo dạng,hay một số mẹo vặt
Bài 3:
[TEX]a,b,c \in [1,2] & a+b+c=4[/TEX]
Tìm giá trị lớn nhất của
[TEX]A=a^2+b^2+c^2[/TEX]

Đặt : [TEX]x= a- \frac{4}{3} [/TEX] ; [TEX]y=b- \frac{4}{3} [/TEX] ; [TEX]z=c- \frac{4}{3}[/TEX]

Ta có [TEX]x+y+z =0[/TEX] và [TEX]x,y,z \in [- \frac{1}{3}; \frac{2}{3} ][/TEX]

[TEX]A=x^2+y^2+z^2+ \frac{16}{3}[/TEX]

Do [TEX]x+y+z=0[/TEX] nên có 2 số cùng dấu trong 3 số x , y , z . Ta giả sử đó là x và y

[TEX]x+y=-z \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2z^2-2xy \leq 2[/TEX]

Suy ra [TEX]A \leq \frac{16}{3} +2 = \frac{22}{3} -> max [/TEX]

Dấu = xảy ra [TEX] \Leftrightarrow xy=z^2[/TEX] từ đó tìm x , y , z

 

[quang1234554321]

Bài 5 : Cho a , b , c là 3 số thực bất kì thoả mãn ĐK [TEX]a+b+c = 0[/TEX]

CMR : [TEX]8^a+8^b+8^c \geq 2^a+2^b+2^c[/TEX]


Bài 6 : Cho [TEX]x \in [0;1][/TEX] . CMR :

[TEX]\sqrt{x} + \sqrt{1-x} + \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1-x} \leq \sqrt{2} + \sqrt{2\sqrt{2}}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Bài 5 : Cho a , b , c là 3 số thực bất kì thoả mãn ĐK [TEX]a+b+c = 0[/TEX]

CMR : [TEX]8^a+8^b+8^c \geq 2^a+2^b+2^c[/TEX]

Viết lại bất đẳng thức như sau :
[TEX]2^{3a}+2^{3b}+2^{3c}=2^a+2^b+2^c[/TEX]
Nhận xét trước dấu bằng xãy ra khi [TEX]a=b=c=0\Rightarrow 8^a=2^a=1[/TEX] nên ta đưa hướng Cauchy như sau
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] cho 3 số dương .
[TEX]2^{3a}+1+1\ge 3.2^a[/TEX]
[TEX]2^{3b}+1+1\ge 3.2^b[/TEX]
[TEX]2^{3c}+1+1\ge 3.2^c[/TEX]
_______________
Cọng vế theo vế ta được .
[TEX]\sum_{cyc}^{a,b,c} 2^{3a}+6\ge 3\sum_{cyc}^{a,b,c} 2^a(1)[/TEX]
Ta lại có theo [TEX]AM-GM[/TEX] .
[TEX]\sum_{cyc}^{a,b,c} 2^{3a}\ge 3\sqrt[3]{2^{3(a+b+c)}}=3[/TEX][TEX]\Rightarrow 2\sum_{cyc}^{a,b,c} 2^{3a}\ge 6(2)[/TEX]
[TEX](1)&(2)\Rightarrow 3\sum_{cyc}^{a,b,c} 2^{3a}\ge 3\sum_{cyc}^{a,b,c} 2^{a} [/TEX][TEX]\Rightarrow \sum_{cyc}^{a,b,c} 2^{3a}\ge\sum_{cyc}^{a,b,c} 2^{a} (dpcm)[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho [TEX]x \in [0;1][/TEX] . CMR :

[TEX]\sqrt{x} + \sqrt{1-x} + \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1-x} \leq \sqrt{2} + \sqrt{2\sqrt{2}}[/TEX]

Áp dụng [TEX]Bunhiacopxki[/TEX] ta có .
[TEX]\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\le \sqrt{2}.\sqrt{x+1-x}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{1-x}\le \sqrt{2}[/TEX]
Ta cũng áp dụng [TEX]Bunhiacopxki[/TEX] liên tục ta có .
[TEX]\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}\le \sqrt{2}.\sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{1-x}}\le \sqrt{2\sqrt{2}}[/TEX]
Cọng vế theo vế ta được [TEX](dpcm)[/TEX]
Dấu bằng xãy ra khi :
[TEX]\left{\sqrt{x}=\sqrt{1-x}\\\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{1-x}[/TEX][TEX]\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

[TEX]a,b,c \in [1,2] & a+b+c=4[/TEX]
Tìm giá trị lớn nhất của
[TEX]A=a^2+b^2+c^2[/TEX]

Đặt [TEX]\left{x=a-1\\y=b-1\\z=c-1[/TEX][TEX]\Rightarrow \left { x+y+z=1\\ x,y,z\in[0,1][/TEX]
Lúc đó [TEX]A=(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=(x^2+y^2+z^2)+2(x+y+z)+3=x^2+y^2+z^2+5[/TEX]
[TEX]\forall x,y,z[0,1]\Rightarrow A\le |x|+|y|+|z|+5[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A\le (x+y+z)+5[/TEX][TEX]\Rightarrow A\le 6[/TEX]
Ta có các cặp [TEX](x,y,z)[/TEX] hoán vị sau [TEX](0,0,1)[/TEX]
Từ đó ta có các cặp [TEX](a,b,c)[/TEX] hoán vị sau [TEX](1,1,2)[/TEX]
____________________________________________________
Khanhsy

 

[mcdat]

Topic sôi nổi quá nhỉ. Gốp vui 1 bài ^^

[TEX]\Delta ABC[/TEX] nhọn. CMR:

[TEX]\frac{\cos^2 A}{\cos^2 \frac{A}{2}}+\frac{\cos^2 B}{\cos^2 \frac{B}{2}}+\frac{\cos^2 C}{\cos^2 \frac{C}{2}} \geq 1[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

Đặt [TEX]\left{x=a-1\\y=b-1\\z=c-1[/TEX][TEX]\Rightarrow \left { x+y+z=1\\ x,y,z\in[0,1][/TEX]
Lúc đó [TEX]A=(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=(x^2+y^2+z^2)+2(x+y+z)+3=x^2+y^2+z^2+5[/TEX]
[TEX]\forall x,y,z[0,1]\Rightarrow A\le |x|+|y|+|z|+5[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A\le (x+y+z)+5[/TEX][TEX]\Rightarrow A\le 6[/TEX]
Ta có các cặp [TEX](x,y,z)[/TEX] hoán vị sau [TEX](0,0,1)[/TEX]
Từ đó ta có các cặp [TEX](a,b,c)[/TEX] hoán vị sau [TEX](1,1,2)[/TEX]
____________________________________________________
Khanhsy

cách giải hơi phức tạp
Đơn giản chỉ thế này
[TEX](a-1)(a-2) \leq 0 \rightarrow a^2+2 \leq 3a[/TEX]
[TEX]\rightarrow \sum a^2+6 \leq 3 \sum a[/TEX]
[TEX]\rightarrow \sum a^2 \leq 6[/TEX]

Topic sôi nổi quá nhỉ. Gốp vui 1 bài ^^

[TEX]\Delta ABC[/TEX] nhọn. CMR:

[TEX]\frac{\cos^2 A}{\cos^2 \frac{A}{2}}+\frac{\cos^2 B}{\cos^2 \frac{B}{2}}+\frac{\cos^2 C}{\cos^2 \frac{C}{2}} \geq 1[/TEX]

Bài này có nên cho vào box này ko nhỉ?
Đầu tiên ta sử dụng định lý cos
[TEX]cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}...[/TEX]
thay vào rồi rút gọn ta được
bdt [TEX]\Leftrightarrow a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-c)(b-a)+c^2(c-a)(c-b) \geq 0[/TEX]
đây chính là bdt shur bậc 4 .

 

[quang1234554321]

Chú ý bài khó

CM với các số thực dương tuỳ ý :
[TEX]a \leq b \leq c \leq d [/TEX]. Ta có BĐT

[TEX]a^b.b^c.c^d.d^a \geq b^a.c^d.d^c.a^d[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

CM với các số thực dương tuỳ ý :
[TEX]a \leq b \leq c \leq d [/TEX]. Ta có BĐT

[TEX]a^b.b^c.c^d.d^a \geq b^a.c^d.d^c.a^d[/TEX]

Nếu ko ai làm 1 tuần sau mình sẽ post lời giải .
Bài tiếp
[TEX]a+b+c >0[/TEX]
[TEX]ab+bc+ca >0[/TEX]
[TEX]abc >0[/TEX]
chứng minh
[TEX]a,b,c>0[/TEX]

 

[kachia_17]

Nếu ko ai làm 1 tuần sau mình sẽ post lời giải .
Bài tiếp
[TEX]a+b+c >0 \ (1)[/TEX]
[TEX]ab+bc+ca >0 \ (2) [/TEX]
[TEX]abc >0 \ (3)[/TEX]
chứng minh
[TEX]a,b,c>0[/TEX]

Phản chứng các trường hợp.
TH1: a< 0 ; b,c >0 ( hoán vị tương tự ) --> vô lý do (3)
TH2 : a,b,c <0 --> vô lý do (3)
TH3 : a,b < 0 ; c>0 ( hoán vị tương tự).
(1) \Rightarrow c> -( a+b) (4)
(2) [TEX]\Rightarrow c(a+b) > -ab \Leftrightarrow c< \frac{-ab}{a+b} \leq \frac{-(a+b)}{4} [/TEX] \Rightarrow vô lý do (4)
Vậy...

tiếp ^^!.
Gọi a là số nhỏ nhất trong sáu số
[TEX]\blue x ;\frac yz ;\frac zt ; \frac 1y ; \frac 1x ;t[/TEX]
tìm giá trị lớn nhất của a.

 

[quang1234554321]

TH3 : a,b < 0 ; c>0 ( hoán vị tương tự).
(1) \Rightarrow c> -( a+b) (4)
(2) [TEX]\Rightarrow c(a+b) > -ab \Leftrightarrow c< \frac{-ab}{a+b} \leq \frac{-(a+b)}{4} [/TEX] \Rightarrow vô lý do (4)

Anh xem lại chỗ này đi nhé anh . Có lẽ anh nhầm

Em làm như sau :
Do [TEX] abc>0 [/TEX] nên từ BĐT [TEX]ab+bc+ca >0 [/TEX] ta có :

[TEX] \frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} >0 [/TEX]

Và chỉ có thể xảy ra 1 trong 2 trường hợp
1. có 2 số âm và 1 số dương
2. Cả 3 số đều dương

Ta phản chứng TH1

Do vai trò của a,b,c là như nhau , không mất tính tổng quát , giả sử 2 số âm đó là b và c

Do c < 0 nên vai trò của c và 1/c chỉ làm cho tổng nhỏ hơn , Vì thế

[TEX]a+b+c >0[/TEX] nên [TEX]a+b> 0 [/TEX]

Lại có [TEX] \frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} >0 [/TEX] nên [TEX] \frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 0 \Rightarrow \frac{a+b}{ab} > 0 [/TEX]

Đã có [TEX] a+b > 0 \Rightarrow ab >0 [/TEX] Vô lý

Vậy chỉ còn duy nhất trường hợp 2 là [TEX]a,b,c >0[/TEX] đpcm