Ôn Thi Đại Học 2013.

[truongduong9083]

Bài 58. Cho hàm số $y = x^4 - 2x^2-3 (C)$. Tìm m để đường thẳng $y = m$ cắt hàm số $(C)$ tại 4 điểm M, N, P, Q (sắp theo thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ được giả sử là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kì.

 

[truongduong9083]

Bài 59. Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3-x^2-3x+\dfrac{8}{3} (C)$. Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O (Với O là gốc tọa độ).

 

[truongduong9083]

Bài 60: Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2+1 (C)$. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau đồng thời
$AB = 4\sqrt{2}$.

 

[truongduong9083]

Bài 61: Cho hàm số $y = \dfrac{x+2}{x - 1} (C)$. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 0) có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tai hai điểm phân biệt
M, N thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho $AM = 2AN$.

 

[smileandhappy1995]

Bài 61: Cho hàm số $y = \dfrac{x+2}{x - 1} (C)$. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 0) có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tai hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho $AM = 2AN$.
$\bullet$ Đường thẳng d có phương trình: $y= m(x-1)$
- Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{x+2}{x - 1}= m(x-1)$
$\Leftrightarrow mx^2-(2m+1)x-2=0$ (1) với $x \neq 1$
đặt $t=x-1 \Leftrightarrow x=t+1$
phương trình (1) trở thành $mt^2 -t-3= 0$ (2)
Đường thẳng d cắt hàm số (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C) thì pt (1) có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn: $x_1<1<x_2$ hay phương trình (2) phải có 2 nghiệm $t_1,t_2$ thỏa mãn: $t_1<0<t_2$
$\Leftrightarrow \dfrac{-3}{m}<0$
$ \Leftrightarrow m>0$( *)
$\bullet$ Giả sử hai điểm $M(x_1; m(x_1-1)); N(x_2; m(x_2-1))$ ($x_1; x_2$ là hai nghiệm của phương trình (1)). Do A, M, N thuộc d và AM=2AN (A nằm giữa M và N)
$\Rightarrow \vec{AM} = 2\vec{AN}$
$\Rightarrow x_1+2x_2 = 3 (3)$
Theo vi ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2 = \dfrac{2m+1}{m} (4)\\ x_1.x_2 = \dfrac{m-2}{m} (5) \end{array} \right.$
Giải hệ phương trình (3), (4), (5) ta tìm được $m = \dfrac{2}{3}$
$\bullet$ Kiểm tra với điều kiện ( *) ta có $m = \dfrac{2}{3}$ thỏa mãn điều kiện bài toán

 

[truongduong9083]

Bài 54: Cho hàm số $y = \dfrac{x+3}{x+2} (C)$. Tìm m để
đường thẳng $d: y = 2x+3m$ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho $\vec{OA}.\vec{OB} = - 4$ (Với O là gốc tọa độ).

$\bullet$ Xét phương trình hoành độ giao điểm
$$\dfrac{x+3}{x+2} = 2x+3m$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) = 2x^2+ 3(1+m)x+6m-3 = 0 (1)\\ x \neq -2 \end{array} \right.$$
đường thẳng $d: y = 2x+3m$ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi
$$\left\{ \begin{array}{l} \triangle_g > 0 \\ g(-2) \neq 0 \end{array} \right.$$
Giải hệ bất phương trình này ta thấy luôn thảo mãn với $\forall m$
$\bullet$ Giả sử hai điểm $A(x_1; 2x_1+3m); B(x_2; 2x_2+3m)$ ($x_1; x_2$ là hai nghiệm của phương trình (1))
Theo giả thiết: $\vec{OA}.\vec{OB} = - 4$
$\Leftrightarrow x_1.x_2+(2x_1+3m)(2x_2+3m) = - 4$
$\Rightarrow \dfrac{12m - 15}{2} = - 4$
$\Leftrightarrow m = \dfrac{7}{12}$
$\bullet$ Vậy $m = \dfrac{7}{12}$ là giá trị cần tìm của bài toán

 

[truongduong9083]

Bài 55: Tìm trên hàm số $y = \dfrac{-x+1}{x-2}(C)$ các điểm A, B sao cho đoạn thẳng AB bằng 4 và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng
$y = x$.

$\bullet$ Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng $d$ nên đường thẳng AB có phương trình: $y = -x +m$. Như vậy hoành độ của hai điểm A, B là nghiệm của phương trình
$$\dfrac{-x+1}{x-2} = -x + m$$
$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) = x^2 - (m+3)x+2m+1 = 0 (1) \\ x \neq 2 \end{array} \right.$$
Để tồn tại hai điểm A, B thì phương trình (1) phải thỏa mãn điều kiện
$$\left\{ \begin{array}{l} \triangle_g > 0 \\ g(2) \neq 0 \end{array} \right.$$
Hệ bất phương trình luôn thỏa mãn với $\forall$ giá trị m
$\bullet$ Giả sử hai điểm $A(x_1; -x_1+m); B(x_2; -x_2+m)$
Theo giả thiết: AB = 4
$\Rightarrow (x_1-x_2)^2 = 4$
$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2 = 8$
$\Rightarrow m^2-2m-3=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = -1 \\ m = 3 \end{array} \right.$
$\bullet$ Với m = -1 ta tìm được tọa độ các điểm $A_1(3+\sqrt{2}; - \sqrt{2}); B_1(3-\sqrt{2}; \sqrt{2})$ hoặc $A_2(3-\sqrt{2}; B_2(3+\sqrt{2}; - \sqrt{2})$
$\bullet$ Với m = 3 tương tự ta cũng tìm được tọa độ các điểm
$A_3(1+\sqrt{2}; -2- \sqrt{2}); B_3(1-\sqrt{2}; -2+\sqrt{2})$ hoặc $A_4(1-\sqrt{2}; -2+\sqrt{2}); B_4(1+\sqrt{2}; -2- \sqrt{2})$

 

[truongduong9083]

Bài 57: Cho hàm số $y = \dfrac{mx+2}{x - 1} (C_m)$. Tìm m để trên đồ thị $(C_m)$ có hai điểm P, Q cách đều hai điểm $A(-3; 4); B(3; -2)$ và diện tích APBQ bằng 24.

$\bullet$ Do P, Q cách đều hai điểm A, B nên PQ là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Ta có phương trình AB: x+ y - 1 = 0; PQ: x - y + 1 = 0
Như vậy hoành độ hai điểm P, Q là nghiệm của phương trình:
$$\dfrac{mx+2}{x - 1} = x+1$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) = x^2-mx - 3 = 0 (1)\\ x \neq 1 \end{array} \right.$$
Điều kiện để tồn tại hai điểm P, Q là phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \triangle_g > 0 \\ g(1) \neq 0 \end{array} \right.$
$\Rightarrow m \neq -2$ (*)
$\bullet$ Giả sử hai điểm $P(x_1; x_1+1); Q(x_2; x_2+1)$
Theo giả thiết ta có: $S_{ABPQ} = 24$
$\Rightarrow (d_{(P, AB)}+d_{(Q, AB)}).AB = 24$
$\Leftrightarrow |x_1|+|x_2| = 4 (2)$
Theo định lí vi ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2 = m (3)\\ x_1.x_2 = -3 (4) \end{array} \right.$
Giải hệ (2), (3), (4) ta tìm được $m = 2$ và $m = -2$
$\bullet$ So sánh với điều kiện (*) thì m = 2 thỏa mãn bài toán

 

[truongduong9083]

Bài 58. Cho hàm số $y = x^4 - 2x^2-3 (C)$. Tìm m để đường thẳng $y = m$ cắt hàm số $(C)$ tại 4 điểm M, N, P, Q (sắp theo thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ được giả sử là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kì.

$\bullet$ Xét phương trình hoành độ giao điểm
$x^4 - 2x^2-3-m = 0$
Đặt $t = x^2$ ($t \geq 0$)
phương trình trở thành: $t^2 - 2t - 3 - m = 0 (1)$
Để hàm số (C) cắt đường thẳng y = m tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (1) cần có hai nghiệm dương phân biệt: $\Rightarrow -3<m<-4$ (*)
$\bullet$ Phương trình (1) có hai nghiệm $t_1 = 1 - \sqrt{m+4}; t_2 = 1+\sqrt{m+4}$
$\Rightarrow x_1 = -\sqrt{t_2}; x_2 = -\sqrt{t_1}; x_3 = \sqrt{t_1}; x_4 = \sqrt{t_2}$
$\Rightarrow MN = PQ = x_4 - x_4; NP = 2x_3$
Vì MN = PQ. Nên điều kiện để MNP là tam giác ta chỉ cần điều kiện
$$MN+PQ > NP$$
$$\Leftrightarrow 2MN > NP$$
$$\Leftrightarrow x_4 > 2x_3$$
$$\Leftrightarrow t_2 > 4t_1$$
$$\Rightarrow m > - \dfrac{91}{25}$$
$\bullet$ Kết hợp với điều kiện (*) ta được: $- \dfrac{91}{25}<m< - 3$

 

[jet_nguyen]

Bài 60: Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2+1 (C)$. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau đồng thời $AB = 4\sqrt{2}$.

Giải:
​

$\bullet$ Đặt: $A(a;a^3-3a^2+2),A(b;b^3-3b^2+2)$ với $a \ne b$. Hệ số góc với của tiếp tuyến với $(C)$ tại A, B: $$k_A=y'(x_A)=3a^2-6a;k_B=y'(x_B)=3b^2-6b$$
$\bullet$ Tiếp tuyến tại A,B song song với nhau khi và chỉ khi:
$$k_A=k_B\Longleftrightarrow b=2-a.$$$\bullet$ Độ dài AB là:$$AB=\sqrt{(a-b)^2+[a^3-b^3-3(a^2-b^2)]^2]}$$$$=\sqrt{4(a-1)^2+4(a-1)^2[(a-1)^2-3]^2}$$ $\bullet$ Đặt: $t=(a-1)^2$ thì ta dễ dàng tìm được: $$t=4 \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} a=3 \\ a=-1 \end{array}\right.$$$\bullet$ Suy ra: $A(3;2), B(-1;-2)$ hoặc: $A(-1,-2),B(3;2)$ thoả yêu cầu bài toán.

 

[truongduong9083]

Bài 56. Cho hàm số $y = \dfrac{2x+1}{x-1} (C)$ và điểm
$A(-2; 5)$. Xác định đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C sao cho tam giác ABC đều.

$\bullet$ Ta có hai đường tiệm cận là: x = 1; y = 2 $\Rightarrow $ phân giác góc tạo bởi 2 tiệm cận là đường thẳng $d_1: y = - x + 3$. Do điểm $A \in d_1$ là trục đối xứng của hàm số (C) nên đường thẳng cần tìm phải vuông góc với đường thẳng $d_1$ có dạng
y = x + m (d)
$\bullet$ Hoành độ điểm B, C là nghiệm của phương trình
$\dfrac{2x+1}{x-1} = x+m$
$\Leftrightarrow g(x) = x^2+(m-3)x - (m - 1) = 0 (1)$ Với ($x \neq 1$)
Do $ \triangle_g > 0$ và $g(1) \neq 0$ với $\forall m$ nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C và tam giác ABC cân tại A
$\bullet$ Giả sử đường thẳng d cắt $d_1$ tại I $\Rightarrow I(\dfrac{3-m}{2}; \dfrac{3+m}{2} ) \Rightarrow AI^2 = 2(\dfrac{7-m}{2})^2$
Gọi tọa độ điểm $B(x_1; x_1+m); C(x_2; x_2+m) \Rightarrow BC^2 = 2(m^2-2m+13)$
Để tam giác ABC đều
$\Leftrightarrow 3BC^2 = 4AI^2$
$\Leftrightarrow 3(m^2-2m+13) = (7-m)^2$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1 \\ m = -5 \end{array} \right.$
$\bullet$ Với m = 1 và m = - 5 ta tìm được hai đường thẳng
$y = x+1$ và $y = x - 5$

 

[truongduong9083]

Bài 59. Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3-x^2-3x+\dfrac{8}{3} (C)$. Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O (Với O là gốc tọa độ).

$\bullet$ Vì đường thẳng d song song với trục hoành nên đường thẳng d có dạng y = m
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là
$$\dfrac{1}{3}x^3-x^2-3x+\dfrac{8}{3} = m$$
$$\Leftrightarrow x^3-3x^2-9x+8 - 3m = 0 (1)$$
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân thì phương trình (1) phải có các nghiệm: $x_1; -x_1; x_2$ với ($x_1;-x_1$ là hoành độ các điểm A, B)
Khi đó phương trình (1) viết lại thành:
$$x^3-3x^2-9x+8 - 3m = (x^2-x^2_1)(x - x_2)$$
$$\Leftrightarrow x^3-3x^2-9x+8 - 3m = x^3-x_2x^2-x^2_1x+x^2_1x_2$$
Đồng nhất hai vế ta được $m = -\dfrac{19}{3}$
$\bullet$ Với $m = -\dfrac{19}{3}$. Phương trình đường thẳng d: $y = -\dfrac{19}{3}$

 

[truongduong9083]

Bài 62: Cho đồ thị hàm số $y = \dfrac{x+2}{x-3} (C)$. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang.

 

[truongduong9083]

Bài 63: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số $y = \dfrac{x - 1}{x+1} (C)$ để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.

 

[truongduong9083]

Bài 64: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số $y = \dfrac{4x - 9}{x-3} (C)$ các điểm $M_1; M_2$ để độ dài $M_1M_2$ là nhỏ nhất.

 

[truongduong9083]

Bài 65: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x-5}{x-2} (C)$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất.

 

[dhbk2013]

Bài 66: Giả sử đồ thị hàm số $y= x^3 - 6x^2 + 9x + d$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt $x_1 < x_2 < x_3$ .Chứng minh rằng: $0 < x_1 < 1 < x_2 < 3 < x_3 < 4$

 

[smileandhappy1995]

Bài 62: Cho đồ thị hàm số $y = \dfrac{x+2}{x-3} (C)$. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang.

$\bullet$ TCĐ: $\triangle_1: x=3$, TCN: $\triangle_2: y=1$
ta có : $y=1+\dfrac{5}{x-3}$
M thuộc (C) $\Rightarrow M(x_o,1+\dfrac{5}{x_o-3}$)
$d_1=d(M, \triangle_1)=|x_o-3|$
$d_2=d(M,\triangle_2)=\dfrac{5}{|x_o-3|}$
Theo giả thiết: $d_1=d_2$
$\Leftrightarrow |x_o-3|=\dfrac{5}{|x_o-3|}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_o = 3+\sqrt{5} \\ x_o = 3+\sqrt{5} \end{array} \right.$
$\bullet$ Ta tìm được hai điểm M thỏa mãn bài toán là: $M_1$=( $3 +\sqrt{5},1+\sqrt{5}$) và $M_2$=( $3 -\sqrt{5},1-\sqrt{5}$)

 

[truongduong9083]

Bài 64: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số $y = \dfrac{4x - 9}{x-3} (C)$ các điểm $M_1; M_2$ để độ dài $M_1M_2$ là nhỏ nhất.

$\bullet$ $y = \dfrac{4x - 9}{x-3} = 4+\dfrac{3}{x-3}$
Gọi $M_1(x_1; y_1); M_2(x_2;y_2)$ là hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (Với $x_1<3<x_2$)
Đặt $x_1 = 3 - a; x_2 = 3+b$ ($a,b > 0$) $\Rightarrow y_1 = 4 - \dfrac{3}{a}; y_2 = 4 + \dfrac{3}{a}$
Vậy $M_1M_2^2 = (a+b)^2+(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b})^2 = (a+b)^2[1+\dfrac{9}{a^2b^2}] \geq 24$
$\Rightarrow Min M_1M_2 = 2\sqrt{6}$ khi $a = b = \sqrt{3}$
$\bullet$ Tọa độ các điểm thỏa mãn bài toán là: $M_1(3-\sqrt{3}; 4-\sqrt{3})$ và $M_2(3+\sqrt{3}; 4+\sqrt{3})$

 

[truongduong9083]

Bài 65: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x-5}{x-2} (C)$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất.

$\bullet$ Ta có $y = \dfrac{3x-5}{x-2} = 3+\dfrac{1}{x-2}$
$\Rightarrow$ TCĐ: $x = 2 $; TCN: $y= 3 $
Giả sử điểm $M(x_o; 3+\dfrac{1}{x_o-2} ) \in (C)$ khi đó tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là:
$$d(M) = |x_M-2|+|y_M-3| = |m-2|+\dfrac{1}{|m-2|} \geq 2$$
Vậy $Min$ d(M) = 2 khi $(m-2)^2 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1 \\ m=3 \end{array} \right.$
$\bullet$ Tọa độ điểm M thỏa mãn bài toán là: $M_1(1; 2)$ và $M_2(3;4)$