Toán Toán 7 Ôn tập các kiến thức nâng cao

[huyenlinh7ctqp]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Hello mọi người, hôm nay lục lại mấy quyển sách cũ nên chợt nghĩ ra cái ý tưởng này để ôn tập lại kiến thức của mình cũng như để học hỏi các cách làm mới từ các bạn . Mình dốt văn nên không tám nữa nhé !

Vào luôn vấn đề chính nhé !

Mình có thể đưa cả lý thuyết lẫn bài tập. Nhưng cũng có khi chỉ có bài tập. Nếu có bài khó thì mình sẽ giải mẫu và các bạn có thể góp ý, nhận xét giúp mình nhé !

Mong bà con, cô bác, họ hàng gần xa chung vui ( nói như có đám cưới nhở *cười* ) cùng cháu ạ. Ai rảnh thì ghé qua giải hộ để box Toán đỡ buồn nhé !



Start !!!!!!!!

Ấy chết ! Bây giờ đã 22h51' chắc cũng không ai giải nữa nhở .... Cháu chọn sai thời gian qá. Mai nhé !

Tomorrow start !!!!!! *Cười* !!!!

 

[huyenlinh7ctqp]

Bắt đầu với 1 dạng toán phổ biến trong các đề thi hsg và cũng là nỗi lo của các học sinh lớp 7.


Chuyên đề 1: Tìm Min - Max của biểu thức chứa Giá trị tuyệt đối .
Dạng 1: A = | B(x) | + m

Dạng 2: A = | B(x) | + C(x)

Dạng 3: A = |B(x)| + |C(x)| + ...

Lười quá nên mình không viết ví dụ và cách giải mỗi dạng.
Nên mọi người có mấy cách thì " triển khai" để các bạn khác học hỏi thêm nhé !

BT:
1) Tìm Min của các biểu thức :
a, A = | x + 1 | + | x + 2 | - 2x + 3
b, B = | 2x+3 | + | 1 - 2x |
c, C = | x - 1 | + 2| x - 2 |
2) Tìm Min của các biểu thức :
a, A = | x - 1 | + | x - 2 |+ | x - 3 |
b, B = | 2x - 4 | + | x- 3 |
3) Tìm x :
a, | x - 1 | + | x - 2 | = 1
b, | x + 1 | + | x + 2 | + | x + 3 |
c, | + 1 | + 2| x + 2 | = 3x + 5
4) Tìm Min
a, A = | x - 1 | + | 2x - 3 |
b, B = | x + 1 | + | 3x + 2 | + | x + 7 | + x + 1
c, C = | x + 1 | + | x + 2 | + | x + 3 | + | x + 4 | - 2.( x + 4)
d, D = | 2x - 3 | + x + 1

Toàn là tìm Min nhá ! Làm cho quen tay đã.
Làm câu nào cũng được nhé ! Nhưng nếu có người làm câu mình muốn làm mà giống cách của mình thì đừng làm lại nhé ! Mong sẽ có thật nhiều cách làm hay !

 

[delname]

1) Tìm Min của các biểu thức :
a, A = | x + 1 | + | x + 2 | - 2x + 3
b, B = | 2x+3 | + | 1 - 2x |
c, C = | x - 1 | + 2| x - 2 |

a,
[tex]A=\left |x+1 \right |+\left | x+2 \right |-2x+3\geq 2x+3-2x+3=6[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi (x+1)(x+2) >=0
b,
[tex]B=\left | 2x+3 \right |+\left | 1-2x \right |\geq \left | 2x+3+1-2x \right |=4[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi (2x+3)(1-2x) >= 0
c,
[tex]C=\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+\left | x-2 \right |\geq \left |x-1 \right |+\left |2-x \right |\geq \left | x-1+2-x \right |=1[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi x=2

 

[huyenlinh7ctqp]

a,
[tex]A=\left |x+1 \right |+\left | x+2 \right |-2x+3\geq 2x+3-2x+3=6[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi (x+1)(x+2) >=0
b,
[tex]B=\left | 2x+3 \right |+\left | 1-2x \right |\geq \left | 2x+3+1-2x \right |=4[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi (2x+3)(1-2x) >= 0
c,
[tex]C=\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+\left | x-2 \right |\geq \left |x-1 \right |+\left |2-x \right |\geq \left | x-1+2-x \right |=1[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi x=2

Cách này đúng , làm cũng nhanh nhưng khi đi thi sẽ ít điểm hơn đó anh. Anh có cách nào giải đầy đủ hơn không ạ ?

 

[Dio Chemistry]

1/
a,A = | x + 1 | + | x + 2 | - 2x + 3
Áp dụng BĐT:
[tex]\left | a \right | + \left | b \right | \geqslant \left | a+b \right |[/tex]
Ta có: A = | x + 1 | + | x + 2 | - 2x + 3 >= 2x+3−2x+3=6
Dấu "=" xảy ra <=> (x+1)(x+2) >= 0 <=> [tex]x \leqslant -2 ; x \geqslant -1[/tex]

 

[iceghost]

2) Tìm Min của các biểu thức :
a, A = | x - 1 | + | x - 2 |+ | x - 3 |
b, B = | 2x - 4 | + | x- 3 |

Ta có bđt : $|a| + |b| \geqslant |a+b|$. Đẳng thức xảy ra khi $ab \ge 0$

a/ $A = |x-1| + |x-2| + |x-3| = |x-1|+|3-x|+|x-2| \geqslant |x-1+3-x| + |x-2| = 2 + |x-2| \geqslant 2$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}
(x-1)(3-x) \geqslant 0 \\
x -2 = 0 \\
\end{array} \right. \implies x = 2$

b/ $B = | 2x - 4 | + | x- 3 | = 2|x-2| + |x-3| = |x-2| + |3-x| + |x-2| \geqslant |x-2+3-x| + |x-2| = 1 + |x-2| \geqslant 1$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}
(x-2)(3-x) \geqslant 0 \\
x-2 = 0 \\
\end{array} \right. \implies x = 2$

 

[iceghost]

3) Tìm x :
a, | x - 1 | + | x - 2 | = 1
b, | x + 1 | + | x + 2 | + | x + 3 |
c, | + 1 | + 2| x + 2 | = 3x + 5

Ta có thêm bđt $|a| \geqslant a$. Đẳng thức xảy ra khi $a \ge 0$

a/ $VT = |x-1| + |2-x| \geqslant |x-1 + 2-x| = 1 = VP$
Đẳng thức xảy ra khi $(x-1)(2-x) \ge 0 \implies 1 \leqslant x \leqslant 2$

b/ Đề thiếu VP

c/ $VT = |x+1| + |2x+4| \geqslant |x+1+2x+4| = |3x+5| \geqslant 3x+5 = VP$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}
(x+1)(2x+4) \geqslant 0 \\
3x+5 \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \implies x \geqslant 1$

 

[iceghost]

4) Tìm Min
a, A = | x - 1 | + | 2x - 3 |
b, B = | x + 1 | + | 3x + 2 | + | x + 7 | + x + 1
c, C = | x + 1 | + | x + 2 | + | x + 3 | + | x + 4 | - 2.( x + 4)
d, D = | 2x - 3 | + x + 1

a/ $\scriptsize{A = |x-1|+|2x-3|=|x-1|+2|x-1.5|=|x-1|+|x-1.5|+|x-1.5|=|x-1|+|1.5-x|+|x-1.5| \geqslant|x-1+1.5-x|+|x-1.5|=0.5+|x-1.5|\geqslant 0.5}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}
(x-1)(1.5-x) \geqslant 0 \\
x - 1.5 = 0 \\
\end{array} \right. \implies x = 1.5$

Hồi nữa làm tiếp :3

 

[huyenlinh7ctqp]

1/
a,A = | x + 1 | + | x + 2 | - 2x + 3
Áp dụng BĐT:
[tex]\left | a \right | + \left | b \right | \geqslant \left | a+b \right |[/tex]
Ta có: A = | x + 1 | + | x + 2 | - 2x + 3 >= 2x+3−2x+3=6
Dấu "=" xảy ra <=> (x+1)(x+2) >= 0 <=> [tex]x \leqslant -2 ; x \geqslant -1[/tex]

Anh làm cũng giống anh

1/
a,A = | x + 1 | + | x + 2 | - 2x + 3
Áp dụng BĐT:
[tex]\left | a \right | + \left | b \right | \geqslant \left | a+b \right |[/tex]
Ta có: A = | x + 1 | + | x + 2 | - 2x + 3 >= 2x+3−2x+3=6
Dấu "=" xảy ra <=> (x+1)(x+2) >= 0 <=> [tex]x \leqslant -2 ; x \geqslant -1[/tex]

Anh làm giống @delname rồi ạ....

 

[iceghost]

Cách này đúng , làm cũng nhanh nhưng khi đi thi sẽ ít điểm hơn đó anh. Anh có cách nào giải đầy đủ hơn không ạ ?

Giải toán cần linh hoạt em à, phải biết khi nào dùng bđt cho lời giải ngắn gọn chứ đừng lúc nào cũng xét khoảng giá trị, lúc gặp nhiều ngoặc giá trị tuyệt đối thì sẽ rất mất thời gian.

 

[ngocsangnam12]

Em có cách mới ạ, nhưng thật sự thì lớp 7 làm gì được áp dụng ngay bất đẳng thức đó ạ? nếu muốn áp dụng thì phải chứng minh trong bài luôn ạ.
Bài 1: a) A=|x+1|+|x+2|-2x+3
Theo đề ra, ta có: A=|x+1|+|x+2|-2x+3
Ta thấy: [tex]|x+1|\geq x+1; |x+2|\geq x+2[/tex]
=> [tex]A=|x+1|+|x+2|-2x+3\geq x+1+x+2-2x+3=6[/tex]
Dấu "= " chỉ xảy ra khi A=6 với [tex]x\geq 0[/tex]
Vậy minA=6 khi [tex]x\geq 0[/tex]
b) B= |2x+3|+|1-2x|
Ta có: [tex]|2x+3|\geq 2x+3[/tex] ; [tex]|1-2x| \geq 1-2x[/tex]
[tex]\Rightarrow B=|2x+3|+|1-2x|\geq 2x+3+1-2x=4[/tex]
Dấu "=" chỉ xảy ra khi B=4 với [tex]2x+3\geq 0 => 2x\geq -3=>x\geq \frac{-3}{2}[/tex] và [tex]1-2x\geq 0 => \frac{1}{2}\geq x[/tex]
Vậy minB=4 khi [tex]\frac{1}{2}\geq x \geq \frac{-3}{2}[/tex]
c, C = | x - 1 | + 2| x - 2 |
Ta có: C=|x-1|+|x-2|+|x-2|=|x-1|+|x-2|+|2-x|
Ta thấy: [tex]|x-2|\geq x-2; |2-x|\geq 2-x => |x-2|+|2-x|\geq x-1+2-x=0[/tex]
=> [tex]C \geq |x-1|+0[/tex]
Mà dấu "=" chỉ xảy ra khi x=2 => min C=1 khi x=2
Câu 2: a, A = | x - 1 | + | x - 2 |+ | x - 3 |
Ta có: A=|x-1|+|x-2|+|x-3|=|x-1|+|x-2|+|3-x|
*Lúc nãy nói mấy lần rồi nhá"
=> [tex]|x-1|+|3-x|\geq 2[/tex] ... Dấu"=" chỉ xảy ra khi [tex]3\geq x\geq 1[/tex]
=> [tex]A\geq |x-2|+2[/tex] Mà |x-2| bé nhất khi x=2 (thỏa mãn với vế trên)
Vậy dấu "=" chỉ xảy ra khi x=2 và min A=2
b) B = | 2x - 4 | + | x- 3 |
Ta có:
[tex]B=|2x-4|+|3-x| \geq x-1[/tex] khi [tex]\left\{\begin{matrix} 2x-4\geq 0& & \\ 3-x\geq 0& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 3\geq x\geq 2[/tex]
Mà để x-1 bé nhất thì x phải là số bé nhất có thể => x=2
=> min B=1 khi x=2

 

[huyenlinh7ctqp]

Em có cách mới ạ, nhưng thật sự thì lớp 7 làm gì được áp dụng ngay bất đẳng thức đó ạ? nếu muốn áp dụng thì phải chứng minh trong bài luôn ạ.
Bài 1: a) A=|x+1|+|x+2|-2x+3
Theo đề ra, ta có: A=|x+1|+|x+2|-2x+3
Ta thấy: [tex]|x+1|\geq x+1; |x+2|\geq x+2[/tex]
=> [tex]A=|x+1|+|x+2|-2x+3\geq x+1+x+2-2x+3=6[/tex]
Dấu "= " chỉ xảy ra khi A=6 với [tex]x\geq 0[/tex]
Vậy minA=6 khi [tex]x\geq 0[/tex]
b) B= |2x+3|+|1-2x|
Ta có: [tex]|2x+3|\geq 2x+3[/tex] ; [tex]|1-2x| \geq 1-2x[/tex]
[tex]\Rightarrow B=|2x+3|+|1-2x|\geq 2x+3+1-2x=4[/tex]
Dấu "=" chỉ xảy ra khi B=4 với [tex]2x+3\geq 0 => 2x\geq -3=>x\geq \frac{-3}{2}[/tex] và [tex]1-2x\geq 0 => \frac{1}{2}\geq x[/tex]
Vậy minB=4 khi [tex]\frac{1}{2}\geq x \geq \frac{-3}{2}[/tex]
c, C = | x - 1 | + 2| x - 2 |
Ta có: C=|x-1|+|x-2|+|x-2|=|x-1|+|x-2|+|2-x|
Ta thấy: [tex]|x-2|\geq x-2; |2-x|\geq 2-x => |x-2|+|2-x|\geq x-1+2-x=0[/tex]
=> [tex]C \geq |x-1|+0[/tex]
Mà dấu "=" chỉ xảy ra khi x=2 => min C=1 khi x=2

Mình cũng làm cách giống bạn đấy ! Thầy mình nói cái đó chưa chứng minh được thì đừng có làm !

 

[tyn_nguyket]

Em có cách mới ạ, nhưng thật sự thì lớp 7 làm gì được áp dụng ngay bất đẳng thức đó ạ? nếu muốn áp dụng thì phải chứng minh trong bài luôn ạ.
Bài 1: a) A=|x+1|+|x+2|-2x+3
Theo đề ra, ta có: A=|x+1|+|x+2|-2x+3
Ta thấy: [tex]|x+1|\geq x+1; |x+2|\geq x+2[/tex]
=> [tex]A=|x+1|+|x+2|-2x+3\geq x+1+x+2-2x+3=6[/tex]
Dấu "= " chỉ xảy ra khi A=6 với [tex]x\geq 0[/tex]
Vậy minA=6 khi [tex]x\geq 0[/tex]
b) B= |2x+3|+|1-2x|
Ta có: [tex]|2x+3|\geq 2x+3[/tex] ; [tex]|1-2x| \geq 1-2x[/tex]
[tex]\Rightarrow B=|2x+3|+|1-2x|\geq 2x+3+1-2x=4[/tex]
Dấu "=" chỉ xảy ra khi B=4 với [tex]2x+3\geq 0 => 2x\geq -3=>x\geq \frac{-3}{2}[/tex] và [tex]1-2x\geq 0 => \frac{1}{2}\geq x[/tex]
Vậy minB=4 khi [tex]\frac{1}{2}\geq x \geq \frac{-3}{2}[/tex]
c, C = | x - 1 | + 2| x - 2 |
Ta có: C=|x-1|+|x-2|+|x-2|=|x-1|+|x-2|+|2-x|
Ta thấy: [tex]|x-2|\geq x-2; |2-x|\geq 2-x => |x-2|+|2-x|\geq x-1+2-x=0[/tex]
=> [tex]C \geq |x-1|+0[/tex]
Mà dấu "=" chỉ xảy ra khi x=2 => min C=1 khi x=2

nam ơi làm cách đó là bét luôn á
cách đó chỉ cho những ng thiếu kiên thức thôi nha

 

[tyn_nguyket]

Giải toán cần linh hoạt em à, phải biết khi nào dùng bđt cho lời giải ngắn gọn chứ đừng lúc nào cũng xét khoảng giá trị, lúc gặp nhiều ngoặc giá trị tuyệt đối thì sẽ rất mất thời gian.

khang ơi chủ pic đã nói thế thì thử hỏi chủ pic làm cách tốt hơn xem

 

[huyenlinh7ctqp]

nam ơi làm cách đó là bét luôn á
cách đó chỉ cho những ng thiếu kiên thức thôi nha

Thầy em chữa là cách đó cũng đúng mà chị. Em cũng thấy nó có sai gì đâu chị .....

 

[huyenlinh7ctqp]

a/ $\scriptsize{A = |x-1|+|2x-3|=|x-1|+2|x-1.5|=|x-1|+|x-1.5|+|x-1.5|=|x-1|+|1.5-x|+|x-1.5| \geqslant|x-1+1.5-x|+|x-1.5|=0.5+|x-1.5|\geqslant 0.5}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}
(x-1)(1.5-x) \geqslant 0 \\
x - 1.5 = 0 \\
\end{array} \right. \implies x = 1.5$

Hồi nữa làm tiếp :3

Cách chị cũng hay nhỉ ! E cũng sẽ thử áp dụng xem sao ạ ! May là phần trên cũng giống cách em làm 1 tý ạ

 

[huyenlinh7ctqp]

khang ơi chủ pic đã nói thế thì thử hỏi chủ pic làm cách tốt hơn xem

Cách em giống cách Nam chị ạ !!!!!! Cách chị ấy cũng đúng nhưng thấy em chưa có cho dùng, chỉ khi nào bí thế quá mới sử dụng thôi ạ. Lớp 7 chưa có CM được cái đó chị .... !!!!

 

[iceghost]

Cách em giống cách Nam chị ạ !!!!!! Cách chị ấy cũng đúng nhưng thấy em chưa có cho dùng, chỉ khi nào bí thế quá mới sử dụng thôi ạ. Lớp 7 chưa có CM được cái đó chị .... !!!!

Chưa CM thì tui CM luôn -_-
Giả sử $|a| + |b| \geqslant |a+b|$
$\iff (|a|+|b|)^2 \geqslant (|a+b|)^2$
$\iff (|a|+|b|)^2 \geqslant (a+b)^2$
$\iff |a|^2 + 2|ab| + |b|^2 \geqslant a^2 + 2ab + b^2$
$\iff a^2 + 2|ab| + b^2 \geqslant a^2 + 2ab + b^2$
$\iff 2|ab| \geqslant 2ab \iff |ab| \geqslant ab$ (luôn đúng)
$\implies |a| + |b| \geqslant |a+b|$
Đẳng thức xảy ra khi $|ab| = ab \implies ab \ge 0$
Rồi bây h ai trong topic này cũng có thể dùng cái bđt này rồi đó ^^ :v
Báo trước là tui nghĩ cách này là tốt nhất rồi đó

 

[huyenlinh7ctqp]

Chưa CM thì tui CM luôn -_-
Giả sử $|a| + |b| \geqslant |a+b|$
$\iff (|a|+|b|)^2 \geqslant (|a+b|)^2$
$\iff (|a|+|b|)^2 \geqslant (a+b)^2$
$\iff |a|^2 + 2|ab| + |b|^2 \geqslant a^2 + 2ab + b^2$
$\iff a^2 + 2|ab| + b^2 \geqslant a^2 + 2ab + b^2$
$\iff 2|ab| \geqslant 2ab \iff |ab| \geqslant ab$ (luôn đúng)
$\implies |a| + |b| \geqslant |a+b|$
Đẳng thức xảy ra khi $|ab| = ab \implies ab \ge 0$
Rồi bây h ai trong topic này cũng có thể dùng cái bđt này rồi đó ^^ :v
Báo trước là tui nghĩ cách này là tốt nhất rồi đó

Vâng chị !

 

[tyn_nguyket]

Chưa CM thì tui CM luôn -_-
Giả sử $|a| + |b| \geqslant |a+b|$
$\iff (|a|+|b|)^2 \geqslant (|a+b|)^2$
$\iff (|a|+|b|)^2 \geqslant (a+b)^2$
$\iff |a|^2 + 2|ab| + |b|^2 \geqslant a^2 + 2ab + b^2$
$\iff a^2 + 2|ab| + b^2 \geqslant a^2 + 2ab + b^2$
$\iff 2|ab| \geqslant 2ab \iff |ab| \geqslant ab$ (luôn đúng)
$\implies |a| + |b| \geqslant |a+b|$
Đẳng thức xảy ra khi $|ab| = ab \implies ab \ge 0$
Rồi bây h ai trong topic này cũng có thể dùng cái bđt này rồi đó ^^ :v
Báo trước là tui nghĩ cách này là tốt nhất rồi đó

cái này dùng ko cần nói ra nha
đây là mấy bài này còn các bài khác còn dùng
$|a| + |b| \geqslant |a-b|$ nhé
mà cách nam làm là cho $ |s| \geqslant s $ luôn ko phải cách khang chứng minh nhé
cách khang CM là cho 2 bài đầu thôi