Toán <span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax" id="MathJax-Element-1-Frame" role="textbo

[luongpham2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Vào bài luôn nhé :
Bài đầu tiên nào (bài khai trương) :
Bài $1$: Cho số $\overline{abc}\vdots 27$. Chứng minh rằng số $\overline{bca}\vdots 27$
$P/s:$ Bài đầu khá đơn giản nhỉ

 

[viethoang1999]

Bài 1:
$\overline{abc}$ chia hết 27 \Leftrightarrow $100a + 10b + c$ chia hết 27 \Leftrightarrow $19a + 10b + c$ chia hết 27 (do $81a$ chia hết cho 27)
\Rightarrow $c = 27k - 19a - 10b$ ($k$ là số tự nhiên)
Có: $\overline{bca} =100b+10c+a= 100b + 10(27k - 19a - 10b) + a = 270k - 189a = 27(10k - 7a)$ chia hết 27

 

[luongpham2000]

Bài 1:
$\overline{abc}$ chia hết 27 \Leftrightarrow $100a + 10b + c$ chia hết 27 \Leftrightarrow $19a + 10b + c$ chia hết 27 (do $81a$ chia hết cho 27)
\Rightarrow $c = 27k - 19a - 10b$ ($k$ là số tự nhiên)
Có: $\overline{bca} =100b+10c+a= 100b + 10(27k - 19a - 10b) + a = 270k - 189a = 27(10k - 7a)$ chia hết 27

@};- Ok nhé
~ Cách giải:
Ta có:
$\overline{abc} \vdots 27$
\Rightarrow $\overline{abc0} \vdots 27$
\Rightarrow $1000a+\overline{bc0} \vdots 27$
\Rightarrow $999a + a +\overline{bc0} \vdots 27$
\Rightarrow $27.37a+\overline{bca} \vdots 27$
Do $27.37a \vdots 27$ \Rightarrow $\overline{bca} \vdots 27$

~ Bài tiếp theo:
Bài $2$: Cho phân số $A=\dfrac{3n-5}{n+4}$. Tìm $n\in Z$ để $A$ có giá trị nguyên.

 

[viethoang1999]

$A=\dfrac{3n-5}{n+4}=\dfrac{3(n+4)-17}{n+4}=3-\dfrac{17}{n+4}$
Do $n\in \mathbb{Z}$ nên $n+4\in \mathbb{Z}$
Để $A\in \mathbb{Z}$ thì $n+4\in \text{Ư}(17)=\{\pm 1;\pm17\}$
Từ đó tìm ra $n$

 

[thieukhang61]

\[\begin{array}{l}
A = \frac{{3n - 5}}{{n + 4}}\\
3n - 5 \vdots n + 4\\
= > (3n - 5) - 3(n + 4) \vdots n + 4\\
= > 3n - 5 - 3n - 12 \vdots n + 4\\
= > - 17 \vdots n + 4\\
Lap\,\,bang\,\,xet\,cac\,\,uoc\,\,nguyen\,\,cua\,\, - 17 = > n
\end{array}\]

 

[luongpham2000]

$A=\dfrac{3n-5}{n+4}=\dfrac{3(n+4)-17}{n+4}=3-\dfrac{17}{n+4}$
Do $n\in \mathbb{Z}$ nên $n+4\in \mathbb{Z}$
Để $A\in \mathbb{Z}$ thì $n+4\in \text{Ư}(17)=\{\pm 1;\pm17\}$
Từ đó tìm ra $n$

\[\begin{array}{l}
A = \frac{{3n - 5}}{{n + 4}}\\
3n - 5 \vdots n + 4\\
= > (3n - 5) - 3(n + 4) \vdots n + 4\\
= > 3n - 5 - 3n - 12 \vdots n + 4\\
= > - 17 \vdots n + 4\\
Lap\,\,bang\,\,xet\,cac\,\,uoc\,\,nguyen\,\,cua\,\, - 17 = > n
\end{array}\]

Ok nhé
~ Cách giải:
Ta có $A=\dfrac{3n-5}{n+4}=\dfrac{3n+12-17}{n+4}=\dfrac{3(n+4)-17}{n+4}=3-\dfrac{17}{n+4}$
Để $A$ có giá trị nguyên \Leftrightarrow $n+4\in Ư(17)$
Mà $Ư(17)= \left \{ \pm1; \pm 17 \right \}$
Ta có bảng sau
$\begin{bmatrix}
n+4 &: -17 ;& -1; & 1 ;& 17 \\
n & :-21; &-5 ; & -3; &13
\end{bmatrix}$

~> Tiếp theo:
Bài $3$: Tìm $ƯCLN$ của $7n+3$ và $8n-1(n\in N^{*})$
Khi nào $2$ số đó nguyên tố cùng nhau? Tìm $n$ trong khoảng từ $40$ đến $90$ để chúng không nguyên tố cùng nhau.

 

[thieukhang61]

\[\begin{array}{l}
UCLN(8n - 1;7n + 3) = UCLN(7n + 3;n - 4) = UCLN(7(n - 4);31)\\
Ma\,\,n \in N*\\
Neu\,\,n - 4 \vdots 31 = > UCLN(8n - 1;7n + 3) = 31\\
Hai\,\,so\,\,do\,\,nguyen\,\,to\,\,cung\,\,nhau\,\,khi\,\,n - 4\,\,khong\,\,chia\,\,het\,\,cho\,\,31 = > UCLN(8n - 1;7n + 3) = 1\\
n = {\rm{\{ }}35;66\} \\

\end{array}\]

 

[thieukhang61]

\[\begin{array}{l}
UCLN(8n - 1;7n + 3) = UCLN(7n + 3;n - 4) = UCLN(7(n - 4);31)\\
Ma\,\,n \in N*\\
Neu\,\,n - 4 \vdots 31 = > UCLN(8n - 1;7n + 3) = 31\\
Hai\,\,so\,\,do\,\,nguyen\,\,to\,\,cung\,\,nhau\,\,khi\,\,n - 4\,\,khong\,\,chia\,\,het\,\,cho\,\,31 = > UCLN(8n - 1;7n + 3) = 1\\
n = {\rm{\{ }}35;66\} \\

\end{array}\]

Bài này là áp dụng thuật toán Euclide.. Làm vội nên không biết có nhầm lẫn không..................................
P/s: Xin lỗi vì mấy bài toán mình không gõ dấu được do xài mathtype để soạn công thức

 

[luongpham2000]

Bài này là áp dụng thuật toán Euclide.. Làm vội nên không biết có nhầm lẫn không..................................
P/s: Xin lỗi vì mấy bài toán mình không gõ dấu được do xài mathtype để soạn công thức

\[\begin{array}{l}
UCLN(8n - 1;7n + 3) = UCLN(7n + 3;n - 4) = UCLN(7(n - 4);31)\\
Ma\,\,n \in N*\\
Neu\,\,n - 4 \vdots 31 = > UCLN(8n - 1;7n + 3) = 31\\
Hai\,\,so\,\,do\,\,nguyen\,\,to\,\,cung\,\,nhau\,\,khi\,\,n - 4\,\,khong\,\,chia\,\,het\,\,cho\,\,31 = > UCLN(8n - 1;7n + 3) = 1\\
n = {\rm{\{ }}35;66\} \\

\end{array}\]

@};- Ok bạn nhé
Trên hocmai.vn vẫn có thể viết Latex mà
~ Cách giải:
$(7n+3, 8n-1)$ bằng $1$ hoặc $31$
Nếu $n\neq 31k + 4 (k\in N)$ thì $(7n+3, 8n-1)=1$
Với $40<n<90$, ta có $n=66$ thì $(7n+3,8n-1)=31$

~> Bài tiếp theo:
Bài $4$: Đố vui: Tuổi và năm sinh
Đến năm $2010$, số tuổi và số năm sinh của Hoàng có $BCNN$ gấp $133$ lần $ƯCLN$. Tính năm sinh của Hoàng.

 

[luongpham2000]

Bí bài này rồi ợ?
~ Cách giải:
Gọi số tuổi của Hoàng là $a$, năm sinh là $b$ thì $a+b=2010$, $[a,b]=133(a,b)$.
Giải như bài trên. Hoàng sinh năm $1995$

~> Bài tiếp theo:
Bài $5$: Cho $A=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{30}$. Viết $A+1$ dưới dạng $1$ lũy thừa.

 

[viethoang1999]

Bài 5:
$A=1+2+2^2+2^3+...+2^{30}$
\Rightarrow $2A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{31}$
\Rightarrow $2A-A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{31}-(1+2+2^2+2^3+...+2^{30})$
\Rightarrow $A=2^{31}-1$
\Rightarrow $A+1=2^{31}$ là một lũy thừa.

P/s: Hãy dùng màu chữ nào dễ nhìn!

 

[thaotiny09]

Ngoài lề tý ,t mới vào đây k pit cách đăng pài ntn ,ai júp vs

 

[luongpham2000]

Bài 5:
$A=1+2+2^2+2^3+...+2^{30}$
\Rightarrow $2A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{31}$
\Rightarrow $2A-A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{31}-(1+2+2^2+2^3+...+2^{30})$
\Rightarrow $A=2^{31}-1$
\Rightarrow $A+1=2^{31}$ là một lũy thừa.

P/s: Hãy dùng màu chữ nào dễ nhìn!

Ok. Chuẩn luôn . Không cần chữa.
~> Bài tiếp theo:
Bài $6$: $a)$ Chứng minh rằng mọi số nguyên tố $m$ lớn hơn $3$ đều được viết dưới dạng $6n+1$ hoặc $6n-1(n\in N)$
$b)$ Có phải mọi số có dạng $6n \pm 1(n\in N)$ đều là số nguyên tố hay không?

 

[luongpham2000]

Ok. Chuẩn luôn . Không cần chữa.
~> Bài tiếp theo:
Bài $6$: $a)$ Chứng minh rằng mọi số nguyên tố $m$ lớn hơn $3$ đều được viết dưới dạng $6n+1$ hoặc $6n-1(n\in N)$
$b)$ Có phải mọi số có dạng $6n \pm 1(n\in N)$ đều là số nguyên tố hay không?

$a)$ Mỗi số tự nhiên khi chia cho $6$ có một trong các số dư $0,1,2,3,4,5$. Do đó mọi số tự nhiên đều viết được dưới một trong các dạng $6n-2,6n,6n+2,6n+3$. Vì $m$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $m$ không chia hết cho $2$, không chia hết cho $3$, do đó $m$ không có dạng $6n-2,6n,6n+2,6n+3$. Vậy $m$ viết được dưới dạng $6n+1$ hoặc $6n-1$ (Ví dụ: $17=6.3-1,19=6.3+1$)
$b)$ Không phải mọi số có dạng $6n\pm 1(n\in N)$ đều là số nguyên tố. Chẳng hạn $6.4+1=25$ không là số nguyên tố (đpcm).

~> Bài tiếp theo:
Bài $7$: Cho biết $a+4b$ chia hết cho $13,(a,b\in N)$. Chứng minh rằng $10a+b$ chia hết cho $13$.

 

[luongpham2000]

$a)$ Mỗi số tự nhiên khi chia cho $6$ có một trong các số dư $0,1,2,3,4,5$. Do đó mọi số tự nhiên đều viết được dưới một trong các dạng $6n-2,6n,6n+2,6n+3$. Vì $m$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $m$ không chia hết cho $2$, không chia hết cho $3$, do đó $m$ không có dạng $6n-2,6n,6n+2,6n+3$. Vậy $m$ viết được dưới dạng $6n+1$ hoặc $6n-1$ (Ví dụ: $17=6.3-1,19=6.3+1$)
$b)$ Không phải mọi số có dạng $6n\pm 1(n\in N)$ đều là số nguyên tố. Chẳng hạn $6.4+1=25$ không là số nguyên tố (đpcm).

~> Bài tiếp theo:
Bài $7$: Cho biết $a+4b$ chia hết cho $13,(a,b\in N)$. Chứng minh rằng $10a+b$ chia hết cho $13$.

Đặt $a+4b=x;10a+b=y$. Ta biết $x\vdots 13$, cần chứng minh $y\vdots 13$.
Cách $1$: Xét biểu thức:
$10x-y=10(a+4b)-(10a+b)=10a+40b-10a-b=39b$
Như vậy: $10x-y\vdots 13$
Do $x\vdots 13$ nên $10x\vdots 3$ \Rightarrow $y\vdots 3$
Cách $2$: Xét biểu thức:
$4y-x=4(10a+b)-(a+4b)=40a+4b-a-4b=39a$
Như vậy $4y-x\vdots 13$
Do $x\vdots 13$ nên $4y\vdots 13$ . Ta lại có $(4,13)=1$ \Rightarrow $y\vdots 13$
Cách $3$: Xét biểu thức:
$3x+y=3(a+4b)+(10a+b)=3a+12b+10a+b=13a+13b$
Như vậy $3x+y\vdots 13$
Do $x\vdots 13$ nên $3x\vdots 13$. \Rightarrow $y\vdots 13$
Cách $4$: Xét biểu thức:
$x+9y=a+4b+9(10a+b)=a+4b+90a+9b=91a+13b$
Như vậy $x+9y\vdots 13$
Do $x\vdots 13$ nên $9y\vdots 13$ .Ta lại có $(9,13)=1$ \Rightarrow $y\vdots 13$

 

[luongpham2000]

~> Bài tiếp theo:
Bài $8$: Trong tháng $1$ năm $1991$ có ba ngày thứ năm là ba số nguyên tố. Với nhận xét đó, bạn hãy tính xem ngày $3-2-1991$ vào thứ mấy? Từ đó hãy tính xem ngày $3-2-1930$ vào thứ mấy?

 

[viethoang1999]

~> Bài tiếp theo:
Bài $8$: Trong tháng $1$ năm $1991$ có ba ngày thứ năm là ba số nguyên tố. Với nhận xét đó, bạn hãy tính xem ngày $3-2-1991$ vào thứ mấy? Từ đó hãy tính xem ngày $3-2-1930$ vào thứ mấy?

Khoảng cách giữa các ngày thứ 5 trong tháng là $7$, gọi ngày thứ 5 đầu tiên trong tháng là $a$
Suy ra $a;a+7;a+14;a+21;a+28$ đều là số nguyên tố.
Nếu $a=2$ suy ra không thỏa mãn
Nếu $a>2$ tức là $a$ lẻ suy ra $a+7$ và $a+21$ chẵn (loại)
Vậy 3 ngày thứ 5 đó là $a;a+14;a+28$
Do $a>2$ nên $a+28>30$, mà tháng 1 có 31 ngày nên chỉ có thể là $a+28=31$
Từ đó suy ra $a=3$
Vậy các ngày thứ 5 đó là $3;17;31$
Vậy ngày 3/2/1991 là Chủ nhật

 

[luongpham2000]

Khoảng cách giữa các ngày thứ 5 trong tháng là $7$, gọi ngày thứ 5 đầu tiên trong tháng là $a$
Suy ra $a;a+7;a+14;a+21;a+28$ đều là số nguyên tố.
Nếu $a=2$ suy ra không thỏa mãn
Nếu $a>2$ tức là $a$ lẻ suy ra $a+7$ và $a+21$ chẵn (loại)
Vậy 3 ngày thứ 5 đó là $a;a+14;a+28$
Do $a>2$ nên $a+28>30$, mà tháng 1 có 31 ngày nên chỉ có thể là $a+28=31$
Từ đó suy ra $a=3$
Vậy các ngày thứ 5 đó là $3;17;31$
Vậy ngày 3/2/1991 là Chủ nhật

@};- OK
~ Cách giải:
Trong các số nguyên tố, chỉ có $2$ là số nguyên tố chẵn. Nếu ngày thứ năm đầu là ngày $2$ thì các ngày thứ năm sau là ngày $9,16,23,30$. Ta thấy có $2$ và $23$ là hai số nguyên tố. Vậy ngày thứ năm đầu phải là ngày lẻ. Ngày thứ năm sau phải cách hai tuần ( vì nếu chỉ cách một tuần thì ngày đó là ngày chẵn, không phải là số nguyên tố ). Ngày thứ năm cuối cùng cũng phải cách 2 tuần.
Vì tháng $1$ có $31$ ngày nên ba ngày đó chỉ có thế là: $1,15,29$ hay $3,17,31$. Trường hợp đầu không thỏa mãn vì $1$ và $15$ không phải là số nguyên tố. Vậy ba ngày thứ năm đó là $3-1,17-1$ và $31-1$. Do đó ngày $3-2-1991$ vào chủ nhật.

 

[luongpham2000]

~> Bài tiếp theo:
Bài $9^{*}$: Cho các số tự nhiên khác $0$ là $a,b,c$ sao cho $p=b^{c}+a, q=a^{b} +c , r=c^{a}+b$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng hai trong các số $p,q,r$ phải bằng nhau.

 

[luongpham2000]

~> Bài tiếp theo:
Bài $9^{*}$: Cho các số tự nhiên khác $0$ là $a,b,c$ sao cho $p=b^{c}+a, q=a^{b} +c , r=c^{a}+b$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng hai trong các số $p,q,r$ phải bằng nhau.

~ Cách giải: Trong ba số tự nhiên $a,b$ và $c$ phải có ít nhất hai số cùng tính chẵn lẻ. Giả sử hai số đó là $a$ và $b$. Vì $b^{c}$ cùng tính chẵn lẻ với $b$ nên $p=b^{c}+a$ chẵn, nhưng $p$ lại là số nguyên tố, do đó $p=2$. \Rightarrow $b=a=1$. Khi đó $q=a^{c}+c=1+c=c^{a}+1=c^{a}+b=r$> Nếu hai số cùng tính chẵn lẻ là $a$ và $c$ hoặc $b$ và $c$ thì cũng lí luận tương tự, ta suy ra trong ba số nguyên tố $p,q,r$ phải có hai số bằng nhau.