Giải và bình luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

[rubic_24]

Bài 42 : Chứng minh rằng phương trình :

[TEX]2x^3 - 3x - 6 \sqrt{ 5 x^2 - x + 1 } + 6 = 0[/TEX] không có nghiệm âm

Có lẽ thiếu " = 0 " :-?

Định hướng : Thấy bậc 3 khá phức tạp . Nếu ta bình phương cả 2 vế thì Bậc 6 \Rightarrow Khó biện luận \Rightarrow Thử xem công cụ đạo hàm có tác dụng hay không ? Rồi ... làm !

Giải :

Xét hàm số : [TEX]F( x) = \frac13 x^3 - \frac12 x - \sqrt{ 5 x^2 - x + 1 } + 1 [/TEX]


\Rightarrow [TEX]F'(x) = x ^2 - \frac12 - \frac{ 10 x - 1 }{ 2 \sqrt{ 5 x^2 - x + 1 } }[/TEX]


\Rightarrow[TEX]F "(x) = 2x - \frac{19}{ 4 ( 5 x ^2 - x + 1 ) \sqrt{5 x^2 - 2 x + 1 } } < \ 0 \ voi \ moi \ x < \ 0 [/TEX]


[TEX]Do F"(x) < \ 0 \ voi \ x < \ 0 [/TEX] \Rightarrow [TEX]F'(x) \ giam \ khi \ x < \ 0 [/TEX]


\Rightarrow [TEX]F (x ) \ tang \ khi \ x < \ 0[/TEX] \Rightarrow [TEX]F (x) > \ F ( 0 ) = 0 \ voi \ moi \ x < \ 0[/TEX]


\Rightarrow Phương trình không có nghiệm [TEX]x < \ 0[/TEX]

Cho t hỏi 2 dòng cuối. Sao đạo hàm giảm thì suy ra được hsố tăng nhỉ? :-?

Cho t hỏi 2 dòng cuối. Sao đạo hàm giảm thì suy ra được hsố tăng nhỉ? :-?

Do [TEX]F"(x) < \ 0 \ khi \ x < \ 0 \ nen \ F'(x) \ giam \ khi \ x < \ 0 \ nghia \ la \ F'(x) > \ F'(0) = 0 \ khi \ x< \ 0 , [/TEX]

\Rightarrow[TEX] F' ( x) > \ 0 nen \ F (x ) \ tang \ khi \ x < \ 0[/TEX] \Rightarrow[TEX]F (x) > \ F ( 0 ) = 0 \ voi \ moi \ x < \ 0 [/TEX]

 

[destinyx4]

Bài 40:Giải phương trình:
[TEX]x^4-4x^3-2x^2+12x-1=0 (1)[/TEX]

Định hướng: Đưa phương trình về dạng [TEX](x^2 - 2x)^2 = 6x^2 -12 x+ 1[/TEX], sau đó tìm hệ số a thích hợp sao cho vế phải của phương trình sau là tổng bình phương [TEX](x^2 - 2x)^2 + 2.a (x^2 - 2x ) + a^2 =(2a+ 6)x^2 -(4a+12) x + 1+a^2 [/TEX], khi đó delta=0. Trong bài này đặt biệt, a=-3.
Bài giải:
[TEX](1) \Leftrightarrow (x^2 - 2x )^2 - 6(x^2 - 2x) + 9 = 10 \\ \Leftrightarrow \left[ x^2 -2x - 3 = \sqrt{10} \\ x^2 -2x - 3 =- \sqrt{10} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ (x-1)^2 = \sqrt{10} +4 \\ (x-1)^2 = 4-\sqrt{10} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ x = 1 \pm \sqrt{\sqrt{10}+4} \\ x= 1 \pm \sqrt{4-\sqrt{10}} [/TEX]
Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là:
[TEX]\left[ x = 1 \pm \sqrt{\sqrt{10}+4} \\ x= 1 \pm \sqrt{4-\sqrt{10}} [/TEX]

. .

Đã sửa !

Mình xin đưa ra cách giải sau để các bạn tham khảo
-Nhận xét:Đồ thị hàm số [tex]f(x)=x^4-4x^3-2x^2+12x-1 [/tex]có trục đối xứng x=1
-Chuyển trục:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x=X+1 \\ y=Y \end{array} \right.[/tex]
Phương trình đã cho tương đương với:
[tex]X^4-8X^2+6=0[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} X^2=4+\sqrt{10} \\ X^2=4-\sqrt{10} \end{array} \right.[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} X=\sqrt{4+\sqrt{10}} \\ X=-\sqrt{4-\sqrt{10}} \end{array} \right.[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1+\sqrt{4+\sqrt{10}} \\ x=1-\sqrt{4-\sqrt{10}} \end{array} \right.[/tex]
Kết Luận: Phương trình có 2 nghiệm:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x=1+\sqrt{4+\sqrt{10}} \\ x=1- \sqrt{4-\sqrt{10}} \end{array} \right.[/tex]

 

[destinyx4]

Bài 45: Giải hệ phương trình

[tex]\left\{ \begin{array}{l} y+\frac{2}{3}\sqrt{x^2-12y+1}=\frac{1}{12}(x^2+17) \\ \frac{x^2}{8y}+\frac{2x}{3}={\sqrt{\frac{x^3}{3y}+ \frac{x^2}{4}}-\frac{y}{2}\end{array} \right.[/tex]

 

[bananamiss]

Định hướng: Ban đầu mình nghĩ đặt [TEX]t= 2 \sqrt{x+1} - \sqrt{1-x} [/TEX] nhưng [TEX]t^2 = 3x + 5 - 4\sqrt{1-x^2}[/TEX], trong khi đó đề bài lại là [TEX]3x+\sqrt{1-x^2} ??[/TEX]chẳng nhẽ đề sai ??
Sau đó kiên nhẫn 1 tý mình đặt từng cái căn xem sao [TEX]a=\sqrt{x+1}, b = \sqrt{1-x}[/TEX] khi đó ta có:
[TEX]4a - 1 = \frac32 (a^2 - b^2 ) + 2 b + ab \\ \Leftrightarrow 3a^2 + 2( b -4) a - 3b^2 + 4b + 2 = 0 [/TEX] và lập delta thì dược [TEX]\Delta' = b^2 - 8b + 16 + 9b^2 - 12b - 6 = 10(b-1)^2[/TEX], như vậy là có thể giải quyết

giờ suy nghĩ lại này ....:">

[TEX]4\sqrt{x+1}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4a-1=2(a^2-1)-(b^2-1)+2b+ab \Leftrightarrow 2a^2-b^2+2b+ab-4a=0 \Leftrightarrow (2a-b)(a+b-1)=0[/TEX]

bây h đúng rồi , hồi chiều làm k sai đâu nhưng sau tính toán nhầm :|

 

[rubic_24]

Bài 46 : Giải hệ phương trình :

[TEX]\left{\begin{2 x^2 y + y ^ 3 = 2 x^4 + x ^ 6 }\\{( x + 2 ) \sqrt{y + 1 } = ( x + 1 ) ^ 2 } [/TEX]

 

[pepun.dk]

Bài 46 : Giải hệ phương trình :

[TEX]\left{\begin{2 x^2 y + y ^ 3 = 2 x^4 + x ^ 6 }(1)\\{( x + 2 ) \sqrt{y + 1 } = ( x + 1 ) ^ 2 }(2) [/TEX]

[TEX]dk:\left\{x\geq-2\\y\geq-1[/TEX]

Khi đó :

[TEX](1)\Leftrightarrow2x^2(y-x^2)+(y-x^2)(y^2+x^2y+x^4)=0\\\\\Leftrightarrow(y-x^2)(2x^2+y^2+x^2y+x^4)=0\\\\\Leftrightarrow\left\[y=x^2\\(x^2+\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}+2x^2=0(VN do VT >0)[/TEX]

Với : [TEX]y=x^2[/TEX] Thế vào (2) ta được:

[TEX](x+2)(\sqrt{x^2+1})=(x+1)^2\\\\\Leftrightarrow{x^2}=3(binh phuong 2 ve)\\\\\Leftrightarrow{\left\[x=\sqrt{3}(t/m)\\x=-\sqrt{3}(t/m)\right.}\Rightarrow{y}=3(t/m)[/TEX]


KL: hệ đã cho có nghiệm là: [TEX](x;y)=(\sqrt{3};3);(-\sqrt{3};3)[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 46 : Giải hệ phương trình :

[TEX]\left{\begin{2 x^2 y + y ^ 3 = 2 x^4 + x ^ 6 } (1) \\{( x + 2 ) \sqrt{y + 1 } = ( x + 1 ) ^ 2 } (2)[/TEX]

Định hướng: Nhận thấy vế phải và trái đề có hệ số là 2; 1 nên ta nghĩ đến sẽ dùng hàm đặc trưng và tinh ý 1 chút ta sẽ chia 2 vế cho x^3.
Bài giải:
Điều kiện : [TEX]y \ge - 1[/TEX].
Với x=0 thì ta có hệ phương trình vô nghiệm
Với [TEX]x \not= 0[/TEX], ta có:
[TEX](1) \Leftrightarrow x^3 + 2x = \left( \frac{y}{x} \right)^3 + 2 \left(\frac{y}{x} \right) (1')[/TEX]
Do hàm [TEX]f(t) = t^3 + 2t[/TEX] đồng biến trên R nên ta có:
[TEX](1') \Leftrightarrow f \left(\frac{y}{x} \right) = f(x) \\ \Leftrightarrow x= \frac{y}{x} \\ \Leftrightarrow x^2 = y [/TEX].
Thay vào (2) ta có:
[TEX](x+2) \sqrt{x^2+1} = (x+1)^2 \\ \Leftrightarrow x^2+1 - (x+2) \sqrt{x^2+1} + 2x = 0 [/TEX]

Bước này ở ngoài nháp nhé, xem đây là phương trình bậc 2 ẩn [TEX]\sqrt{x^2+1} [/TEX] thì ta có: [TEX]\Delta = (x-2)^2 [/TEX], do đó ta sẽ có :
[TEX]\left{ \sqrt{x^2+1} = \frac{x+2 + x-2 }{2}= x \\ \sqrt{x^2+1} = \frac{x+2- (x-2)}{2} = 2 [/TEX]. Do biết nghiệm như vậy nên ta sẽ phân tích biểu thức trên được như sau:

[TEX](\sqrt{x^2+1} - x)(\sqrt{x^2+1} -2 ) = 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ \sqrt{x^2+1} = x (3) \\ \sqrt{x^2+1} = 2 (4)\right. [/TEX]
Giải (3):
[TEX](3) \Leftrightarrow \left{ x \ge 0 \\ x^2 + 1 = x^2 \right. (vo\ nghiem)[/TEX]
Giải (4):
[TEX](4) \Leftrightarrow x^2 =3 \\ \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3} [/TEX]

• [TEX]x =- \sqrt{3} \Rightarrow y = 3[/TEX]
• [TEX]x = \sqrt{3} \Rightarrow y=3[/TEX]

Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
[TEX]\left[ \left{ x= -\sqrt{3}\\ y = 3 \right. \\ \left{ x= \sqrt{3} \\ y =3 [/TEX]

 

[tuyn]

Bài 45: Giải hệ phương trình

[tex]\left\{ \begin{array}{l} y+\frac{2}{3}\sqrt{x^2-12y+1}=\frac{1}{12}(x^2+17)(1) \\ \frac{x^2}{8y}+\frac{2x}{3}={\sqrt{\frac{x^3}{3y}+ \frac{x^2}{4}}-\frac{y}{2}(2)\end{array} \right.[/tex]

ĐK: Phức tạp quá
[TEX]PT (1) \Leftrightarrow 12y+8\sqrt{x^2-12y+1}=x^2+17 \Leftrightarrow (x^2-12y+1)-8\sqrt{x^2-12y+1}+16=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{x^2-12y+1}-4)^2=0 \Leftrightarrow y=\frac{x^2-15}{12}[/TEX]
Thế vào PT (2) ta có:
[TEX]\frac{3}{2}+\frac{2x}{3}=\sqrt{4x+\frac{x^2}{4}}-\frac{x^2}{24}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{2}{12}(4x+\frac{x^2}{4})-\sqrt{4x+ \frac{x^2}{4}}+\frac{3}{2}=0(t=\sqrt{4x+\frac{x^2}{4}})[/TEX]
[TEX]\Rightarrow t^2-6t+9=0 \Leftrightarrow t=3 \Rightarrow x^2+16x-12=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{x=-4+\sqrt{78}}\\{x=-4-\sqrt{78}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow ....[/TEX]

Sorry mọi người : để tối về mình viết tiếp

 

[rubic_24]

Bài 47 : Giải hệ phương trình :

[TEX]\left{\begin{x ^ 2 + y ^ 2 = - y ( x + z ) }\\{x ^ 2 + x + y = - 2 y z}\\{3 x ^ 2 + 8 y ^ 2 + 8 x y + 8 y z = 2 x + 4 z + 2 } [/TEX]


Bài 48 : Giải hệ phương trình :


[TEX]\left{\begin{x ^ 3 + x ^ 2 ( 13-y-z ) + x \ ( 2y \ + 2 z \ - \ 2 y z \ - \ 26 ) +\ 5 y z \ -7 y \ - 7 z \ + \ 30 = 0}\\{x ^ 3 + x ^ 2 ( 17 \ -y \ -z )- x ( 2y \ + 2z \ -2yz \ -26 ) + y + z \ -3 y z \ -2 = \ 0}\\{ 4 \le \ \ x \ \le \ 7 } [/TEX]

 

[rubic_24]

2 bài này nhìn cái đề thấy ngợp quá (T_T) ! Sau đây là lời giải của Sách đưa ra ... ( ... Không hiểu làm sao Tác giả lại nghĩ ra cách này :-S ?

Bài 48 : Giải hệ phương trình :


[TEX]\left{\begin{x ^ 3 + x ^ 2 ( 13-y-z ) + x \ ( 2y \ + 2 z \ - \ 2 y z \ - \ 26 ) +\ 5 y z \ -7 y \ - 7 z \ + \ 30 = 0}\\{x ^ 3 + x ^ 2 ( 17 \ -y \ -z )- x ( 2y \ + 2z \ -2yz \ -26 ) + y + z \ -3 y z \ -2 = \ 0}\\{ 4 \le \ \ x \ \le \ 7 } [/TEX]

Giải :

Gọi [TEX] ( x_0, y_0,z_0) [/TEX] là nghiệm tùy ý của hệ đã cho thì

[TEX]\Rightarrow \ 4\le \ x_0 \ \le \ \ 7[/TEX]

Đặt : [TEX]u = y_0 + z_0 \ va \ v = y_0 \ z_0 . \ Do ( x_0, y_0, z_0)[/TEX] là nghiệm nên ta có hệ đẳng thức sau :


[TEX]\left{\begin{ x_0^3 +\ x_0^2 ( 13-u) \ + x_0(2u - 2v-26) + \ 5v - 7u + 30 = 0 }\\{x_0^3 +\ x_0^2 ( 17-u) \ - x_0(2u + 2v-26) + \ u - 3v - 2 = 0} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \ \left{\begin{u( 2x_0 - x_0^2 - 7 ) + v( 5 - 2x_0) + x_0^3 + 13x_0^2 -26x_0 + 30 = 0 \ (1) }\\{ u(1-2x_0-x_0^2 ) + v( -2x_0 -3) + x_0^3 +17x_0^2 +26 x_0 - 2 = 0 \ (2) } [/TEX]


Trừ từng vế (1) và (2) ta có :

[TEX]u ( 4x_0 - 8) + 8v -4x_0^2 -52x_0+32 = 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ v = \frac12 [ u ( 2-x_0) + x_0^2+13x_0 -8] [/TEX]

Thay lại (3) vào (1) ta đi đến :

[TEX]2u( 2x_0 - x_0^2 - 7 ) +( 5 - 2x_0) [ u ( 2-x_0) + x_0^2+13x_0 -8] +2(13x_0^2 -26x_0 + 30 ) = 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ -u_0 (5x_0 =4) = -(5x_0+4)(x_0+5) \ (4)[/TEX]

[TEX]Do \ 4\le \ x_0 \ \le \ \ 7 \ \Rightarrow \ \ 5x_0 +4 [/TEX] # [TEX]0[/TEX]

Vậy từ (4) ,Ta có : [TEX]u = x_0 = 5 \ va \ v =5x_0 +1[/TEX]

\Rightarrow Hệ phương trình :

[TEX]\left{\begin{ y_0 +z_0 = x_0 +5 \ (5)}\\{ y_0 \ z_0 =5x_0 + 1 \ (6) } [/TEX]

\Rightarrow Theo Viet đảo , từ (5) và (6) suy ra [TEX]y_0 \ va z_0[/TEX] là các nghiệm của phương trình :

[TEX]t^2 -(x_0+5)t+5x_0+1=0 \ (7)[/TEX]

[TEX]\Delta_{(7)} = (x_0 -3)(x_0-7)[/TEX]

Từ [TEX] \ 4\le \ x_0 \ \le \ \ 7[/TEX] \Rightarrow [TEX]\Delta \ge \ 0 [/TEX] \Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{x_0 \le \ 3 \ hoac \ x_0 \ge \ 7 }\\{\ 4\le \ x_0 \ \le \ \ 7} [/TEX]

\Leftrightarrow[TEX] x_0 = 7[/TEX]

Vậy ứng với [TEX]x_0 = 7 [/TEX] hệ có nghiệm duy nhất [TEX]t_1 =t_2 = 6 \Rightarrow \ y_0 =z_0 =6 [/TEX]


Như thế nếu hệ đã cho có nghiệm [TEX](x_0,y_0,z_o)[/TEX] thì chỉ có thể [TEX]x_0 = 7, \ y_0=z_0 = 6[/TEX]


Thay lại cặp (7,6,6) vào hệ đã cho thấy thỏa mãn .


\Rightarrow (7,6,6) là nghiệm duy nhất của hệ ban đầu !

 

[rubic_24]

Bài 47 : Giải hệ phương trình :

[TEX]\left{\begin{x ^ 2 + y ^ 2 = - y ( x + z ) }\\{x ^ 2 + x + y = - 2 y z}\\{3 x ^ 2 + 8 y ^ 2 + 8 x y + 8 y z = 2 x + 4 z + 2 } [/TEX]

Sách giải theo kiểu xét vecto ... khó hiểu

Hướng :

Viết lại hệ đã cho :

[TEX]\left{\begin{x(x+y)+y(y+z)=0 \ (1)}\\{x(x+1)+y(2z+1)=0 \ (2)}\\{4(x+y)^2 +4(y+z)^2 =(x+1)^2 +(2z+1)^2 \ (3) [/TEX]

Xét các vecto trong hệ trục tọa độ [TEX]\vec{u }(x,y) \ ; \vec{v }(x+y; \ y+z) ; \ \vec{w }(x+1 ; 2z+1)[/TEX]

Khi đó (1) (2) (3) có thể viết lại dưới dạng :

[TEX]\left{\begin{\vec{u}. \vec{v} =0 }\\{\vec{u}. \vec{w} =0}\\{4| \vec{v}|^2 = | \vec{w}|^2 [/TEX]

.... Giải ... \Rightarrow Hệ có 2 nghiệm [TEX](0;0;- \frac12) \ va \ (0; \frac12;- \frac12)[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 48: Giải hệ phương trình:

 

[hienzu]

Bài 49: Giải Phương trình

...........................................
....................................................

 

[duynhan1]

Bài 48: Giải hệ phương trình:

Đây là lời giải của mình, mọi người tham khảo nhé .
Định hướng: Đây là 1 hệ hoán vị, thường thì ta sẽ tìm cách đánh giá cho x=y=z rồi giải, các cách thường dùng là: Đoán nghiệm rồi chứng minh nó là nghiệm duy nhất, nhân chia cộng trừ tất để tìm cách đánh giá. Ở bài này nhận thấy nếu nhân lại thì ta được nhân tử xyz. Vì vậy ta chỉ cần tìm cách đánh giá cái còn lại.
Bài giải:
Trường hợp 1:
[TEX]x=0[/TEX], từ (1) ta suy ra [TEX]z=0[/TEX], từ (3) ta suy ra [TEX]y=0[/TEX], và x=0, y=0, z=0 thỏa phương trình (2).
Vậy x=0, y=0, z=0 là 1 nghiệm của hệ phương trình.
Trường hợp 2: [TEX]x \not=0 [/TEX] suy ra [TEX]y \not=0,\ z \not= 0 [/TEX]
Nhân 3 vế của phương trình thì ta có:
[TEX]xyz( xy+2)(yz+2)(zx+2) = xyz \\ \Leftrightarrow (xy+2) (yz+2)(zx+2) = 1[/TEX]
Lại có:
[TEX](1) \Leftrightarrow y x^2 +2x - z = 0[/TEX]
Do y khác 0, nên nếu xem đây là phương trình bậc 2 ẩn x thì ta có:
[TEX]\Delta' =1+yz \ge 0 \\ \Rightarrow 2+yz \ge 1 [/TEX]
Tương tự ta cũng có:
[TEX]2+xy \ge 1\\ 2+zx \ge 1[/TEX]
Từ đó suy ra:
[TEX](2+xz)(2+xy)(2+yz) \ge 1[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
[TEX] 1+ xy = 1+ xz = 1 +zx = 0 \\ \Leftrightarrow xy = yz = zx = -1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow xy.yz.zx = (-1)(-1)(-1) \\ \Leftrightarrow x^2y^2z^2 = -1\ (vo\ ly)[/TEX]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y;z) = 0

 

[duynhan1]

Bài 49: Giải Phương trình

...........................................
....................................................

Định hướng: Ta sẽ tìm cách để đưa hệ phương trình về dạng đối xứng. Nhận thấy dạng ban đầu của phương trình được viết lại thành.
[TEX](15x)^2 - 2.(15x) = 2004 ( \sqrt{2004.15x+1})[/TEX]
Do đó ta sẽ đặt.
[TEX]\left{ u = 15 x \\ v -1 = \sqrt{2004.15x+1}[/TEX]
Khi đó ta có:
[TEX]\left{ v^2 - 2v= 2004 u \\ u^2 - 2u = 2004 v[/TEX]
Đây là hệ đối xứng.
Bài giải:
Điều kiện:
[TEX]30060 x \ge -1[/TEX]
Phương trình đã cho tương đương với:
[TEX](15x)^2 - 2.(15x) = 2004 ( \sqrt{2004.15x+1})[/TEX]
Đặt [TEX]\left{ u = 15 x \\ v -1 = \sqrt{2004.15x+1}[/TEX] ta có hệ phương trình:
[TEX]\left{ v^2 - 2v= 2004 u \\ u^2 - 2u = 2004 v[/TEX]
[TEX]\Rightarrow u^2- v^2 =-2002(u-v)\\ \Leftrightarrow \left{ u =v \\ u+v =- 2002 [/TEX]
Trường hợp 1:
[TEX]u= v \\ \Leftrightarrow 15x - 1 = \sqrt{2004.15x+1} \\ \Leftrightarrow \left{ x \ge \frac{1}{15} \\ \left[ x = 0 \\ x = 2006 \right. \right. \ \Leftrightarrow x = 2006[/TEX]
Trường hợp 2:
[TEX]u+v = -2002 \\ \Leftrightarrow 15 x + \sqrt{2004.15x+1} + 1 = -2 002[/TEX]
Vô nghiệm do:
[TEX]15 x + 1 \ge \frac{-1}{2004} + 1 >0 [/TEX]
Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là: [TEX]x=2006[/TEX]

 

[stork_pro]

Bài 50:
[TEX]\left{\begin{\sqrt{x^2+91}=y^2+\sqrt{y-2}\\{\sqrt{y^2+91}=x^2+\sqrt{x-2}[/TEX]
Bài 51:
[TEX]\left{\begin2x^2+x-\frac{1}{y}=2\\y-y^2x-2y^2=-2[/TEX]

 

[nhocngo976]

1
[TEX]\left{\begin{\sqrt{x^2+91}=y^2+\sqrt{y-2}\\{\sqrt{y^2+91}=x^2+\sqrt{x-2}[/TEX]

[TEX]DK : x , y \ge 2[/TEX]

[TEX]HE \leftrightarrow \sqrt{x^2+91} + \sqrt{x-2}+x^2= \sqrt{y^2+91} + \sqrt{y-2}+y^2[/TEX]

Xét [TEX]f(t)=\sqrt{t^2+91} + \sqrt{t-2}+t^2 \ tren \ [2; + \infty) [/TEX]

có:
[TEX]f'(t)= \frac{t}{\sqrt{t^2+91}} + \frac{1}{2\sqrt{t-2}} + 2t >0 \ voi \ moi\ t \in [2; + \infty) \\\\ \rightarrow f(t) \ DB \ tren [2; + \infty)\\\\ \rightarrow f(x)=f(y) \leftrightarrow x=y[/TEX]

[TEX]x=y \ ta \ co : \ \sqrt{x^2+91} = \sqrt{x-2}+x^2=0 \\\\ \leftrightarrow \sqrt{x^2+91} -10 = \sqrt{x-2}-1 + x^2-9 \\\\ \leftrightarrow \frac{x^2-9}{\sqrt{x^2+91} +10} = \frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1} + (x-3)(x+3) \\\\ \leftrightarrow \left[\begin{ x=3 \\\frac{x+3}{\sqrt{x^2+91} +10} = \frac{1}{\sqrt{x-2}+1} + (x+3) \ (VN) [/TEX]

vậy hệ có nghiệm x=y=3

 

[stork_pro]

bài 52
[TEX]\left{\begin{8x^3y^3+27=18y^3}\\{4x^2y+6x=y^2}[/TEX]

 

[chiro006]

.



Bài 53:
[TEX]\left{\begin{ x^2(y+1)=6y-2 \\ x^4y^2 + 2x^2y^2 + y(x^2+1)=12y^2-1[/TEX]


Bài 54 : Biện luận số nghiệm pt

[TEX] \sqrt{9-x^2} = mx+3-m[/TEX]




.

 

[duynhan1]

Bài 54 : Biện luận số nghiệm phương trình:
[TEX] \sqrt{9-x^2} = mx+3-m[/TEX]

Định hướng: Đưa về dạng [TEX]m = f(x)[/TEX] rồi xét hàm.
Bài giải:
[TEX] m(x-1) = \sqrt{9-x^2} - 3 (1) [/TEX]
x=1 không là nghiệm của phương trình nên ta có:
[TEX](1) \Leftrightarrow m = \frac{\sqrt{9-x^2} - 3}{x-1} [/TEX]
Xét hàm số [TEX]f(x) = \frac{\sqrt{9-x^2} - 3}{x-1} \ \ \forall x \in [-3;1) \cup (1;3][/TEX]
[TEX]f'(x) = \frac{\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}} ( x -1 ) - ( \sqrt{9-x^2} - 3) }{(x-1)^2} [/TEX]
[TEX]f'(x) = 0 \Leftrightarrow (-x^2+x) - ( 9- x^2 - 3 \sqrt{9-x^2}) = 0 \\ \Leftrightarrow 3 \sqrt{9-x^2} = 9 - x \\ \Leftrightarrow \left{ -3 \le x \le 3 \\ 81 - 9x^2 = 81 - 18 x + x^2 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ x = 0 \\ x = \frac{9}{5} \right. [/TEX]
Lập bảng biến thiên. Ta có:
Phương trình: [TEX]f(x) = m[/TEX] có nghiệm
[TEX]\Leftrightarrow \left[ m \ge 0 \\ m \le - \frac34[/TEX]
Kết luận: [TEX]\left[ m \ge 0 \\ m \le - \frac34[/TEX] thì phương trình đã cho có nghiệm.