mình có bài CM này
Ta có công thức:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3$
= $(1 + 2 + 3 +...+ n)^2$
Dựa vào Ct này, ta có:
$S = [1 + 2 + 3 + 4 +...+ (n - 1) + n]^2$
Dãy trên có n số hạng
Tổng = $(\dfrac{(n + 1) . n}{2})^2$
OK.
\[\begin{array}{l}
Ta\,co:{n^3} - n = (n - 1)n(n + 1)\\
CM:{n^3} - n = n({n^2} - 1)\\
= n({n^2} - n + n - 1)\\
= n{\rm{[n(n - 1) + (n - 1)]}}\\
= {n^2}(n - 1) + n(n - 1)\\
= (n - 1)({n^2} + n)\\
= (n - 1)n(n + 1)\\
Tinh:S = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3}\\
= {1^3} - 1 + {2^3} - 2 + {3^3} - 3 + ... + {n^3} - n + (1 + 2 + 3 + ... + n)\\
= 0.1.2 + 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1) + (1 + 2 + 3 + ... + n)\\
= \frac{{(n - 1)n(n + 1)(n + 2)}}{4} + \frac{{n(n + 1)}}{2}\\
= n(n + 1)\left( {\frac{{(n - 1)(n + 2)}}{4} + \frac{1}{2}} \right)\\
= n(n + 1)\frac{{(n - 1)(n + 2) + 2}}{4}\\
= n(n + 1)\frac{{{n^2} + 2n - n - 2 + 2}}{4}\\
= n(n + 1)\frac{{{n^2} + n}}{4}\\
= n(n + 1)\frac{{n(n + 1)}}{4}\\
= \frac{{n{{(n + 1)}^2}}}{{{2^2}}}\\
= {\left( {\frac{{n(n + 1)}}{2}} \right)^2}\\
= {(1 + 2 + 3 + ... + n)^2}
\end{array}\]