Toán Giải đề thi hsg toán 9 trên cả nước

[forum_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào mọi người!

Nhằm giúp box toán phát triển và củng cố thêm kiến thức mình xin lập ra topic này để chúng ta cùng thảo luận về những bài toán khó , cùng nhau cố gắng học tập để có kết quả tốt trong các kì thi hsg sắp tới. Mong các bạn nhiệt tình tham gia.

Mình sẽ liên tục cập nhật các đề thi hsg cấp tỉnh, huyện, các đề thi vào lớp 10 THPT chuyên, chọn của tất cả các tỉnh thành trên cả nước để chúng ta cùng nhau giải và nâng cao thêm kiến thức

Ngoài ra mọi người cũng có thể yêu cầu up đề ở tỉnh mà các bạn muốn có nhưng chưa tìm, hãy gửi qua tin nhắn khách ở trang cá nhân cho mình

Mọi người ấn vào ô

để mình xác nhận nữa nhé!!!

Mong là topic sẽ phát triển dày như 1 cuốn sách


Chú ý: - Phải gõ latex, đánh stt bài..

- Không spam, viết bài không có ích............

-Các mod nếu xóa bài viết spam thì cho thẳng xuống thùng rác tránh mất thẩm mĩ ="=

-Nếu mod thấy bài viết của thành viên (hoặc mod, t-mod...) bị sai thì có thể sửa bên dưới và ghi dòng chữ đỏ như: Sai nhé hoặc là Xem lại , ....v....v...

-Nếu các bạn có ý kiến gì hay giúp topic thì trao đổi với mình qua tin nhắn cá nhân nhé!

-Xem cách gõ công thức Toán, Vật lí, Hóa học

-Xem Cách gõ tiếng Việt có dấu


Mọi thắc mắc & đóng góp ý kiến liên hệ chủ topic:


forum_

angleofdarkness

Chú ý :Khi đóng topic mình sẽ tổng hợp câu trả lời và xác nhận cho các bạn kèm theo tks cho các câu trả lời

START!​

 

[forum_]

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm học 2012-2013​

Câu 1.

1. Tính giá trị biểu thức: $A=\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}-\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}$

2. Rút gọn biểu thức:

$P=\dfrac{\sqrt{a-2}+2}{3}.(\dfrac{\sqrt{a-2}}{3+\sqrt{a-2}}+\dfrac{a+7}{11-a}) : (\dfrac{3\sqrt{a-2}+1}{a-3\sqrt{a-2}-2}-\dfrac{1}{\sqrt{a-2}})$

Câu 2.

1. Giải phương trình: $3\sqrt{x^3+8}=2x^2-3x+10$

2. Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+1=4y & \\ (x^2+1)(x+y-2)=y & \end{matrix}\right.$

Câu 3.

1.Cho hàm số $y=x^2$. Tìm các giá trị của m để đường thẳng $\Delta$ có phương trình
y=x-m cắt đồ thị hàm số tại 2điểm phân biệt $A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)$ thoả mãn $(x_2-x_1)^4+(y_2-y_1)^4=18$

2. Cho a,b,c là các số nguyên tố thoả mãn:

20abc<30(a+b+c)<21abc

Tìm a,b,c

Câu 4. Cho $\triangle$ ABC vuông tại A (AB<AC). Đường cao AH. O là trung điểm của BC. Đường tròn (I) đường kính AH cắt AB,AC tại M,N. Đường thẳng AO cắt MN tại D.

1. Chứng minh: Tứ giác BMNC nội tiếp

2. Chứng minh: $\dfrac{1}{AD}=\dfrac{1}{HB}+\dfrac{1}{HC}$

3. Cho AB=3; AC=4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle$ BMN

Câu 5. Cho a,b,c là các số dương thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+ \dfrac{1}{c^2+2a^2+3}$ $\le$ $\dfrac{1}{2}$

 

[soicon_boy_9x]

Câu bất đẳng thức:
$\sum \dfrac{1}{a^2+2b^2+3} \leq \sum \dfrac{1}{2ab+2b+2}=\dfrac{1}{2}$



Câu 2.2

$x^2+1+y(x+y-2)=2y$

$\leftrightarrow x^2+1=2y-y(x+y-2)$

Thế vào (2) ta được:

$[2y-y(x+y-2)](x+y-2)=y$

Nhận thấy $y=0$ không thỏa mãn nên ta có:

$[2-(x+y-2)](x+y-2)=1$

Đến đây không khó với một học sinh giỏi



Câu 2.1:

Đặt $ \sqrt{x^2-2x+4}=a \ \ \ \ \ \sqrt{x+2}=b$

Pt lúc đầu trở thành:

$2a^2+b^2=3ab \leftrightarrow (a-b)(2a-b)=0$

...


Câu 3.1

Không mất tỉnh tổng quát giả sử $x_2 \geq x_1$

Ta có: $y_1=x_1-m$ và $y_2=x_2-m$

Trừ tưng vế ta được $y_2-y_1=x_2-x_1$

$\leftrightarrow (y_2-y_1)^4=(x_2-x_1)^4$

Từ giả thiết ta tính được $x_2-x_1=\sqrt{3}$

Áp dụng thêm điều kiện $y_1=x_1^2$ và $y_2=x_2^2$ ta tính được
$x_1$ và $x_2$

Từ đó ta có được $m=-0,5$

Câu 3.2 thì chỉ dùng phương pháp chặn quá quen thuộc

Đề này có câu hình tương đối dễ so với đề thi tỉnh

 

[letsmile519]

3.2

Từ Gt ta chia cả 3 vế cho abc (a,b,c là số nto nên chia k bị đổi chiều)

[TEX]\frac{2}{3}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<\frac{7}{10}[/TEX]

Gsử a>b>c \Rightarrow [TEX]\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<\frac{1}{c}[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\frac{2}{3}<\frac{3}{a}[/TEX]

giải ra và đánh giá a, sau đó thay tìm tiếp b,c

Câu hình nhé: (tự vẽ hình)

a) Nối M, H lại

\Rightarrow tam giác AMH vuông
\Rightarrow [TEX]\{BHM}=\{BAH}=\{IMA}[/TEX]

mà [TEX]\{BHM}=\{BCA}[/TEX] (vì MH song song vs AC[cùng vuông góc vs AB])

\Rightarrow[TEX] \{AMN}=\{BCA}[/TEX] \Rightarrow tứ giác MNBC nội tiếp

b)

Bình phương 2 vế ta có

[TEX]=(\frac{1}{HB}+\frac{1}{HC})^2[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{HB^2}+\frac{1}{HC^2}+\frac{2}{HC.HB}[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]=\frac{1}{HB^2}+\frac{1}{HC^2}+\frac{2}{AH^2}[/TEX]
=[TEX]\frac{1}{MH^2}+\frac{1}{HN^2}=\frac{1}{AD^2}[/TEX] \Rightarrow ĐPCM



P/s:mỏi tay dùng TEX k nhanh = trong diễn đàn toán học

@Forum_: thử xài cái này xem http://www.codecogs.com/products/eqneditor/editor.php

Câu 1.1: (Bắc Giang)

$A^2=26.2-2\sqrt{26^2-(15\sqrt{3})^2}$
[TEX]\rightarrow A^2=50 \Rightarrow A=\sqrt{50}[/TEX]

P/s:Chuyển đề mới đi bà, mà cái bà đưa làm sao để chèn vào diễn đàn học mãi này được nhỉ

@Forum_: gõ như word , kẹp "$" vào 2 bên rồi copy qua đây là đc!!!

 

[forum_]

Tiếp....bây giờ là tỉnh BN !

Đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh năm học 2012-2013
​

Câu 1.

1. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho parabol (P) có phương trình $y = x^2$ và đường thẳng d có phương trình y = kx+1 (k là tham số). Tìm k để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho $MN=2\sqrt{10}.$

2. Giải hệ phương trình: $\begin{Bmatrix} (x+y)(x+z) =12 & \\ (y+x)(y+z) =15 & \\ (z+y)(z+x) =20 & \end{Bmatrix}$
(Với x, y, z là các số thực dương).

Câu 2.

1. Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^4 -2y^4 -x^2y^2 -4x^2 -7y^2 -5 =0.$

2. Cho ba số a, b, c thỏa mãn $a+b+c =1; a^2+b^2+c^2 =1; a^3+b^3 +c^3 =1$

Chứng minh rằng: $a^{2013} +b^{2013} +c^{2013}$.

Câu 3.
Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP của đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm).

1. Dựng điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.

2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn thuộc đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d.

Câu 4

1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn $ a^2 +b^2$ =[a,b] +7(a,b)

(với [a,b] = BCNN(a,b), (a,b) = ƯCLN(a,b)).

2. Cho tam giác ABC thay đổi có AB = 6, AC = 2BC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.

-------Hết------​

P.s: câu 1 của tỉnh B.G các bạn vẫn tiếp tục làm nhé nhưng phải mở ngoặc ra ghi BG để tránh nhầm lẫn với BN! @};-@};-@};-

 

[letsmile519]

2:Hệ

Nhân cả 3 hệ lại ta được

[TEX][(x+y)(y+z)(z+x)]^2=15.20.12=60^2\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=60[/TEX]

thay vào pt 1,2,3 ta được

[TEX]y+z=60:12=5;z+x=60:15=4;x+y=60:20=3[/TEX]

từ đó giải ra x,y,z

2.1 nhá:
nhân 4 lên:
phân tích thành [TEX](2x^2-y^2-4)^2-(3y^2+6)^2=0[/TEX]


sau đó chuyển thành tích, rồi làm bt, đến đây là không khó nữa rồi!!

2.2:

ta có:

[TEX]a^2+b^2+c^2-(a^3+b^3+c^3)=0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]a^2(1-a)+b^2(1-b)+c^2(1-c)=0[/TEX] (2)

đánh giá [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]

\Rightarrow a,b,c \leq 1

\Leftrightarrow 1-a;1-b;1-c\geq 0 (1)

từ 1,2 \Rightarrow 2 trong 3 số =0 1 số =1 (chỗ này các bạn đánh giá kĩ nhá, mik ngại viết)

\Rightarrow [TEX]a^2012+b^2012+c^2012=1[/TEX]

 

[angleofdarkness]

Có thể chụp hình rồi gửi lên, hoặc chăm chỉ gõ đề ra.

Lưu ý, lần sau có ai trả lời và muốn đc ĐHT thì bấm nút lời giải hay hơn của bài đã đc xác nhận đúng ở trên rồi trả lời kèm ở cửa sổ mở sau đó, có thể nhấn ctrl + A + delete để xóa những thứ k cần thiết trc khi viết trả lời của mình.

Đề BN của ta để ta xử =))

1.1

ĐK: \forall a thuộc R, a > 0, a khác 4.

Ta có $P=\dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{a^3}-1)}{a+\sqrt{a}+1}-\dfrac{\sqrt{a}(3\sqrt{a}-2)}{\sqrt{a}}+\dfrac{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)}{\sqrt{a}-2}.$

$=a-\sqrt{a}-3\sqrt{a}+2+\sqrt{a}+2$

$=a-3\sqrt{a}+4.$

1.2

Ta có $P=a-3\sqrt{a}+4=(\sqrt{a}-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{7}{4}$ \geq $\dfrac{7}{4}.$

Dấu = \Leftrightarrow $a=\dfrac{9}{4}.$

Hãi, ai cho forum_ ăn bớt đề của ta, làm ta tưởng cóp nguyên si, mất công gõ bài 1.

1.1

Xét pt $x^2=kx+1$ \Leftrightarrow $x^2-kx-1=0.$ (*)

Có $\Delta=k^2+4>0$ (\forall k) nên pt (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Giả sử hai nghiệm đó là $x_1;x_2$ và tọa độ hai giao điểm là M($x_1;kx_1+1$); N($x_2;kx_2+1$).

Theo gt $MN=2\sqrt{10}$ \Leftrightarrow $\sqrt{(x_1-x_1)^2+k^2(x_2-x_1)^2}=2\sqrt{10}$

\Leftrightarrow $\sqrt{k^2+1}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=2\sqrt{10}$%%-

Theo Viet $x_1+x_2=k;x_1.x_2=-1.$

Do đó %%- trở thành $\sqrt{k^2+1}\sqrt{k^2+4}=\sqrt{10}$

Từ đó tính đc k = 2 hoặc k = - 2.


4.1

Có [a, b] = $\dfrac{ab}{(a,c)}$, do đó từ đẳng thức đề cho ta suy ra $a^2+b^2=\dfrac{ab}{(a,c)}+7(a,b)$

Đặt (a, b) = d thì a = dx, b = dy với (x, y) = 1.

Khi đó ta có $d(x^2+y^2)=xy+7$ \Leftrightarrow $(2d-1)(x^2+y^2)+(x-y)^2=14$ (*)

Nếu x \geq 4 hoặc y \geq 4 thì VT(*) > 14 \Rightarrow x \leq 3; y \leq 3.

Do (x, y) = 1 và vai trò x, y là như nhau nên xét 4T.h (tự xét, tớ lười =)))

Cuối cũng chọn 5 cặp (a, b) là (3, 1); (1, 3); (4, 4); (3, 2); (2, 3).

 

[vuive_yeudoi]

2. Cho a,b,c là các số nguyên tố thoả mãn:

20abc<30(a+b+c)<21abc

Tìm a,b,c

3.2

Từ Gt ta chia cả 3 vế cho abc (a,b,c là số nto nên chia k bị đổi chiều)

[TEX]\frac{2}{3}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{7}{10}[/TEX]

Gsử a>b>c \Rightarrow [TEX]\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<\frac{1}{c}[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\frac{2}{3}<\frac{3}{a}[/TEX]

giải ra và đánh giá a, sau đó thay tìm tiếp b,c

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc} \neq \frac{a+b+c}{abc} $$

 

[forum_]

Câu 3.
Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP của đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm).

1. Dựng điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.

2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn thuộc đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d.

4.2. Cho tam giác ABC thay đổi có AB = 6, AC = 2BC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.

Còn 2 câu hình :|

Sao hình ít đc hoan nghênh thế nhể ?

Mau lên để mình còn up đề tỉnh Bình Phước nữa chớ!!!!

 

[angleofdarkness]

thích thì chiều, hình này:

3.1

Tứ giác MNOP là hình vuông nên OM = ON$\sqrt{2}$=R.$\sqrt{2}$.

Cách dựng:

- Dựng (O) đi qua D và cắt d tại M.

C/m:

Từ M kẻ tiếp tuyến MN, MP.

Biện luận:

Bài có 2 nghiệm hình.

3.2

Ta có ON vuông vs MN, OP vuông vs MP nên M, N, P thuộc đường tròn tậm H đk OM.

Kẻ OE vuông vs d, E là trung điểm BA.

\Rightarrow H luôn cách d một khoảng không đổi nên H chạy trên đường thẳng d' cố định, với d' // vs d và d' đi qua trung điểm đoạn OE cố định.

 

[angleofdarkness]

4.2

Kẻ CD, CE là các đ.p.giác trong và ngoài tam giác ACB.

Ta có góc DCE = 90 độ và $\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{EA}{EB}=2$

\Rightarrow $\dfrac{DA}{DA+DB}=\dfrac{2}{3};\dfrac{EA}{EA-EB}=2$ \Rightarrow $DA=\dfrac{2}{3}AB=4;EA=2AB=12.$

\Rightarrow DE = 8.

Kẻ CH vuông vs AB tại H.

Gọi O là trung điểm DE \Rightarrow Tam giác CDE vuông ở C \Rightarrow CO = 4.

\Rightarrow Diện tích ABC = $\dfrac{1}{2}.AB.CH$ \leq $\dfrac{1}{2}.AB.CO$ = 12.

Dấu = \Leftrightarrow H trùng O \Leftrightarrow AC = $4\sqrt{5}$ và BC = $2\sqrt{5}$

 

[angleofdarkness]

Để tôi ra đề vậy, ngồi không hơi chán:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA Năm học 2012-2013


Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS
Thời gian: 150 phút
Ngày thi : 15/03/2013
ĐỀ THI CHÍNH THỨC​

Câu I: ( 4,0 điểm)

Cho biểu thức P = $\dfrac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}-\dfrac{2(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}$
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm GTNN của biểu thức P và giá trị tương ứng của x

Câu II: (5,0 điểm)

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho PT $x^{4}-4x^{3}+8x+m= 0$ có 4 nghiệm phân biệt
2. Giải hệ PT
$2+3x= \frac{8}{y^{3}}$ và $x^{3}-2=\frac{6}{y}$

Câu III: (4,0 điểm)

1. Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho $2^{n}-15$ là bình phương của một số tự nhiên
2. Cho m,n là các số tự nhiên dương thỏa mãn $\sqrt{6}-\dfrac{m}{n}> 0$. CMR $\sqrt{6}-\dfrac{m}{n}> \dfrac{1}{2mn}$

Câu IV: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có AB <AC , nội tiếp đường tròn $(\Omega )$. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, $(\omega )$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Đường tròn $(\omega )$ cắt đường tròn $(\Omega )$ tại hai điểm A,N ( N$\neq$ A) , đường thẳng AM cắt đường tròn $(\omega )$ tại hai điểm A, K ( A$\neq$ K)
1. CM ba điểm N,H,M thẳng hàng
2. CM $\widehat{NDE}= \widehat{FDK}$
3. Cm tứ giác BHKC nội tiếp đường tròn

Câu V: (1,0 điểm)

Cho một bảng kẻ ô vuông kích thước 7*7 ( gồm 49 ô vuông đơn vị). Đặt 22 đấu thủ vào bảng sao cho mỗi ô vuông đơn vị không quá một đấu thủ. Hai đấu thủ được gọi là tấn công lẫn nhau nếu họ cùng trên một hàng hoặc cùng trên một cột. CMR với mỗi cách đặt bất kì luôn tồn tại ít nhất 4 đấu thủ đôi mội không tấn công lẫn nhau.

 

[eye_smile]

Bài II.2:
Đặt $x=a$; $\dfrac{1}{y}=b$ (y khác 0)
Thay vào hpt, cộng 2 pt với nhau, được:
${a^3}-8{b^3}+3a-6b=0$
\Leftrightarrow $(a-2b)({a^2}+2ab+4{b^2}+3)=0$
Dễ thấy ${a^2}+2ab+4{b^2}+3$ > $0$
Suy ra $a=2b$
Thay vào pt(1), được:
${a^3}-3a-2=0$
Đến đây tìm được $a=2$ hoặc $a=-1$
Từ đây suy ra nghiệm hpt: (x;y)=(2;1);(-1;-2)

 

[n.hoa_1999]

Ii.1

$x^{4}-4x^{3}+8x+m= 0$
$x^{4}-4x^{3}+4x^2-4x^2+8x+m= 0$
$(x^4-4x^3+4x^2)-(4x^2-8x-m)=0$
$(x^2-2x)^2-4(x^2-2x)+m=0$
Đặt $x^2-2x$=y
=> $y^2-4y+m=0$ (*)
Δ=16-4m
Giải hệ hàm số (*)
Δ=0=> $\frac{4}{2}=2$
Δ<0=>...
giải hệ là ra !!!

 

[letsmile519]

Câu hình nàytự vẽ hình)

a) ta có A,N,H nội tiếp đường tròn \Rightarrow HN vuông tại N

Kéo dài HN cắt đường tròn nội tiếp tam giác ABC tại Q

Chứng minh BHCQ là hình bình hành do HC song song vs BQ(cùng vuông vs AB)

tương tự

\Rightarrow H,M,Q thẳng hàng\Leftrightarrow N,H,M thẳng hàng

 

[eye_smile]

III.2: Chỗ cm chỉ cần > $\dfrac{1}{mn}$ thôi chứ bạn?
Cm:
Từ $\sqrt{6}-\dfrac{m}{n}$ > $0$
\Rightarrow $6$ > $\dfrac{{m^2}}{{n^2}}$
\Leftrightarrow $6{n^2}>{m^2}$
Do $m;n$ là stn dương nên $6{n^2}$ \geq ${m^2}+1$
Mà 1 số cphg khi chia cho 6 chỉ có số dư là 0;1;3;4 nên suy ra $6{n^2}$ khác ${m^2}+1$
suy ra $6{n^2}$ \geq ${m^2}+2$
Nhưng suy luận giống như trên thì $6{n^2}$ khác ${m^2}+2$
suy ra $6{n^2}$ \geq ${m^2}+3$
+/m=1
suy ra $6{n^2}>4$
nên $\sqrt{6}>\dfrac{2}{n}=\dfrac{1}{mn}+\dfrac{m}{n}$
\Rightarrow $\sqrt{6}-\dfrac{m}{n}>\dfrac{1}{mn}$
+/m>1
\Rightarrow $6{n^2}-{m^2}>2+\dfrac{1}{{m^2}}$
\Leftrightarrow $6{n^2}>{(m+\dfrac{1}{m})^2}$
\Leftrightarrow $\sqrt{6}-\dfrac{m}{n}>\dfrac{1}{mn}$
suy ra đpcm

 

[letsmile519]

iii.1:

Xét thấy 1 số bình phương có tận cùng là 1,4,5,6,9

\Rightarrow [TEX]2^n[/TEX] có tận cùng là 0,1,6,4,9

mà 2^n là số chẵn \Rightarrow tận cùng là 9 loại,tận cùng là 0 cũng loại

Nếu tận cùng =1 thay n=0 vô lý

Tận cùng là 4 n có dạng 2k, tận cùng là 6 n có dạng 4k

thay vào 2^2k-a^2=15

\Leftrightarrow [TEX](2^k-a)(2^k+a)=15[/TEX]

giải tìm k, tương tự với n=4k

Bài II.2:
Đặt $x=a$; $\dfrac{1}{y}=b$ (y khác 0)
Thay vào hpt, cộng 2 pt với nhau, được:
${a^3}-8{b^3}+3a-6b=0$
\Leftrightarrow $(a-2b)({a^2}+2ab+4{b^2}+3)=0$
Dễ thấy ${a^2}+2ab+4{b^2}+3$ > $0$
Suy ra $a=2b$
Thay vào pt(1), được:
${a^3}-3a-2=0$
Đến đây tìm được $a=2$ hoặc $a=-1$
Từ đây suy ra nghiệm hpt: (x;y)=(2;1);(-1;-2)

Câu này mình nghĩ đặt [TEX]\frac{2}{y}[/TEX] nhanh hơn ý, khỏi phân tích dài ntn

 

[trungthinh.99]

Bài tập

I.1:
$A = \left(\frac{6x + 4}{3\sqrt{3x^3}-8} - \frac{\sqrt{3x}}{3x - 2\sqrt{3x}+4} \right) . \left(\frac{1 + 3\sqrt{3x^3}}{1 + \sqrt{3x}} - \sqrt{3x} \right)$



a) Rút gọn A (tìm ĐK)
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

 

[angleofdarkness]

Ra đề tiếp nhé, nhắc lại các mem muốn trả lời và có ĐHT thì bấm vào nút lời giải hay hơn, sau đó trả lời tại đó để mod chấm bài.


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 TỈNH THÁI BÌNH

Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1: (3,0 điểm)

Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó.

Câu 2: (3,0 điểm)

Cho biểu thức:
$P=\sqrt{1-x+(1-x) \sqrt{1-x^2}}+\sqrt{1-x-(1-x) \sqrt{1-x^2}}$ với $x \in [-1;1]$
Tính giá trị biểu thức P với $x=\frac{-1}{2012}$.

Câu 3: (3,0 điểm)

Tìm số thực $x, y$ thỏa mãn:
$(x^2+1)^2y^2+16x^2+\sqrt{x^2-2x-y^3+9}=8x^3y+8xy$

Câu 4: (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): $y=x^2$ và hai điểm A(-1;1). B(3;9) nằm trên (P). Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và có hoành độ là m (-1<m<3). Tìm m để diện tích tam giác ABM lớn nhất.

Câu 5: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R). Gọi I là điểm bất kì trong tam giác ABC (I không nằm trên các cạnh của tam giác). Các tia AI, BI, CI cắt lần lượt BC, CA, AB tại M, N và P.
a) Chứng minh: $\dfrac{AI}{AN}+\dfrac{BI}{BN}+\dfrac{CI}{CN} =2$.
b) Chứng minh: $\dfrac{1}{AM.BN}+\dfrac{1}{BN.CP}+\dfrac{1}{CP.AM}$ \leq $\dfrac{4}{3(R-OI)^2}$.

Câu 6: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp (O;R). Gọi x, y, z là khoảng cách từ O đến các cạnh BC, CA, AB và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh y+z-x=R+r.

Câu 7: (2,0 điểm)

Cho x,y thỏa mãn x, y thuộc R và 0 \leq x,y \leq $\dfrac{1}{2}$. Chứng minh rằng $\dfrac{\sqrt{x}}{1+y}+\dfrac{\sqrt{y}}{1+x}$ \leq $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.

 

[eye_smile]

Câu 1:
Gọi 3 cạnh lần lượt là $a;b;c$ (đk)
T.có: ${b^2}+{c^2}={a^2}$ (1) \Rightarrow ${(b+c)^2}={a^2}+2bc$
\Rightarrow $bc=\dfrac{{(b+c)^2}-{a^2}}{2}$
Lại có: $a+b+c=bc$
Thay vào, được:
$2a+2(b+c)={(b+c)^2}-{a^2}$
\Leftrightarrow $(c+b-1-a-1)(c+b-1+a+1)=0$
\Leftrightarrow $c+b=2+a$
Thay vào (1):
${b^2}+{c^2}={(b+c-2)^2}$
\Leftrightarrow $b+c=2+cb$
Đây là phương trình nghiệm nguyên dương dễ
Dễ dàng tìm được độ dài 3 cạnh