2.Cho đường tròn ([tex]\mathscr{C}[/tex]) có phương trình : [tex]x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0[/tex] và đường thẳng (d) có phương trình: x + y - 2 = 0.Chứng minh rằng (d) luôn cắt ([tex]\mathscr{C}[/tex]) tại 2 điểm phân biệt A,B.Tìm tọa độ điểm C trên đường tròn ([tex]\mathscr{C}[/tex]) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất
[TEX]d:y=2-x[/TEX]
Phương trình hoành độ giao điểm:
[TEX]x^2+(2-x)^2-4x-4(2-x)+4=0\\ \Leftrightarrow x^2-2x=0\Leftrightarrow \left[x=0 \Rightarrow y=2 \Rightarrow A(0,2)\\ x=2 \Rightarrow y=0 \Rightarrow B(2,0)\right.[/TEX]
(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A(0,2),B(2,0)
[TEX]C(x_0,y_0) \in (C) \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 - 4x_0 - 4y_0 + 4 = 0\\ \Leftrightarrow (x_0-2)^2+(y_0-2)^2=4(1)[/TEX]
[TEX]d_{(C,AB)}=\frac{|x_0+y_0-2|}{\sqrt{2}}[/TEX]
[TEX] S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.d_{(C,AB)}.AB=\frac{1}{2}.\frac{|x_0+y_0-2|}{\sqrt{2}}.2\sqrt{2}=|(x_0-2)+(y_0-2)|+2\leq \sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{(x_0-2)^2+(y_0-2)^2}+2=2\sqrt{2}+2\\Max_{S_{\Delta ABC}}=2\sqrt{2}+2 \Leftrightarrow x_0=y_0[/TEX]
Thay vào (1) [TEX]\Rightarrow \left[x_0=y_0=2+\sqrt{2} \Rightarrow C_1(2+\sqrt{2},2+\sqrt{2})\\x_0=y_0=2-\sqrt{2} \Rightarrow C_2(2-\sqrt{2},2-\sqrt{2})[/TEX]
Vậy có 2 điểm C cần tìm.