Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

CMR [TEX]( \sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}})^8 > 3^6[/TEX]

;

 

[01263812493]

CMR [TEX]( \sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}})^8 > 3^6[/TEX]

;

Cách tốt nhất là bấm máy

Nếu bài này không cho thi casio thì đây là đề tỉnh nào vậy nhể :-??

 

[bboy114crew]

Vâg, đúng là hơi quá tầm , em dùng CS luôn bước đầu thì lại ra 1 bất đẳng thức sai chứ

Cách 1:
Ta có:
[TEX]\sum \frac{a^4}{1+a^2b} = \sum \frac{a^4c}{c+a^2bc} \geq \frac{(a^2\sqrt{c}+b^2\sqrt{a}+c^2\sqrt{b})^2}{(1+abc)(a+b+c)} [/TEX]
Do đó ta chỉ cần chứng minh :

[TEX]a^2\sqrt{c}+b^2\sqrt{a}+c^2\sqrt{b} \geq \sqrt{abc}(a+b+c)[/TEX]

Nhưng BĐT này đúng vì:
[TEX] \frac{a^2}{\sqrt{ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{ca}} \geq \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}} \geq a+b+c[/TEX]


Cách 2:
[TEX]DPCM \Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a^3}{bc(1+a^2b)} \geq \frac{a+b+c}{1+abc}[/TEX]
Thật vậy :[TEX]VT \geq \frac{(a+b+c)^3}{3(abc+1)(ab+bc+ca)}\geq VP[/TEX]

 

[minhtuyb]

Mình thù mấy cái BĐT mũ tổng quát ghê gớm ="=:

Cho [tex]|x|\leq 1;n\in N*[/tex], CMR:
[tex](1+x)^n+(1-x)^n \leq 2^n[/tex]

 

[linhhuyenvuong]

Mình thù mấy cái BĐT mũ tổng quát ghê gớm ="=:

Cho [tex]|x|\leq 1;n\in N*[/tex], CMR:
[tex](1+x)^n+(1-x)^n \leq 2^n[/tex]

[TEX]|x| \leq1 [/TEX] \Rightarrow [TEX] -1 \leq x \leq 1[/TEX]

[TEX]\left{\begin{0 \leq \frac{1+x}{2} \leq1}\\{0\leq\frac{1-x}{2} \leq1} [/TEX]

\Rightarrow[TEX]\left{\begin{(\frac{1+x}{2})^n \leq \frac{1+x}{2}}\\{(\frac{1-x}{2})^n \leq \frac{1-x}{2}} [/TEX]

\Rightarrow[TEX](\frac{1+x}{2})^n +\frac{1-x}{2})^n \leq\frac{1+x}{2}}+ \frac{1-x}{2} =1 [/TEX]

\Rightarrow[TEX](1+x)^n+(1-x)^n \leq 2^n[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

Cho x,y là các số nguyên dương thoả mãn:[TEX]x+y=2003[/TEX]
Tìm Min, Max [TEX]P=x(x^2+y)+y(y^2+x)[/TEX]

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

[TEX]2, a,b,c \in\big[0;1\big]. cm : a + b^2 + c^3 - ab - bc - ca \leq 1[/TEX]

[TEX] a,b,c \in\big[0;1\big] \Rightarrow abc>0 [/TEX]

[TEX]b \geq b^2, c \geq c^3 \Rightarrow a+b+c \geq a+b^2 + c^3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca > a+b^2 + c^3-ab-bc-ca[/TEX]

[TEX](1-a)(1-b)(1-c) > 0 \Leftrightarrow 1 - (a+b+c-ab-ca-bc) + abc >0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a+b+c-ab-ca-bc \leq 1 \Rightarrow a + b^2 + c^3 - ab - bc - ca \leq 1[/TEX]

 

[asroma11235]

Cho đa thức với biến số thực:
[TEX]F(x,y,z,t)=9(x^2y^2+y^2z^2+z^2t^2+t^2x^2)+6xz(y^2+t^2)-6yt(x^2+z^2)-4xyzt.[/TEX]
Tìm Min F khi [TEX]xy+zt=1.[/TEX]

 

[asroma11235]

Cho đa thức với biến số thực:
[TEX]F(x,y,z,t)=9(x^2y^2+y^2z^2+z^2t^2+t^2x^2)+6xz(y^2+t^2)-6yt(x^2+z^2)-4xyzt.[/TEX]
Tìm Min F khi [TEX]xy+zt=1.[/TEX]

Phân tích F ra được: [TEX]F_{(x,y,z,t)}=(3x^2+3y^2+2xz)(3y^2+3t^2-2ty)=4[(x^2+y^2+ \frac{(x-y)^2}{2})][(y-t)^2+ \frac{(y+t)^2}{2}] \geq 4[\frac{(x+z)(y+t)}{\sqrt{2}}+ \frac{(x-z)(y-t)}{\sqrt{2}}]^2 = 2(xy+xt+yz+zt+xy-xt-zy+zt)^2=2(2xy+2zt)^2=8(xy+zt)^2=8.[/TEX]
C2:
[TEX]F_{(x,y,t,z)}=(3yz+xy-zt-3xt)^2+8(xy+zt)^2 \geq 8[/TEX]
Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow x=y=1;z=0;t= \frac{1}{3}[/TEX].
p/s: Bài này thi chuyên Lê Quý Đôn mấy năm trước.

 

[hermes_legend]

1 bài dễ, tôi tự biến đổi từ 1 bài toán quen thuộc:
Cho x,y>0 x+y=2.Tìm MIN:
[TEX]\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{6}{xy}+3xy+2002[/TEX]

 

[minhtuyb]

1 bài dễ, tôi tự biến đổi từ 1 bài toán quen thuộc:
Cho x,y>0 x+y=2.Tìm MIN:
[TEX]\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{6}{xy}+3xy+2002[/TEX]

[TEX]S=\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{6}{xy}+3xy+2002=\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{3}{xy}+(\frac{3}{xy}+3xy)+2002[/TEX]
[TEX]=(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{2xy})+(\frac{3}{xy}+3xy)+2002+\frac{2}{xy}[/TEX]
-Có các BĐT sau:
+)[TEX]\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{2xy}\geq \frac{4.2}{x^2+y^2+2xy}=2[/TEX]
+)[TEX]\frac{3}{xy}+3xy\geq 2\sqrt{\frac{3}{xy}.3xy}=6[/TEX]
+)[TEX]\frac{2}{xy}\geq \frac{2}{\frac{(x+y)^2}{4}}=2[/TEX]
Suy ra: [TEX]S\geq 2+6+2+2002=2012[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]x=y=1[/TEX]
-Vậy [TEX]minS=2012\Leftrightarrow x=y=1[/TEX]

 

[braga]

Cho x,y là các số nguyên dương thoả mãn:[TEX]x+y=2003[/TEX]
Tìm Min, Max [TEX]P=x(x^2+y)+y(y^2+x)[/TEX]

Ta có [TEX]P=(x+y)^3-3xy(x+y)+(x+y)^2-2xy=2003^3+2003^2-6011xy[/TEX].
Bây giờ ta tìm [TEX]\min, \max[/TEX] của [TEX]Q=xy[/TEX].
+) ta có [TEX](x-2002)(y-2002)\ge 0[/TEX] hay [TEX]xy\ge 2002(x+y)-2002^2=2002.2003-2002^2=2002 [/TEX] suy ra [TEX]P[/TEX] lớn nhất khi [TEX]xy[/TEX] nhỏ nhất bằng 2002 đạt được khi có một số bằng 1 và một số bằng 2002.
+) Giả sử [TEX]x>y[/TEX] (vì [TEX]x, y[/TEX] không thể bằng nhau).
Do [TEX]x+y=2003[/TEX] nên [TEX]x\ge 1002[/TEX]. Theo bdt AM - GM ta có:
[TEX]x.(y+1)\le (\frac{x+y+1}{2})^2=1002^2[/TEX] suy ra
[TEX]xy\le 1002^2-x\le 1002^2-1002=1001.1002[/TEX].
suy ra [TEX]P[/TEX] nhỏ nhất khi [TEX]xy[/TEX] lớn nhất bằng 1002.2002 đạt được khi có một số bằng 1002 và một số bằng 2001

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Tìm min, max của

[TEX]P=\frac{x+y}{1+z}+\frac{y+z}{1+x}+\frac{z+x}{1+y}[/TEX]

trong đó x, y, z là các số thwjc thuộc đoạn 1/2;1

 

[nhokpq_ine]

Tìm min, max của

[TEX]P=\frac{x+y}{1+z}+\frac{y+z}{1+x}+\frac{z+x}{1+y}[/TEX]

trong đó x, y, z là các số thwjc thuộc đoạn 1/2;1

Min:
[TEX]\frac{x+y}{1+z}+\frac{y+z}{1+x}+ \frac{x+z}{1+y} \geq \sum \frac{x+y}{x+y+z}=2[/TEX]
Max
[TEX]\sum \frac{x}{1+z} \leq \sum \frac{x}{x+z}[/TEX]
[TEX]\sum \frac{y}{1+z} \leq \sum \frac{y}{y+z}[/TEX]
Cộng lại: [TEX]\sum \frac{x+y}{1+z} \leq 3[/TEX]

 

[minhtuyb]

Tiếp, topic này mà bỏ dở giữa chừng thì quá phí X_X:
1.Cho [tex](x;y)[/tex] là nghiệm của hpt ( m là tham số):
[TEX]\left\{\begin{matrix}x+y=m\\ x^2+y^2=m\end{matrix}\right.[/TEX]
Tìm GTLN,GTNN của biểu thức [tex]A = x^3 +y^3[/tex]
2. Cho [tex]a,b,c>0;abc=1[/tex] tìm max
[tex]P=\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{ 1}{c^2+2a^2+3}[/tex]

 

[braga]

2. Cho [tex]a,b,c>0;abc=1[/tex] tìm max
[tex]P=\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{ 1}{c^2+2a^2+3}[/tex]

[TEX]{a}^{2}+2{b}^{2}+3={a}^{2}+{b}^{2}+{b}^{2}+1+2\geq 2\left(ab+b+1 \right)\rightarrow P\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{2}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Cho x,y,z dương tích bằng 1. CMR:
[TEX]9+ \frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\geq (x+y+z)(xy+yz+zx)+ \frac{(xy+yz+zx)^2}{x+y+z}[/TEX]

 

[yeukhoahoc123]

Bài 1: Cho [tex]x-y=2[/tex]. Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau
a/ [tex]A =x^3-y^3[/tex]
b/ [tex]B = 2x^2 + y^2[/tex]
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau
a. [tex]A= (x^2-x).(x^3 + 3x+ 2)[/tex]

b.[tex] B= x^4 + (x-2)^4 + 6x^2.(x-2)^2[/tex]
mọi người hộ em cái đi (

 

[minhtuyb]

Bài 1:Sử dụng phương pháp thế: [tex]x=y+2[/tex]
[tex]A=(y+2)^3-y^3=y^3+6y^2+12y+8-y^3=6(y^2+2y+1)+2=6(y+1)^2+2\geq 2[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi [tex]y=-1\Rightarrow x=1[/tex]
[tex]B=2(y+2)^2+y^2=2y^2+8y+8+y^2=3y^2+8y+8=\frac{1}{3}(9y^2+24y+16)+[/tex][tex]\frac{8}{3}=\frac{1}{3}(3y+4)^2+\frac{8}{3}\geq \frac{8}{3}[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi [tex]y=-\frac{4}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{3}[/tex]

 

[bboy114crew]

Cho x,y,z dương tích bằng 1. CMR:
[TEX]9+ \frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\geq (x+y+z)(xy+yz+zx)+ \frac{(xy+yz+zx)^2}{x+y+z}[/TEX]

http://forum.mathscope.org/showthread.php?p=140330#post140330