Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[minhtuyb]

Chả thấy ai post típ, post chơi một bài vậy :
Cho [TEX]x,y,z>0[/TEX] và [TEX]x+y+z\leq 1[/TEX]. Tìm [TEX]minA[/TEX] biết:
[TEX]A=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}[/TEX]

 

[anhsao3200]

Chả thấy ai post típ, post chơi một bài vậy :
Cho [TEX]x,y,z>0[/TEX] và [TEX]x+y+z\leq 1[/TEX]. Tìm [TEX]minA[/TEX] biết:
[TEX]A=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}[/TEX]

Hình như đề bài cho thừa thì phải anh giải thế này nếu sai thì thôi nhá

Ta có

Vậy

Đạt tại khi x =y=z=1

Có vẻ Sai ý nhỉ vì tổng của z,y,z nhỏ hơn hoặc bằng 1.Đó là sai lầm hì hì đây là một sai lầm mà chúng ta rất hay gặp trong việc tìm cực trị mà anh muốn chia sẻ với các em

Đối với bài toán này ta sẽ sử dụng phương pháp chọn điểm rơi cho cosi và bài toán này ta sẽ chọn cực tiểu của A rơi vào x=y=z=1/3

Ta có sơ đồ sau

Ta có:
Dòng đầu em bỏ căn đi nhé anh oánh nhầm

Vậy

Điểm cực tiểu sảy ra khi x=y=z=1/3 (thỏa mãn)

 

[l94]

Hình như đề bài cho thừa thì phải anh giải thế này nếu sai thì thôi nhá

Ta có

Vậy

Đạt tại khi x =y=z=1

Có vẻ Sai ý nhỉ vì tổng của z,y,z nhỏ hơn hoặc bằng 1.Đó là sai lầm hì hì đây là một sai lầm mà chúng ta rất hay gặp trong việc tìm cực trị mà anh muốn chia sẻ với các em

Đối với bài toán này ta sẽ sử dụng phương pháp chọn điểm rơi cho cosi và bài toán này ta sẽ chọn cực tiểu của A rơi vào x=y=z=1/3

Ta có sơ đồ sau

Ta có:
Dòng đầu em bỏ căn đi nhé anh oánh nhầm

Vậy

chẳng thấy bám vô điều kiện gì cả b-(

Điểm cực tiểu sảy ra khi x=y=z=1/3 (thỏa mãn)

Dài quá >"<
đây là đề đại học mà b-(. cái điều kiện là x+y+z=1
Áp dụng bđt mincopxki:
[tex]\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2} \geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{9}{x+y+z})^2}=\sqrt{82}[/tex]
đây là cách ngắn nhất

 

[locxoaymgk]

Dài quá >"<
đây là đề đại học mà b-(. cái điều kiện là x+y+z=1
Áp dụng bđt mincopxki:
[tex]\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2} \geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{9}{x+y+z})^2}=\sqrt{82}[/tex]
đây là cách ngắn nhất

Cái BDt Mincopxki này hình như ko được áp dụng trong bài thi thì phải !

Trong mp tọa độ Oxy cho các véc tơ:
[TEX] \vec{a}(x;\frac{1}{x}) , \vec b(y,\frac{1}{y}), \vec c(z,\frac{1}{z})[/TEX]

Ta có: [TEX]|\vec a|+ |\vec b|+|\vec c| \geq | \vec a + \vec b +\vec c|[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sqrt{x^2+1/x^2}+\sqrt{y^2+1/y^2}+\sqrt{z^2+1/z^2} \geq \sqrt{(x+y+z)^2+(1/x+1/y+1/z)^2} \geq \sqrt{82}.[/TEX]

 

[minhtuyb]

Anhsao ơi [TEX]x=y=z=\frac{1}{3}[/TEX] chỉ là chúng ta phán đoán điểm rơi chứ bài nó có cho đâu mà anh suy ra được nhỉ :-SS. Em nói j` sai mong anh thông cảm

Cái BDt Mincopxki này hình như ko được áp dụng trong bài thi thì phải !

Trong mp tọa độ Oxy cho các véc tơ:
[TEX] \vec{a}(x;\frac{1}{x}) , \vec b(y,\frac{1}{y}), \vec c(z,\frac{1}{z})[/TEX]

Ta có: [TEX]|\vec a|+ |\vec b|+|\vec c| \geq | \vec a + \vec b +\vec c|[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sqrt{x^2+1/x^2}+\sqrt{y^2+1/y^2}+\sqrt{z^2+1/z^2} \geq \sqrt{(x+y+z)^2+(1/x+1/y+1/z)^2} \geq \sqrt{82}.[/TEX]

Vecto là j` anh@-)@-), đây là topic BĐT THCS mà ).
Ý tưởng của bài này là mincopski, được áp dụng trong bài sau khi đã đc c/m =)). Em thấy anh "Hoàng tử Vật lí" là làm chuẩn nhất nhưng hơi tắt . Đáp án là [TEX]\sqrt{82}[/TEX]
P/s: Ai post đề típ đi

 

[hoangtupro_97]

Anhsao ơi [TEX]x=y=z=\frac{1}{3}[/TEX] chỉ là chúng ta phán đoán điểm rơi chứ bài nó có cho đâu mà anh suy ra được nhỉ :-SS. Em nói j` sai mong anh thông cảm


Vecto là j` anh@-)@-), đây là topic BĐT THCS mà ).
Ý tưởng của bài này là mincopski, được áp dụng trong bài sau khi đã đc c/m =)). Em thấy anh "Hoàng tử Vật lí" là làm chuẩn nhất nhưng hơi tắt . Đáp án là [TEX]\sqrt{82}[/TEX]
P/s: Ai post đề típ đi

Mình có ý hiến cho cm trên
Thứ nhất do bđt trên có tính đối xứng vai trò cảu x,y,z như nhau nên điểm rơi thường của những bài này là x=y=z. Đó dường như trở thành quy luật chứ ko phán đoán j hết
Thứ hai mih thấy bài anh hoangtuvatli hay vs lai cai cm bên dưới dùng vecto mà chẳng khác j bđt thức mincopsky cả

 

[bosjeunhan]

Tiếp nhé cả nhà
1.Cho a,b,c thỏa mãn [TEX] 3.(a^2+b^2+c^2) + ab + bc + ca = 12[/TEX]
CMR
[TEX]\frac{a}{\sqrt[]{a+b}} + \frac{b}{\sqrt[]{b+c}} + \frac{c}{\sqrt[]{c+a}} \leq\frac{3}{\sqrt[]{2}}[/TEX]

2.Cho 3 số ko âm a,b,c (ko có 2 số nào đồng thời = 0)
Thòa mãn [TEX] a^2+b^2+c^2 = 1[/TEX]
CMR
[TEX]\sum_{cyc} \frac{a^3.(a+b)}{b^3+c^3} \geq \sqrt[]{2} [/TEX]

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

[TEX]1. \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{c+a} + \frac{c^3}{a+b} \geq \frac{a^2+b^2 + c^2}{2} [/TEX]
[tex](a,b,c>0)[/tex]

[TEX]2. (x^2 + ax + b)^2 + (x^2 + cx + d)^2 \leq (2x^2 + 1)^2 [/TEX]
[TEX](\forall x \in R , a^2 + b^2 + c^2 + d^2=1)[/TEX]

[TEX]3. \frac{a}{1+b^2} +\frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX](a,b,c>0 , a+b+c=3)[/TEX]

 

[conangbuongbinh_97]

[TEX]1. \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{c+a} + \frac{c^3}{a+b} \geq \frac{a^2+b^2 + c^2}{2} [/TEX]
[tex](a,b,c>0)[/tex]

[TEX]2. (x^2 + ax + b)^2 + (x^2 + cx + d)^2 \leq (2x^2 + 1)^2 [/TEX]
[TEX](\forall x \in R , a^2 + b^2 + c^2 + d^2=1)[/TEX]

[TEX]3. \frac{a}{1+b^2} +\frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX](a,b,c>0 , a+b+c=3)[/TEX]

1.
[TEX]VT=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{bc+ba}+\frac{c^4}{ac+bc}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)}\\\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}[/TEX]
2.Cauchy-schwarz:
[TEX]VT \leq (2x^2+1)(a^2+b^2+x^2)+(2x^2+1)(c^2+d^2+x^2)=(2x^2+1)(2x^2+1)=(2x^2+1)^2[/TEX]

 

[bosjeunhan]

[TEX]1. \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{c+a} + \frac{c^3}{a+b} \geq \frac{a^2+b^2 + c^2}{2} [/TEX]
[tex](a,b,c>0)[/tex]

[TEX]2. (x^2 + ax + b)^2 + (x^2 + cx + d)^2 \leq (2x^2 + 1)^2 [/TEX]
[TEX](\forall x \in R , a^2 + b^2 + c^2 + d^2=1)[/TEX]

[TEX]3. \frac{a}{1+b^2} +\frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX](a,b,c>0 , a+b+c=3)[/TEX]

Thế này koi sao
[TEX]\frac{a}{1+b^2} = a - \frac{ab^2}{1+b^2}[/TEX] (1)
[TEX]\frac{b}{1+c^2} = b - \frac{bc^2}{1+c^2}[/TEX] (2)
[TEX]\frac{a}{1+b^2} = a - \frac{ca^2}{1+a^2}[/TEX] (3)
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta có:
[TEX] \frac{a}{1+b^2} +\frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} = a+b+c - \frac{ab^2}{1+b^2} - \frac{bc^2}{1+c^2} - \frac{ca^2}{1+a^2} \geq \frac{a+b+c}{2} = \frac{3}{2}[/TEX] (Theo bđt thức cosi)

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta có:
[TEX] \frac{a}{1+b^2} +\frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} = a+b+c - \frac{ab^2}{1+b^2} - \frac{bc^2}{1+c^2} - \frac{ca^2}{1+a^2} \geq \frac{a+b+c}{2} = \frac{3}{2}[/TEX] (Theo bđt thức cosi)

nếu ad bdt côsi thì phải thế này chứ nhỉ

[TEX] \frac{a}{1+b^2} +\frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} = a+b+c - \frac{ab^2}{1+b^2} - \frac{bc^2}{1+c^2} - \frac{ca^2}{1+a^2} \geq a+b+c - \frac{ab+bc+ca}{2} [/TEX]



tiếp nha

[TEX]1,a,b,c \in \big[0;2\big] , a+b+c=3. cm : a^2 + b^2 + c^2 \leq 5[/TEX]

[TEX]2, a,b,c \in\big[0;1\big]. cm : a + b^2 + c^3 - ab - bc - ca \leq 1[/TEX]

 

[ae97]

cấu 1
Ta có [TEX](a-0)(b-0)(c-0) \geq0[/TEX] hay [TEX]abc\geq0[/TEX]
[TEX](a-2)(b-2)(c-2)\leq0[/TEX] hay[TEX]bc-2(ab+bc+ac)+4(a+b+c)-8[/TEX]
\Rightarrow [TEX]2(ab+bc+ac)\geq4[/TEX] mà [TEX](a=b+c)^2=9[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2\leq5[/TEX]

 

[ae97]

a,b,c là số dương abc=1 Cm
[TEX]a^3+b^3+c^3+6 \geq (a+b+c)^2[/TEX]

 

[locxoaymgk]

Cho x,y,z >0 thoả mãn [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=5.[/TEX]

Tìm Min [TEX] \ P= \sum \frac{1}{3x+y+z}.[/TEX]

 

[bosjeunhan]

nếu ad bdt côsi thì phải thế này chứ nhỉ

[TEX] \frac{a}{1+b^2} +\frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} = a+b+c - \frac{ab^2}{1+b^2} - \frac{bc^2}{1+c^2} - \frac{ca^2}{1+a^2} \geq a+b+c - \frac{ab+bc+ca}{2} [/TEX]

Cosi sau đó sử dụng tiếp
[TEX]a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca [/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a+b+c)^2 \geq 3.(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3 \geq ab+bc+ca[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a+b+c \geq ab+bc+ca[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a+b+c - \frac{ab+bc+ca}{2} \geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
Thắc mắc j ko nữa nhỉ

 

[asroma11235]

Cho x,y,z >0 thoả mãn [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=5.[/TEX]

Tìm Min [TEX] \ P= \sum \frac{1}{3x+y+z}.[/TEX]

Điểm rơi thôi
[TEX]\sum \frac{1}{3x+y+z}+ \sum \frac{1}{9}(3x+y+z) \geq 2[/TEX]
Mặt khác: [TEX]5=\sum \frac{1}{x} \geq \frac{9}{x+y+z}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x+y+z \leq \frac{9}{5}[/TEX]
Chuyển vế thay vào được Min là [TEX]P=1[/TEX] khi [TEX]x=y=z=3/5[/TEX]

 

[legendyugi]

Chứng minh rằng vs mọi a,b,c>0, ta có:
[TEX]\frac{a^4}{1+a^2b}+\frac{b^4}{1+b^2c}+\frac{c^4}{1+c^2a} \geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}[/TEX]

 

[locxoaymgk]

Điểm rơi thôi
[TEX]\sum \frac{1}{3x+y+z}+ \sum \frac{1}{9}(3x+y+z) \geq 2[/TEX]
Mặt khác: [TEX]5=\sum \frac{1}{x} \geq \frac{9}{x+y+z}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x+y+z \leq \frac{9}{5}[/TEX]
Chuyển vế thay vào được Min là [TEX]P=1[/TEX] khi [TEX]x=y=z=3/5[/TEX]

cái này nhầm rồi cậu ạ!
[TEX]x+y+z \geq \frac{9}{5}[/TEX]
Không phải:
[TEX]x+y+z \leq \frac{9}{5}.[/TEX]

 

[bboy114crew]

Chứng minh rằng vs mọi a,b,c>0, ta có:
[TEX]\frac{a^4}{1+a^2b}+\frac{b^4}{1+b^2c}+\frac{c^4}{1+c^2a} \geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}[/TEX]

Bài này là đề thi chọn đổi tuyển đi thi quốc gia của KHTN đây mà!
Gọi ý: Nó dùng Cauchy-Schwarz !
Mà cho vào đây đúng là hơi quá tầm THCS!@-)

 

[legendyugi]

Bài này là đề thi chọn đổi tuyển đi thi quốc gia của KHTN đây mà!
Gọi ý: Nó dùng Cauchy-Schwarz !
Mà cho vào đây đúng là hơi quá tầm THCS!@-)

Vâg, đúng là hơi quá tầm , em dùng CS luôn bước đầu thì lại ra 1 bất đẳng thức sai chứ