Toán 12 [Chuyên đề BĐT Cô-si] Topic chuyên về BĐT!

[hoi_a5_1995]

Lúc làm đánh số thứ tự đi mọi

người

Hehe : mọi người giải mấy câu này :

9. Cho a, b , c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 .Chứng minh rằng

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{25}{1 + 48abc} $

10. Nếu a, b , c là các số thực thì

$ (a^2 + ab + b^2 ) (b^2 +bc +c^2 )(c^2 +ca + a^2 ) \geq 3(a^2b +b^2c +c^2a)(ab^2 +

bc^2 +ca^2) $

Với lúc làm mọi người giải chi tiết cho tớ cũng như tất cả các bạn có thể hiểu tại sao lại

làm như vậy .Hoặc có điểm nào đặc trưng nhất cho bài toán .

Giải chi tiết nhé
Thanks tất cả

Bài nữa nè:

Với a,b,c không âm, cmr:

[TEX]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}+ {(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{2}[/TEX]

$bdt \Leftrightarrow c + \sqrt{ab} + \sqrt{ab} \geq 3\sqrt[3]{abc}$ (đúng theo AM-GM) (Cauchy 3 số cho VTrái )

Anh Maxqn làm câu này "chi tiết "quá . Em chưa hiểu :-S

Làm rõ ràng ra dùm em :-S

 

[anhtraj_no1]

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có :
[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}[/TEX] \geq $2\sqrt{\frac{a}{c}}$
$\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ \geq $2\sqrt{\frac{b}{a}}$
[TEX]\frac{a}{b}+\frac{c}{a}[/TEX] \geq $2\sqrt{\frac{b}{c}}$
Cộng lại ta được điều phải chứng minh

bạn ơi

tớ cộng vế với vế lại thì nó ra thế này
$\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$ \geq $1$

nhưng không hiểu sao đề bài nó cho \leq 1 cơ mà nhỉ
giải thích giùm mình nhé

 

[smileandhappy1995]

Anh Maxqn làm câu này "chi tiết "quá . Em chưa hiểu :-S

Làm rõ ràng ra dùm em :-S

ta thử nhak nag :

[TEX]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}+ {(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow c + 2sqrt(ab) = c+ sqrt(ab) + sqrt(ab) \geq 3\sqrt[3]{abc}[/TEX] ( áp dụng bdt cô si)

 

[nach_rat_hoi]

Anh Maxqn làm câu này "chi tiết "quá . Em chưa hiểu :-S

Làm rõ ràng ra dùm em :-S

Cái này em biến đổi tương đương là được mà viết thành c +2căn (ab) = c +căn(ab)+căn(ab) rồi cosi

bạn ơi

tớ cộng vế với vế lại thì nó ra thế này
$\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$ \geq $1$

nhưng không hiểu sao đề bài nó cho \leq 1 cơ mà nhỉ
giải thích giùm mình nhé

Ấy, đọc kĩ lại đề em ơi.hi. đúng rồi đấy. ...............................................................nhưng bạn ấy nhầm ở chỗ BĐT cuối là 2căn(b/c) chứ k phải b/c

 

[huutho2408]

đề thi thử trường tớ!

cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn
[tex]x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)\leq \frac{4}{3}[/tex]
cm:
[tex]\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq\frac{9}{7}[/tex]
dấu băng xảy ra khi nào

 

[jelouis]

bạn ơi

tớ cộng vế với vế lại thì nó ra thế này
$\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$ \geq $1$

nhưng không hiểu sao đề bài nó cho \leq 1 cơ mà nhỉ
giải thích giùm mình nhé

Đề yêu cầu là $\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}}$ \leq $1$
cơ mà cậu

 

[nach_rat_hoi]

Bài 9 có sửa lại đề không hoi_a5_1995 ơi!..........................

Cho đến hiện tại là còn 3 bài nữa chưa có lời giải!

Mọi người vào hợp sức tác chiến với mấy bài này nào, đừng để chúng lộng hành thế chứ:

9.Cho a, b , c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 .Chứng minh rằng:

[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{25}{1+48abc}[/TEX]

10.Nếu a, b , c là các số thực thì:
[TEX]({a}^{2}+a.b+{b}^{2})({b}^{2}+b.c+{c}^{2})({c}^{2}+c.a+{a}^{2})\geq 3.({a}^{2}.b+{b}^{2}.c+{c}^{2}.a)(a.{b}^{2}+b.{c}^{2}+c.{a}^{2})[/TEX]

11.cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn
[tex]x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)\leq \frac{4}{3}[/tex]
cm:
[tex]\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq\frac{9}{7}[/tex]
dấu băng xảy ra khi nào.

Hớ hớ, topic của mình chìm nghỉm rồi, không có cao thủ nào vào giúp mấy con này ah.hix hix, phải đi spam rùi......(

 

[anhtraj_no1]

Anh ơi ! hay mấy bài đó ta cứ để đó đi khó quá à

câu 1 . cho 3 số dương a , b ,c chứng minh rằng
$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}$ \geq $\frac{3}{2}$

 

[heroineladung]

Anh ơi ! hay mấy bài đó ta cứ để đó đi khó quá à

câu 1 . cho 3 số dương a , b ,c chứng minh rằng
$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}$ \geq $\frac{3}{2}$

Bài làm:
[TEX]\frac{a}{b + c} + 1 + \frac{b}{c + a} + 1 + \frac{c}{a + b} + 1 \geq \frac{9}{2}[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\frac{a + b + c}{b + c} + \frac{a + b + c}{a + c} + \frac{a + b + c}{b + a} \geq \frac{9}{2} [/TEX]

\Leftrightarrow [TEX](a + b + c).(\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + a}) \geq \frac{9}{2}[/TEX](*)

Ta có: [TEX]\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + a} \geq \frac{9}{2(a + b + c)}[/TEX]

Thay vào (*) \Rightarrow Đpcm.

 

[l94]

Bài làm:
[TEX]\frac{a}{b + c} + 1 + \frac{b}{c + a} + 1 + \frac{c}{a + b} + 1 \geq \frac{9}{2}[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\frac{a + b + c}{b + c} + \frac{a + b + c}{a + c} + \frac{a + b + c}{b + a} \geq \frac{9}{2} [/TEX]

\Leftrightarrow [TEX](a + b + c).(\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + a}) \geq \frac{9}{2}[/TEX](*)

Ta có: [TEX]\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + a} \geq \frac{9}{2(a + b + c)}[/TEX]

Thay vào (*) \Rightarrow Đpcm.

Dài==
[tex]VT \geq \frac{9}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}} \geq \frac{3}{2}[/tex]
dấu = khi a=b=c=1

 

[nach_rat_hoi]

Anh ơi ! hay mấy bài đó ta cứ để đó đi khó quá à

câu 1 . cho 3 số dương a , b ,c chứng minh rằng
$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}$ \geq $\frac{3}{2}$

ui zời ơi, bài này anh có cách chứng minh độc và hay lắm. post lên cho mọi người tham khảo nè, cái này không thank thì phí công sức tớ cày ... ^^...

Đặt:
[TEX]A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}[/TEX]

[TEX]B=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}[/TEX]

[TEX]C=\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}[/TEX]


Ta có: B+C=3. áp dụng cosi ta có:
[TEX]A+B\geq 3[/TEX]
[TEX]A+C\geq 3[/TEX] cộng vế với vế, kết hợp B+C=3, ta được điều phải chứng minh. ^^

 

[anhtraj_no1]

x,y,z >0 , zyz = 1
chứng minh
$\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy} + \frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz} + \frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}$ \geq $3\sqrt3$

 

[l94]

Mọi người vào hợp sức tác chiến với mấy bài này nào, đừng để chúng lộng hành thế chứ:

9.Cho a, b , c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 .Chứng minh rằng:

[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{25}{1+48abc}[/TEX]

bài ni dùng tương đương là nhanh nhất)

11.cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn
[tex]x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)\leq \frac{4}{3}[/tex]
cm:
[tex]\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq\frac{9}{7}[/tex]
dấu băng xảy ra khi nào.

[tex]x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) =x^2+y^2+z^2-(x+y+z) \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}-(x+y+z)[/tex]
bắc cầu[tex] \Rightarrow \frac{(x+y+z)^2}{3}-(x+y+z)-\frac{4}{3} \leq 0 \Leftrightarrow -1 \leq x+y+z \leq 4[/tex]
[tex]VT \geq \frac{9}{x+y+z+3} \geq \frac{9}{7}[/tex]
daays = xảy ra khi x=y=z=4/3.

 

[jelouis]

x,y,z >0 , zyz = 1
chứng minh
$\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy} + \frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz} + \frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}$ \geq $3\sqrt3$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có :
$\sum \frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}$ \geq $\sum \frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sum \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}$ \geq $\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}=3\sqrt{3}$

 

[anhtraj_no1]

x,y > 0 , x + y \geq 4

$ A = \frac{3x^2+y}{4x} + \frac{2+y^3}{y^2}$

tìm min A

 

[jelouis]

x,y > 0 , x + y \geq 4

$ A = \frac{3x^2+y}{4x} + \frac{2+y^3}{y^2}$

tìm min A

$\frac{3x^2+y}{4x}+\frac{2+y^3}{y^2}=\frac{3x}{4}+\frac{y}{4x}+\frac{2}{y^2}+y$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có :
$\frac{y}{4x}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{y}{8}+\frac{y}{8}+\frac{y}{8}+\frac{x}{8}$ \geq $\frac{7}{4}$
$\Longrightarrow$ $\frac{3x^2+y}{4x}+\frac{2+y^3}{y^2}$ \geq $\frac{5x}{8}+\frac{5y}{8}+\frac{7}{4}$ \geq $\frac{17}{4}$
Đẳng thức xảy ra tại $x=y=2$

 

[drthanhnam]

Muốn làm bài BDT thi đại học mà chỉ quanh quẩn mấy bài bất đẳng thức Cô-si thông thường thì không được đâu.
Những bài tập ở trên chỉ thích hợp cho học sinh lớp 8, lớp 9 thi học sinh giỏi thôi.
Cần post thêm các bài tập có sử dụng cả BDT Cô-si và phương pháp khảo sát hàm số.
Thân!

 

[l94]

Cho a,b,c là 3 số dương thoả [tex](a+c)(b+c)=3c^2[/tex]
tìm max:[tex]P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{ac+bc}[/tex]

 

[dreaminmyheart]

thâỳ Khải giúp trò với thâỳ ơi!

thưa thày Khải, thày cho em hỏi về ví dụ 2 trong bài pp sử dụng kĩ thuật ngược dấu trong BĐT Cô-si, cho x,y,z,t >0 và 1/x +1/y+ 1/z +1/t =2. tìm min
P=x^3/(x^2 + y^2) +y^3/ (y^2 + z^2) + z^3/(z^2 + t^2) + t^3/(t^2+ x^2)
đến bước P >= (X+y+z+t)/2
dâú = xảy ra <=> x=y=z=t=2 thày không thay luôn P>=4 mà tiếp tục sử dụng BĐT Cô-si cơ bản ạ. Và nếu thay luôn có được không hả thày
Thày giúp em với, em cảm ơn thâỳ nhiều lắm

 

[nach_rat_hoi]

thưa thày Khải, thày cho em hỏi về ví dụ 2 trong bài pp sử dụng kĩ thuật ngược dấu trong BĐT Cô-si, cho x,y,z,t >0 và 1/x +1/y+ 1/z +1/t =2. tìm min
P=x^3/(x^2 + y^2) +y^3/ (y^2 + z^2) + z^3/(z^2 + t^2) + t^3/(t^2+ x^2)
đến bước P >= (X+y+z+t)/2
dâú = xảy ra <=> x=y=z=t=2 thày không thay luôn P>=4 mà tiếp tục sử dụng BĐT Cô-si cơ bản ạ. Và nếu thay luôn có được không hả thày
Thày giúp em với, em cảm ơn thâỳ nhiều lắm

Thay luôn thế nào được bạn?

[TEX]2=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \geq \frac{16}{x+y+z+t}[/TEX]

=> [TEX]x+y+z+t\geq 8[/TEX] mới thay vào cái chỗ màu xanh trên kia được...