cm
[TEX]\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + .... + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24} (n>1)[/TEX]
Kiểm chứng bất đẳng thức với [TEX]n=1,2,3[/TEX]. Giả sử ta có
[TEX]A = \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}[/TEX]
Nếu ta chứng minh được
[TEX]B = \frac{1}{{n + 2}} + \frac{1}{{n + 3}} + ... + \frac{1}{{2n}} + \frac{1}{{2n + 1}} + \frac{1}{{2n + 2}} > \frac{{13}}{{24}}[/TEX]
thì theo nguyên lí quy nạp, ta có bất đẳng thức đã cho luôn đúng.
Thật vậy, ta có
[TEX]A = B - \frac{1}{{2n + 1}} - \frac{1}{{2n + 2}} + \frac{1}{{n + 1}} > \frac{{13}}{{24}} \Rightarrow B > \frac{{13}}{{24}} + \frac{1}{{2n + 1}} + \frac{1}{{2n + 2}} - \frac{1}{{n + 1}}[/TEX]
Chỉ còn phải chứng minh
[TEX]\frac{1}{{2n + 1}} + \frac{1}{{2n + 2}} - \frac{1}{{n + 1}} > 0[/TEX] nữa là hoàn tất, mà bất đẳng thức này lại tương đương với $\frac{1}{{2n + 1}} > \frac{1}{{2n + 2}}, một điều hiển nhiên đúng.
[TEX]\frac{1}{2}. \frac{3}{4}. ..... . \frac{2n-1}{2n} \leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}}[/TEX]
Dễ dàng kiểm chứng bước cơ sở. Giả sử
[TEX]\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.....\frac{{2n - 1}}{{2n}} \le \frac{1}{{\sqrt {3n + 1} }}[/TEX]
Ta cần chứng minh
[TEX]\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.....\frac{{2n - 1}}{{2n}}.\frac{{2n + 1}}{{2n + 2}} \le \frac{1}{{\sqrt {3n + 4} }}[/TEX]
Theo giả thiết quy nạp thì ta có
[TEX]\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.....\frac{{2n - 1}}{{2n}}.\frac{{2n + 1}}{{2n + 2}} \le \frac{1}{{\sqrt {3n + 1} }}.\frac{{2n + 1}}{{2n + 2}}[/TEX]
Cần chứng minh
[TEX]\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {3n + 1} }}.\frac{{2n + 1}}{{2n + 2}} \le \frac{1}{{\sqrt {3n + 4} }} \\
\Leftrightarrow {\left( {2n + 1} \right)^2}\left( {3n + 4} \right) \le {\left( {2n + 2} \right)^2}\left( {3n + 1} \right) \Leftrightarrow 0 \le n \\\end{array}[/TEX]
Bất đẳng thức cuối là hiển nhiên.
