Chứng minh hình học

[ak48zz]

Cái này sử dụng vecto là ok
Có [TEX]a\vec{IA}+b\vec{IB}+c\vec{IC}=0[/TEX] bình phương lên và chú ý
[TEX]2ab\vec{IA}\vec{IB}=ab(IA^2+IB^2-(\vec{IA}-\vec{IB})^2)=ab(IA^2+IB^2-c^2)[/TEX]

Đây là topic toán 9 sao lại dùng vecto? Tớ chưa học đến
Các bạn thử xem cách giải của mình có được ko nhé:
Hình tự vẽ vì mình ko bik vẽ
Lời giải:
Từ tam giác cho trước vẽ D,E,F lần lượt là đối xứng của I qua BC,CA và AB
dễ thấy: (\{FAI}) = (\{IAE}) = (\{BAC}) = @ (anpha)
Ta có: [TEX]\frac{S(AFI)}{S(ABC)}=\frac{S(AIE)}{S(ABC)} = \frac{AI.AE.sin@}{AB.AC.sin@}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{IA^2}{bc}=\frac{S(AFIE)}{2S(ABC)}[/TEX]
Chứng minh tương tự: [TEX]\frac{IB^2}{ca}=\frac{S(BDIF)}{2S(ABC)}[/TEX]
[TEX]\frac{IC^2}{ab}=\frac{S(CEID)}{2S(ABC)}[/TEX]
Cộng lại suy ra đpcm.

 

[conami]

Một số bài chưa có lời giải trong topic
Bài 1:

Từ các đỉnh A,B,C của tam giác ABC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh B'C',C'A',A'B' của tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng nếu các đường thẳng này đồng quy thì các đường thẳng kẻ từ A',B',C' và thứ tự song song với BC,CA,AB cũng đồng quy

Bài 2:

HIC. bài trên hơi bế rắc, mấy bạn cố gắng giúp mình cái
CÒn đây là 1 bài nữa, cũng hơi bế tắc
Cho tam giác ABC nhọn. 1 đường tròn đi qua B và C cắt AB, AC tại C' và B'. Gọi H và H' là trực tâm tam giác ABC và AB'C'
Chứng minh rằng BB',CC',HH' đồng quy

Bài 3:

Tiện đây cho mình hỏi 1 bài nha
Cho tứ giác ABCD có AC = BD.
Về phía ngoài tứ giác dựng các tam giác cân ABM ( tại M ), CDN ( cân tại N ) sao cho góc BAM= góc DCN.
Gọi E, F làn lượt là trung điểm AD ,BC. C/m EF vuông góc MN.

Bài 4:

Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB. C là điểm thuộc nửa đường tròn. vẽ CH vuông góc với AB tại H. Đường tròn tâm C bán kính CH cắt nửa đường tròn tâm O ở D và E. Chứng minh
[TEX]S_{ODCE} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}R^{2}[/TEX]

Bài 5:
Câu 2 bài dưới

Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC.
1. Giả sử [TEX] \widehat{BPC}=135^o[/TEX]. Chứng minh rằng
2. Các đưởng thẳng AP và CP cắt cạnh BC và BA tương ứng tai các điểm M, N. Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng khi P thay đổi trong tam giác ABC, đường thẳng PQ luôn đi qua D

Bài 6:

2)Cho tam giác đều ABC.Hai điểm M,N thay đổi trên 2 cạnh AB,AC sao cho
[TEX]\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1[/TEX]
C/m MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác [TEX]ABC[/TEX]

Bài 7:

để post 1 bài ủng hộ conami nha, cực trị được ko?
cho hình chữ nhật ABCD có BC=1, AB=3. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho 0.2<AN<1. Đường trung trực của DN cắt AD,DC tại E,F.
CHỨng minh:
S EFD [TEX]\frac{2\sqrt{3}}{9}[/TEX]

Bài 8:

Mình post thêm 1 bài về trực tâm nè, các bạn thử nhé:
Cho tam giác ABC nhọn, AB<AC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. EF cắt BC tại P. O là tâm (EBC). Chứng minh PH vuông góc OA

Bài 9:

BÀI NÀY HƠI KHÓ ĐẤY<CÁC BAN THỬ LÀM XEM

Cho tam giác ABC, Phía ngoài tam giác dựng tam giác BCO vuông cân ở O. AB cắt CO ở E, AC cắt BO ở F. EN // FM ( N thuộc tia AC và M thuộc tia AB ). MN cắt BC ở Q . C/m AO vuông góc OQ

 

[ohmymath]

Re: Một số bài chưa có lời giải trong topic

Bài 1 đơn giản thui.
Bài này nó ra sẽ rất dài nên mình sẽ nói theo hướng!! ^^

Đầu tiên từ đồng quy của đề bài ta suy ra tỉ số do Cêva trong tam giác ABC
Ta gọi 3 đường song song của tam giác A'B'C' là A'x; B'y; B'z
Gọi giao của A'x với B'C' là K' ; của A t vs BC là K
Do các đường tương ứng song song~>các góc bằng nhau ~> tam giác AKC đồng dạng tam giác A'K'C' ; tam giác AKB đồng dạng tam giác A'K'B' theo cùng tỉ số [TEX]\frac{AC'}{AC}=\frac{AB'}{AB}[/TEX] (vì 2 tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng nữa )
Từ đó ta suy ra [TEX]\frac{B'K'}{C'K'}=\frac{BK}{CK}[/TEX]
Làm tương tự với 2 đường B'y và C'z
~> Cêva đảo trong tam giác A'B'C'
~>đpcm!!

 

[pampam_kh]

Một bài hình về chứng minh- tính toán này:

Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó. (O) thay đổi nhưng luôn qua B,C. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN đến (O). I là trung điểm BC, MN cắt AO và AC tại H, K.
a. CM: M, N di động trên 1 đường tròn cố định
b. NI cắt (O) tại P. CM: MP//BC
c. CM đường tròn ngoại tiếp tam giác OHK luôn đi qua 2 điểm cố định khi (O) thay đổi
d. Cho góc MON = 2

. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác AMN theo

và bán kính R của (O)

 

[ohmymath]

Một bài hình về chứng minh- tính toán này:

Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó. (O) thay đổi nhưng luôn qua B,C. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN đến (O). I là trung điểm BC, MN cắt AO và AC tại H, K.
a. CM: M, N di động trên 1 đường tròn cố định
b. NI cắt (O) tại P. CM: MP//BC
c. CM đường tròn ngoại tiếp tam giác OHK luôn đi qua 2 điểm cố định khi (O) thay đổi
d. Cho góc MON = 2

. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác AMN theo

và bán kính R của (O)

Mình không vẽ hình được !! Mọi người thông cảm ^^
a; Do AM;AN là tiếp tuyến của (O) ~> [TEX]AM^2=AN^2=AB.AC[/TEX] (dùng tam giác đồng dạng để chứng minh)
Mà A;B;C cố định!!!
b;Từ các góc vuông ta suy ra A;N;I;M cùng thuộc đường tròn đường kính OA
~> ANIM nọi tiếp!!
~> [TEX]\widehat AIN=\widehat AMN[/TEX]
Mặt # :
[TEX]\widehat AIN=\widehat PIC[/TEX] (đối đỉnh)
[TEX]\widehat MPN=\widehat AMN[/TEX] (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
~> [TEX]\widehat MPN=\widehat PIC[/TEX]
Mà 2 góc ở vị trí sole trong ~>MP//BC
c; Đường tròn ngoại tiếp OHK luôn đi qua 2 điểm I và K
Ta sẽ chứng minh 2 điểm nay cố định !!
*; Vì B;C cố định ~>I cố định
*;Vì OHIK là tứ giác nội tiếp~>tam giác OIA đồng dạng tam giác OHK
~>AK.AI=AH.AO (*)
Mà [TEX]AH.AO=AM^2=AB.AC[/TEX] (hệ thức lượng trong tam giác ANO)
~>AH.AO cố định
Mà AI cố định
Kết hợp vs (*) ta được AK cố định
~>K cố định
d; Gọi giao của AO vs (O) là S
Vì AM;AN là 2 tiếp tuyến từ A tới (O)~>[TEX]\widehat MOA=\widehat AON[/TEX]
~>sđ MS=sđ SN (cung)
~>[TEX]\widehat NMS=\widehat SPM[/TEX]
Mà do tiếp tuyến ~> [TEX]\widehat SPM=\widehat SMA[/TEX]
~>[TEX]\widehat NMS=\widehat SMA[/TEX]
~> MS là phân giác
~> S là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMN
Lại có SH [TEX]\perp[/TEX] MN (do 2 tiếp tuyến)
~> SH chính là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác AMN (r)
Giờ ta sẽ tính SH:
Vì [TEX]\widehat MON=2 \alpha [/TEX]
~> [TEX]\widehat HON= \alpha [/TEX]
~> OH=ON. cos [TEX] \alpha[/TEX]=R. cos [TEX] \alpha[/TEX]
Có SH = OS - OH = R - R. cos [TEX] \alpha[/TEX]=R(1 - cos [TEX] \alpha[/TEX])

Đã chém xong bài toán

 

[viet_tranmaininh]

Một số bài chưa trả lời trong topic....

cái bài trích dẫn thứ 6:
Đặt MB=x; NC=y; cạnh tam giác ABC là a.
Hướng làm:
C/m: a(x +y)=3xy
Tính MN theo a và x:
Kẻ NH vuông AM.
Ta có [TEX]MN^2=MN^2+HN^2[/TEX]
[TEX]AH=\frac{1}{2}AN; HN=\frac{\sqrt{3}}{2}AN[/TEX]
Sau đó c/m: [TEX]MN^2=MA^2- MA.AN +AN^2[/TEX]
Tính được [TEX]MN^2=(x+y-a)^2[/TEX]
C/m: [TEX]x+y \geq \frac{4}{3}a[/TEX]
\Rightarrow MN +BC=BM+CN\Rightarrow đpcm
(Thực chất bài này là bài đại số hóa hình học nên mọi người chỉ cần đọc là tính cái gì thui nha?)
P/s: Khó hiểu xin thông cảm.

 

[conami]

Bài 1 đơn giản thui.
Bài này nó ra sẽ rất dài nên mình sẽ nói theo hướng!! ^^

Đầu tiên từ đồng quy của đề bài ta suy ra tỉ số do Cêva trong tam giác ABC
Ta gọi 3 đường song song của tam giác A'B'C' là A'x; B'y; B'z
Gọi giao của A'x với B'C' là K' ; của A t vs BC là K
Do các đường tương ứng song song~>các góc bằng nhau ~> tam giác AKC đồng dạng tam giác A'K'C' ; tam giác AKB đồng dạng tam giác A'K'B' theo cùng tỉ số [TEX]\frac{AC'}{AC}=\frac{AB'}{AB}[/TEX] (vì 2 tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng nữa )
Từ đó ta suy ra [TEX]\frac{B'K'}{C'K'}=\frac{BK}{CK}[/TEX]
Làm tương tự với 2 đường B'y và C'z
~> Cêva đảo trong tam giác A'B'C'
~>đpcm!!

Bạn ơi, tam giác AKC và A'K'C' đông dạng theo trường hợp g-g hả. Ở đây chỉ có góc K và K' abừng nhau vì tương ứng song song thôi, còn 2 góc kia hok bằng nhau đâu
Thứ 2 là tam giác ABC và A'B'C' hok đồng dạng, nó là 2 tam giác bất kì

 

[viet_tranmaininh]

Bài ở trích dẫn thứ 4:
[TEX]S_{ODCE}=\frac{1}{2}R.DE[/TEX]
ta có CH\leq CO
\Rightarrow CE \leq OE ( do CH=CE; CO= OE)
\Rightarrow CK \leq OK ( K là giao của CO và DE)
\Rightarrow [TEX]OK^2 \geq \frac{R^2}{4} [/TEX]
\Rightarrow[TEX]KE \leq \frac{\sqrt{3}}{2}R[/TEX]
\Rightarrow [TEX]DE \leq \sqrt{3}R[/TEX]
\Rightarrow đpcm ( Dấu =.................)
P/s: bài này chủ yếu dùng liên hệ giữa đường xiên , hình chiếu

 

[conami]

Đường thẳng Stai-nơ

Cho điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (M khác A,,B,C). CHứng minh điểm đối xứng với M qua AB,BC,CA và trực tâm tam giác ABC là 4 điểm thẳng hàng

Bài trên đơn giản thôi, các bạn suy nghĩ mấy bài chưa giải đc mà mình post bên trên nữa nha và hãy post thêm bài chứng minh hình dzô topic để nó không bị lãng quên

 

[conami]

Định lí Mênêlaúyt cho tứ giác

Cho tứ giác ABCD. 1 đường thẳng d cắt AB,BC,CD,DA tại M,N,P,Q
Chứng minh hệ thức:
[TEX]\frac{AM}{MB} . \frac{BN}{NC} . \frac{CP}{PD} . \frac{DQ}{QA} =1[/TEX]

Dạng đảo của định lí trên có đúng hay không? Có thể mở rộng bài toán thành đa giác bất kì hay không?

 

[viet_tranmaininh]

Hjc, sao mình ngu phần hình không gian thế!:khi (36)::khi (36):. Cho hỏi bài này tí:
Cho hình chóp A.BCD có cạnh AB=x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CB
1/C/m MN vuông góc AB và CD.
2/Với giá trị nào của x thì thể tích hình chóp A.BCD lớn nhất.

 

[haibara4869]

post ủng hộ nè
cho tam giác ABC, M là một điểm di động trong tam giác sao cho góc MBA = góc MCA. Vẽ MD, ME tương ứng vuông góc với AB, AC. Gọi I là trực tâm của tam giác AD.
CMR đường thẳng MI luôn đi qua một điểm cố định.
P/s: ai giải được thì thanks nhiều!!!

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

post ủng hộ nè
cho tam giác ABC, M là một điểm di động trong tam giác sao cho góc MBA = góc MCA. Vẽ MD, ME tương ứng vuông góc với AB, AC. Gọi I là trực tâm của tam giác AD.
CMR đường thẳng MI luôn đi qua một điểm cố định.
P/s: ai giải được thì thanks nhiều!!!

MI đi qua trực tâm H của tg ABC thì phải

...........................................................