Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

  • Thread starter nhockthongay_girlkute
  • Ngày gửi
  • Replies 897
  • Views 158,362

Status
Không mở trả lời sau này.
A

anhsao3200

a, b, c >0 \ a+b+c=6. CM

[tex]\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+ \frac{c}{\sqrt{a^3+1}} \geq 2[\tex][/QUOTE] [IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;$&space;Ta&space;co$\\&space;\sqrt{a^3+1}\leq&space;\frac{2+a^3}{2}\\&space;\Leftrightarrow&space;\frac{a}{\sqrt{a^3+1}}\geq&space;\frac{2a}{2+a^3}\\&space;\\&space;$&space;Nhu&space;Vay$\\&space;\\&space;\sum_{cyc}^{a,b,c}{a}{\sqrt{a^3+1}}\geq&space;\frac{2a}{2+a^3}\geq&space;2(dpcm)[/IMG][/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
P

phantom_lady.vs.kaito_kid

anhsao3200 said:
gif.latex
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

=((

sai rồi bạn ạ

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

ở ngay dòng đầu, làm thế dấu = k xảy ra

còn cái dòng cuối k hiểu
 
Last edited by a moderator:
T

ththbode

phantom_lady.vs.kaito_kid said:
:((

a, b, c >0 \ a+b+c=6. CM

[TEX]\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+ \frac{c}{\sqrt{a^3+1}} \geq 2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Phân tích mẫu thành nhân tử rồi sử dụng AM_GM cho nó
Sau đó làm cosy ngược dấu được
[TEX]\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+ \frac{c}{\sqrt{a^3+1}} \geq 2[/TEX][/QUOTE]
\Leftrightarrow\sum_{i=1}^k a_i^n[TEX]\frac{ab^2}{b^2+2}[/TEX]\leq4
Sử dụng cosy ở mẫu b^2+2=1/2(b^2+b^2+4)\geq1/2[TEX]3\sqrt[3]{4b^4}[/TEX]
Thay vào sử dụng côsy một lần nữa và ab+bc+ca\leq1/3([TEX](a+b+c)^2[/TEX]
 
P

phantom_lady.vs.kaito_kid

ththbode said:
Phân tích mẫu thành nhân tử rồi sử dụng AM_GM cho nó
Sau đó làm cosy ngược dấu được
[TEX]\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+ \frac{c}{\sqrt{a^3+1}} \geq 2[/TEX]
\Leftrightarrow\sum_{i=1}^k a_i^n[TEX]\frac{ab^2}{b^2+2}[/TEX]\leq4
Sử dụng cosy ở mẫu b^2+2=1/2(b^2+b^2+4)\geq1/2[TEX]3\sqrt[3]{4b^4}[/TEX]
Thay vào sử dụng côsy một lần nữa và ab+bc+ca\leq1/3([TEX](a+b+c)^2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


;))

tiếp k?

Tìm GTLN của

[TEX](\frac{x+z+\sqrt{2xy}}{x+1})^2+(z^2+y)[/TEX]

:D
 
Last edited by a moderator:
H

hoangtupro_97

Cho tam giác ABC và hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác ( M thuộc AB, N thuộc AC, P,Q thuộc BC )
CM Diện tích ABC \geq hai lần diện tích MNPQ
(Em có bài dễ này)
 
S

shayneward_1997

Cho x,y,z>0 và xyz=1
Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{yz}{{x}^{2}(y+z)}+\frac{xz}{{y}^{2}(x+z)}+\frac{y+x}{{z}^{2}(y+x)}[/TEX]
 
M

minhtuyb

shayneward_1997 said:
Cho x,y,z>0 và xyz=1
Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{yz}{{x}^{2}(y+z)}+\frac{xz}{{y}^{2}(x+z)}+\frac{y+x}{{z}^{2}(y+x)}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Đặt: [TEX]a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow abc=1;a,b,c>0[/TEX]
và sau khi biến đổi ta có:
[TEX]\frac{yz}{{x}^{2}(y+z)}=\frac{a^2}{b+c};\frac{xz}{{y}^{2}(x+z)}=\frac{b^2}{a+c};\frac{y+x}{{z}^{2}(y+x)}=\frac{c^2}{a+b}[/TEX]
Có;
[TEX]P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}(Schwar)=\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}(Cauchy)<DPCM>[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi:[TEX]a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z=1[/TEX]
 
H

harrypham

braga said:
Mình nghĩ đề nên là

[TEX]P=\frac{yz}{{x}^{2}(y+z)}+\frac{xz}{{y}^{2}(x+z)}+\frac{yx}{{z}^{2}(y+x)}[/TEX]
​
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\Rightarrow P=\frac{{x^2 y^2 }}{{z(x + y)}} + \frac{{z^2 y^2 }}{{x(y + z)}} + \frac{{x^2 z^2 }}{{y(x + z)}} \ge \frac{{(xy + xz + yz)^2 }}{{2(xy + yz + xz)}} = \frac{{xy + yz + xz}}{2} \ge \limits^{AM - GM} \frac{3}{2}[/TEX]

Nguồn: MathScope.
 
H

hocmajthojnhj

Giúp mình bài này với:
cho [TEX]0 \leq a,b,c\leq1CMR:\frac{1-a}{1+b+c}+\frac{1-b}{1+a+c}+\frac{1-c}{1+a+b}\geq3(1-a)(1-b)(1-c)[/TEX]
Còn nhiều bài khó nữa nhưng làm mình bài này đã:)
 
B

braga

harrypham said:
[TEX]\Rightarrow P=\frac{{x^2 y^2 }}{{z(x + y)}} + \frac{{z^2 y^2 }}{{x(y + z)}} + \frac{{x^2 z^2 }}{{y(x + z)}} \ge \frac{{(xy + xz + yz)^2 }}{{2(xy + yz + xz)}} = \frac{{xy + yz + xz}}{2} \ge \limits^{AM - GM} \frac{3}{2}[/TEX]

Nguồn: MathScope.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cách khác:

[TEX] P=\frac{yz}{{x}^{2}(y+z)}+\frac{xz}{{y}^{2}(x+z)}+\frac{yx}{{z}^{2}(y+x)} = \frac{y^2z^2}{x(y+z)}+\frac{x^2z^2}{y(x+z)}+\frac{y^2x^2}{z(y+x)} \ge \frac{(xy+yz+zx)^2}{2(xy+yz+zx)} \ge \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2} [/TEX]

Vậy [TEX]\min P = \frac{3}{2}[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi [TEX]x=y=z=1[/TEX]

Nguồn: MathScope
 
Last edited by a moderator:
H

harrypham

harrypham said:
[TEX]\Rightarrow P=\frac{{x^2 y^2 }}{{z(x + y)}} + \frac{{z^2 y^2 }}{{x(y + z)}} + \frac{{x^2 z^2 }}{{y(x + z)}} \ge \frac{{(xy + xz + yz)^2 }}{{2(xy + yz + xz)}} = \frac{{xy + yz + xz}}{2} \ge \limits^{AM - GM} \frac{3}{2}[/TEX]

Nguồn: MathScope.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

braga said:
Cách khác:

[TEX] P=\frac{yz}{{x}^{2}(y+z)}+\frac{xz}{{y}^{2}(x+z)}+\frac{yx}{{z}^{2}(y+x)} = \frac{y^2z^2}{x(y+z)}+\frac{x^2z^2}{y(x+z)}+\frac{y^2x^2}{z(y+x)} \ge \frac{(xy+yz+zx)^2}{2(xy+yz+zx)} \ge \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2} [/TEX]

Vậy [TEX]\min P = \frac{3}{2}[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi [TEX]x=y=z=1[/TEX]

Nguồn: MathScope
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Thực chất 2 cách này là, đều phân tích và dùng AM-GM như nhau cả.
 
H

hoangtupro_97

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt[2]{(a^2.b+b^2.c+c^2.a).(a.b^2+b.c^2+c.a^2)} \geq abc +\sqrt[3]{(a^3+abc).(b^3+abc).(c^3+abc)}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi nào?(Kiếm ko đc bài khó toàn dễ ek à)

Mấy anh ơi có quyển bđt thức nào hay cho em tham khảo vs
 
B

bosjeunhan

phantom_lady.vs.kaito_kid said:
Cách 1: kẻ đường cao AH

Cách 2: Kẻ NE//AB ( E thuộc BC )
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Trả lời cái kiểu j vậy cho đầy đủ chứ

hoangtupro_97 said:
Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt[2]{(a^2.b+b^2.c+c^2.a).(a.b^2+b.c^2+c.a^2)} \geq abc +\sqrt[3]{(a^3+abc).(b^3+abc).(c^3+abc)}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi nào?(Kiếm ko đc bài khó toàn dễ ek à)

Mấy anh ơi có quyển bđt thức nào hay cho em tham khảo vs
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Nói như thế thì cái này chia cả hai vế cho abc là xong
 
Last edited by a moderator:
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom