Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[asroma11235]

Cho [TEX]a,b,c\ge 0, a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX] \frac{9}{a^2+b^2+c^2}\le abc+2.[/TEX]

-Các biến số a,b,c phải không đồng thời bằng 0.
-Từ giả thiết, suy ra: [TEX]abc \leq 1[/TEX]
[TEX]\frac{9}{a^2+b^2+c^2}=\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}=1+ \frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \leq 2+abc .[/TEX]

 

[minhtuyb]

-Các biến số a,b,c phải không đồng thời bằng 0.
-Từ giả thiết, suy ra: [TEX]abc \leq 1[/TEX]
[TEX]1+ \frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \leq 2+abc .[/TEX]

Chỗ này là sao nhỉ, theo em hiểu là:
[TEX]1+ \frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \leq 1+\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}=2+1[/TEX]
Nhưng mà [TEX]abc\leq 1[/TEX] chứ đâu phải [TEX]1\leq abc[/TEX] đâu nhỉ

 

[asroma11235]

Chỗ này là sao nhỉ, theo em hiểu là:
[TEX]1+ \frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \leq 1+\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}=2+1[/TEX]
Nhưng mà [TEX]abc\leq 1[/TEX] chứ đâu phải [TEX]1\leq abc[/TEX] đâu nhỉ

Ôi trời! Nhầm cái dấu
=))

.

 

[minhtuyb]

Thôi dẹp bài của anh bboy sang một bên đê =)), giải thích kĩ hướng tư duy của bài này hộ em với, giới hạn kiến thức THCS nha ):
Cho x,y,z>0, CMR:
[TEX]\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 3(a+b+c)[/TEX]
Bài này post trên VMF rùi nhưng nghe hướng giải chả hiểu j` cả, toàn đạo hàm j` đó em nản thật .

 

[bosjeunhan]

Haiz chắc bài viết thứ 8 trong này wa
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=184459&page=3
Dùng cái này thì phải [TEX]a^3+b^3\geq ab.(a+b) [/TEX]

 

[bosjeunhan]

Cho a,b,c lớn hơn 0
CMR
[TEX]\frac{2ab}{3a+8b+6c} + \frac{3bc}{3b+6c+a} + \frac{3ac}{9c+4b+4a} \leq \frac{a+2b+3c}{9}[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

cho a,b, c > 0.

c/m [TEX]a^2+b^2+c^2+1 \geq 2(ab+bc+ca+1)[/TEX]

lop 8

 

[minhtuyb]

cho a,b, c > 0.

c/m [TEX]a^2+b^2+c^2+1 \geq 2(ab+bc+ca+1)[/TEX]

lop 8

Không còn điều kiện j` hả bạn @-)@-)@-). Với [TEX]x=y=z=1[/TEX] thì BĐT sai |-)|-)|-)

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Không còn điều kiện j` hả bạn @-)@-)@-). Với [TEX]x=y=z=1[/TEX] thì BĐT sai |-)|-)|-)

a

nham

[TEX]x^2+y^2+z^2+1 \geq 2(xy+zx-xyz)[/TEX]

 

[01263812493]

a

nham

[TEX]x^2+y^2+z^2+1 \geq 2(xy+zx-xyz)[/TEX]

Theo Dirichlet, trong 3 số x,y,z luôn tồn tại 2 số nằm cùng phía với 1. Giả sử 2 số đó là x và y. Khi đó:

[TEX]\blue z(x-1)(y-1) \geq 0[/TEX]
​

Và Bất đẳng thức đã cho tương đương:

[TEX]\blue (x-y)^2+(z-1)^2+2z(x-1)(y-1) \geq 0[/TEX]
​

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1.

Bài này hay

 

[asroma11235]

Cho a,b,c lớn hơn 0
CMR
[TEX]A= \frac{2ab}{3a+8b+6c} + \frac{3bc}{3b+6c+a} + \frac{3ac}{9c+4b+4a} \leq \frac{a+2b+3c}{9}[/TEX]

Đặt [TEX]x=a;y=2b;z=3c[/TEX]
[TEX]A=\sum \frac{xy}{3x+4y+2z} \geq \frac{x+y+z}{9}[/TEX]
Ta có:
[TEX]\frac{9}{3x+4y+2z} = \frac{(2+1)^2}{2(x+2y)+(x+2z)} \leq \frac{1}{x+2z}+ \frac{2}{x+2y}[/TEX] (Cauchy-Schwarz)
[TEX]\Rightarrow \frac{xy}{3x+4y+2z} \leq \frac{1}{9}(\frac{xy}{x+2z}+ \frac{2xy}{x+2y})[/TEX]
Chứng minh tương tự, ta có: [TEX]A \leq \frac{1}{9}(\frac{xy}{x+2z}+\frac{2xy}{x+2y}+\frac{yz}{y+2x}+\frac{2yz}{y+2z}+\frac{zx}{z+2y}+\frac{2zx}{z+2x})[/TEX]
Vì vai trò của x,y,z là như nhau nên ta giả sử: [TEX]x \geq y \geq z[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A \leq \frac{1}{9}(\frac{xy}{x+2z}+\frac{2xy}{z+2y}+\frac{yz}{y+2x}+\frac{2yz}{z+2z}+\frac{zx}{x+2y}+\frac{2zx}{y+2x})= \frac{x+y+z}{9}[/TEX]
Bài toán được chứng minh./

 

[hoangtupro_97]

Đặt [TEX]x=a;y=2b;z=3c[/TEX]
[TEX]A=\sum \frac{xy}{3x+4y+2z} \geq \frac{x+y+z}{9}[/TEX]
Ta có:
[TEX]\frac{9}{3x+4y+2z} = \frac{(2+1)^2}{2(x+2y)+(x+2z)} \leq \frac{1}{x+2z}+ \frac{2}{x+2y}[/TEX] (Cauchy-Schwarz)
[TEX]\Rightarrow \frac{xy}{3x+4y+2z} \leq \frac{1}{9}(\frac{xy}{x+2z}+ \frac{2xy}{x+2y})[/TEX]
Chứng minh tương tự, ta có: [TEX]A \leq \frac{1}{9}(\frac{xy}{x+2z}+\frac{2xy}{x+2y}+\frac{yz}{y+2x}+\frac{2yz}{y+2z}+\frac{zx}{z+2y}+\frac{2zx}{z+2x})[/TEX]
Vì vai trò của x,y,z là như nhau nên ta giả sử: [TEX]x \geq y \geq z[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A \leq \frac{1}{9}(\frac{xy}{x+2z}+\frac{2xy}{z+2y}+\frac{yz}{y+2x}+\frac{2yz}{z+2z}+\frac{zx}{x+2y}+\frac{2zx}{y+2x})= \frac{x+y+z}{9}[/TEX]
Bài toán được chứng minh./

Làm đến đó rồi còn giả sự chi ko bit áp dụng svacxo tiếp là ra lun còn chi

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Vì vai trò của x,y,z là như nhau nên ta giả sử: [TEX]x \geq y \geq z[/TEX]

sao lại giả sử đc thế vậy bạn

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

:khi:

 

[asroma11235]

Làm đến đó rồi còn giả sự chi ko bit áp dụng svacxo tiếp là ra lun còn chi

Cauchy-Schwazr:Bạn làm đi :|
Nếu có cách khác thì post lên, đừng nói.

sao lại giả sử đc thế vậy bạn

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

:khi:

-Nếu không thích thì đổi thành [TEX]y \geq x \geq z[/TEX] hoặc các hoán vị rồi sắp xếp thôi. :|
Vai trò của x,y,z là như nhau mà.

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

-Nếu không thích thì đổi thành [TEX]y \geq x \geq z[/TEX] hoặc các hoán vị rồi sắp xếp thôi. :|
Vai trò của x,y,z là như nhau mà.

vai trò như nhau là thế nào ấy nhỉ :khi (100):

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 

[hoangtupro_97]

Ta cần cm 9.A \leq x+y_z
Đáng ra thế này (Làm tắt nhá)
[TEX]\frac{2xy}{x+y+z} + \frac{xy}{x+2y} \geq \frac{9xy}{3x+4y+2z}[/TEX]
Tương tự xog cộng lại
Ta có[TEX] \sum\frac{9xy}{3x+4y+2z}\leq \sum\frac{2xy}{x+y+z} + \sum\frac{xy}{x+2y}[/TEX]

Tiếp sao quên rồi
Thui nhờ bạn bò post tiếp cái lời giải

 

[bosjeunhan]

Giống cãi nhau wa
Để tui giải vậy nhé

Ta có
[TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{y} \geq \frac{9}{x+2y}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{y+2x}{9} \geq \frac{xy}{x+2y} [/TEX] (1)
Tương tự
[TEX]\frac{z+2y}{9} \geq \frac{yz}{y+2z} [/TEX] (2)
[TEX]\frac{x+2z}{9} \geq \frac{xy}{z+2x} [/TEX] (3)

Cộng ba cái lại vs nhau
Ta có
[TEX]\frac{xy}{x+2y} + \frac{yz}{y+2z}+ \frac{xz}{z+2x}\leq\frac{x+y+z}{3}[/TEX] (*)
Lại có [TEX]x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(x+y+z)^2\geq 3.(xy+yz+xz)[/TEX] (*) (*)
Từ (*) và (*) (*) ta có [TEX]\frac{2.(xy+yz+zx)}{x+y+z} \leq \frac{2.(x+y+z)}{3}[/TEX]
...(Đến đây chắc ok)

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

 

[minhtuyb]

Hờ hờ hình như hết đề rùi nhỉ, đỡ típ nè :khi (34): :

Cho [TEX]a,b,c\geq 0[/TEX] và [TEX]abc=1[/TEX], CMR:
[TEX]\sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq 1[/TEX]
IMO đó :khi (131):

 

[linhhuyenvuong]

[TEX](a-b)^2(a^2+ab+b^2)(a+b)=(a^3-b^3)(a^2+b^2) \geq0[/TEX]\Rightarrow[TEX]a^5+b^5 \geq a^2b^2(a+b)[/TEX]
Có:
[TEX]\sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab} \leq \sum \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\sum \frac{1}{ab(a+b)+1}=\sum \frac{abc}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Hờ hờ hình như hết đề rùi nhỉ, đỡ típ nè :khi (34): :

Cho [TEX]a,b,c\geq 0[/TEX] và [TEX]abc=1[/TEX], CMR:
[TEX]\sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq 1[/TEX]
IMO đó :khi (131):

xin được đề xuất bài toán tổng quát !
Cho [TEX]a , b ,c > 0[/TEX]
[TEX]abc = 1[/TEX]

Chứng minh

[TEX]\sum \frac{1}{abc + a^n + b^n} \leq \frac{1}{3}[/TEX]

Đặt
[TEX]a^n = x^3[/TEX]

[TEX]b^n = y^3[/TEX]

[TEX]c^n = z^3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow xyz = 1[/TEX]

\Rightarrow Bài toán sẽ đưa đc về dạng quen thuộc

[TEX]\sum \frac{1}{xyz + x^3 + y^3} \leq 1[/TEX]

Áp dụng bài Toán Tổng quát trên vào bài toán của bạn ta sẽ cod đpcm !