Giải và bình luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

ĐH:Từ pt (2) có thể biến đổi thành dạng bình phương [TEX](x-1)^2[/TEX] và [TEX](y-2)^2[/TEX]. Từ đó ta sẽ chuyển hệ phù hợp

Đặt [TEX]\left\{x-1=a\\y-2=b[/TEX] Hệ trở thành:

[TEX]\left\{a^2+b^2=38\\ab-a-b=21 \right. \Leftrightarrow \left\{(a+b)^2-2ab=38\\ab-(a+b)=21[/TEX] (II)

Đặt [TEX]\left\{S=a+b\\P=ab[/TEX] Đk:[TEX]S^2\geq4P[/TEX] Hệ (II) trở thành:

[TEX]\left\{S^2-2P=38\\P-S=21 \right. \Leftrightarrow \left\[{{S=10,P=31\(loai)}\\{S=-8,P=13\(t/m)}}[/TEX]

Khi đó a,b là nghiệm phương trình:
[TEX]X^2+8X+13=0 \Leftrightarrow \left\[X=-4+\sqrt{3}\\X=-4-\sqrt{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left\[{{{\left\{x=-3+\sqrt{3}\\y=-2-\sqrt{3}}}\\{\left\{{x=-3-\sqrt{3}\\y=-2+\sqrt{3}}}}[/TEX]

 

Định hướng:Dùng PP hàm số
Lời giải:
ĐK:x \geq 0,y \geq 5
[TEX](1) \Leftrightarrow \sqrt{(x+5)-1}+\sqrt{(x+5)-3}+\sqrt{(x+5)-5}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y-3}+\sqrt{y-5}(3)[/TEX]
xét hàm [TEX]f(t)=\sqrt{t-1}+\sqrt{t-3}+\sqrt{t-5}[/TEX]
[TEX]f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t-1}}+\frac{1}{2\sqrt{t-3}}+\frac{1}{2\sqrt{t-5}} > 0 \forall t > 5[/TEX]
\Rightarrow Hàm số đồng biến trên [5;+\infty)
[TEX]PT (3) \Leftrightarrow f(x+5)=f(y) \Leftrightarrow y=x+5[/TEX]
Thế vào PT (2) ta được:
[TEX]2x^2+12x-14=0 \Leftrightarrow x=1 (TM),x=-7(loai)[/TEX]
Vậy HPT có nghiệmx;y)=(1;6)

 

Bài 22 : [TEX]\left\{x^2+3y=9(1)\\y^4+4(2x-3)y^2-48y-48x+155=0(2)[/TEX]

ĐH: Pt sau bậc cao nhât là bậc 4,Ta sẽ hạ dần bằng cách biến về dạng bình phương
(2)\Leftrightarrow [TEX][y^2+2(2x-3)]^2-16x^2-48y+119=0[/TEX]
Cộng từng vế: 16.VT(1)+VT(2)=144 \Leftrightarrow [TEX] (y^2+4x-6)^2=25 \Leftrightarrow \left[y^2+4x=11\\y^2+4x=1[/TEX]

TH1:

[TEX]\left\{x^2+3y=9(3)\\y^2+4x=11(4)[/TEX]

Cộng từng vế: 2.VT(3)-VT(4)=7\Leftrightarrow [TEX]2(x-1)^2=(y-3)^2 \Leftrightarrow \left\[y=\sqrt{2}x+3-\sqrt{2}\\y=-\sqrt{2}x+3+\sqrt{2}[/TEX]


Với [TEX]y=\sqrt{2}x+3-\sqrt{2}[/TEX] .Thế vào (3) ta đk: [TEX]x^2+3\sqrt{2}x-3\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow \left\[{x=\frac{-3\sqrt{2}+\sqrt{18+12\sqrt{2}}}{2} \Rightarrow y=\frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{36+24\sqrt{2}}}{2}}\\{x=\frac{-3\sqrt{2}-\sqrt{18+12\sqrt{2}}}{2} \Rightarrow y=\frac{-2\sqrt{2}-\sqrt{36+24\sqrt{2}}}{2}}[/TEX]

Với [TEX]y=-\sqrt{2}x+3+\sqrt{2}[/TEX] .Thế vào (3) ta đk: [TEX]x^2-3\sqrt{2}x+3\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow \left\[{x=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{18-12\sqrt{2}}}{2} \Rightarrow y=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{36-24\sqrt{2}}}{2}}\\{x=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{18-12\sqrt{2}}}{2} \Rightarrow y=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{36-24\sqrt{2}}}{2}}[/TEX]
TH2:

[TEX]\left\{x^2+3y=9(5)\\y^2+4x=1(6)[/TEX]

MÌnh ko giải hệ này dk

 

Bài 24: Giải pt

[TEX](x^2+2) \sqrt{x^2-1}=4[/TEX]

 

Định hướng: Thấy căn, khá đơn giản \Rightarrow Nhè căn mà đặt

Giải : Đk : [TEX]\left[\begin{x \ge \ 1}\\{x \le \ - 1} [/TEX]

Đặt [TEX]\sqrt{x^2 -1} = t[/TEX] (t \geq 0)

\Rightarrow Pt đối với t :

[TEX](t^2 + 3) t = 4[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]t^3 + 3t -4 = 0[/TEX]

\Leftrightarrow t =1 (T/m)

\Rightarrow [TEX]\sqrt{x^2 -1} = 1[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]\left[\begin{x = \sqrt2 \ ( T/m) }\\{x = - \sqrt2 \ ( T/m)} [/TEX]

 

Định hướng:Dùng PP miền giá trị
[TEX]DK: 0 \leq x \leq 6[/TEX]
+)Xét hàm số:
[TEX]f(x)=\sqrt[4]{2x}+\sqrt{2x}+\sqrt[4]{6-x}+\sqrt{6-x},x \in [0;6][/TEX]
[TEX]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt[4]{(2x)^3}}+\frac{1}{\sqrt{2x}}-\frac{1}{2\sqrt[4]{(6-x)^3}}-\frac{1}{\sqrt{6-x}}=0[/TEX]
[TEX]f'(x)=0 \Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt[4]{(2x)^3}}+\frac{1}{\sqrt{2x}}=\frac{1}{2\sqrt[4]{(6-x)^3}}+\frac{1}{\sqrt{6-x}}(1)[/TEX]
Xét hàm số [TEX]g(t)=\frac{t^3}{2}+t^2, t > 0[/TEX]
[TEX]g'(t)=\frac{3}{2}t^2+2t > 0 \forall t > 0[/TEX]
\Rightarrow Hàm số đồng biến
[TEX]PT (1) \Leftrightarrow g(\frac{1}{\sqrt[4]{2x}})=g(\frac{1}{\sqrt[4]{6-x}}) \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt[4]{2x}}=\frac{1}{\sqrt[4]{6-x}} \Leftrightarrow x=4[/TEX]
[TEX]f'(x) > 0 \Leftrightarrow g(\frac{1}{\sqrt[4]{2x}}) > g(\frac{1}{\sqrt[4]{6-x}}) \Leftrightarrow x < 4[/TEX]
[TEX]f'(x) < 0 \Leftrightarrow x > 4[/TEX]
[TEX]f(4)=\sqrt[4]{8}+\sqrt{8}+2\sqrt[4]{2}+\sqrt{2},f(0)=2\sqrt[4]{6}+\sqrt{6},f(6)=2\sqrt[4]{6}+\sqrt{12}[/TEX]
Lập BBT
Từ BBT \Rightarrow Để PT ban đầu có 2 nghiệm [TEX] \Leftrightarrow 2\sqrt[4]{6}+\sqrt{12} \leq m < \sqrt[4]{8}+\sqrt{8}+2\sqrt[4]{2}+\sqrt{2}[/TEX]

 

Bài 25: Giải pt:

[TEX]51 \sqrt{x-2} =3x^2 -58x +110[/TEX]

 

Định hướng: Thường thi ta sẽ nghĩ đặt ẩn phụ để đưa về hệ đối xứng, nhưng chắc có lẽ dạng này phải đưa về hệ đối xứng không hoàn toàn, nên ta sẽ đặt [TEX]t=\sqrt{x-2}[/TEX] để đưa về phương trình bậc 4 rồi dùng pp hệ số bất định cho chắc.

Bài giải:
Điều kiện: [TEX]x \ge 2[/TEX]
Đặt [TEX]t = \sqrt{x-2} \ (t \ge 0)[/TEX]. Ta có:
[TEX]3t^4 - 46t^2 - 51 t + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow ( 3t^2 + 9t-1) ( t^2 -3 t -6) = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ t = \frac16 ( -9 + \sqrt{93}) \ (thoa)\\ t = \frac16 ( - 9 - \sqrt{93}) (loai) \\ t = \frac12 ( 3 + \sqrt{33} ) (thoa) \\ t = \frac12( 3 - \sqrt{33})\ (loai) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\left[ x= 2 + \(\frac16 ( -9 + \sqrt{93} ) \)^2 \\ x= 2+ \( \frac12 ( 3 + \sqrt{33} ) \)^2 \right. \\ \Leftrightarrow \left[ x = \frac{41-3\sqrt{93}}{6} \\ x = \frac{35+3\sqrt{33}}{2} [/TEX]

 

Bài 26: Giải phương trình.

[TEX]\sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0[/TEX]
​

.

 

[TEX]DK: x \geq \frac{1}{2}[/TEX]
Định hướng:Dùng PP đặt ẩn phụ
Lời giải:
[TEX]PT \Leftrightarrow 4\sqrt{2x-1}+4x^2-12x+4=0[/TEX]
[TEX]4\sqrt{2x-1}+(2x-1)^2-4(2x-1)-1=0[/TEX]
[TEX]t=\sqrt{2x-1} \geq 0 \Rightarrow t^4-4t^2+4t-1=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (t-1)^2(t^2+2t-1)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{t=1(TM)}\\{t=-1+\sqrt{2}(TM)}\\{t=-1-\sqrt{2}(loai)}[/TEX]
[TEX]t=1 \Rightarrow x=1(TM)[/TEX]
[TEX]t=-1+\sqrt{2} \Rightarrow x=2-\sqrt{2}(TM)[/TEX]
Vậy PT có 2 nghiệm:[TEX]x=1,x=2-\sqrt{2}[/TEX]

 

Định hướng: Số khá nhỏ, mò bình phương cho nhanh.
Bài giải:
Điều kiện: [TEX]x \ge \frac12[/TEX]
[TEX]4x^2 - 4 x + 1 =4(2x-1) - 4 \sqrt{2x-1} + 1 \\ \Leftrightarrow (2x-1)^2 = ( 2 \sqrt{2x-1} - 1)^2 \\ \Leftrightarrow \left[x=\sqrt{2x-1} \\ x = 1- \sqrt{2x-1} [/TEX]
Trường hợp 1:
[TEX]x= \sqrt{2x-1} \\ \Leftrightarrow \left{ x \ge 0 \\ (x-1)^2 = 0 \right. \\ \Leftrightarrow x= 1 (thoa\ x \ge \frac12) [/TEX]
Trường hợp 2:
[TEX]\sqrt{2x-1} = 1 - x \\ \Leftrightarrow \left{ 1 - x \ge 0 \\ x^2- 4x + 2 = 0 \right. \\ \Leftrightarrow x = 2 - \sqrt{2} (thoa\ x \ge \frac12) [/TEX]

Kết luận: Nghiệm của phương trình là:
[tex] \left[ x = 1 \\ x = 2 -\sqrt{2} [/tex]

 

Bài 27:
[TEX]\left{ x^4+y^4=2 \\ x^3-2x^2+2x=y^2[/TEX]

 

Định hướng:
Lời giải:
Từ PT thứ 2 của hệ \Rightarrow x > 0
[TEX]HPT \Leftrightarrow \left{\begin{(x^2-1)(x^2+1)=(1-y^2)(1+y^2)(1)}\\{(x-1)(x^2-x+1)=y^2-1(2)}[/TEX]
Xét các TH sau:
[TEX]TH 1:x > 1[/TEX]
Từ PT (2) \Rightarrow [TEX]y^2 >1 \Leftrightarrow 1-y^2 < 0[/TEX]
Từ PT (1) \Rightarrow [TEX]x^2-1 < 0 \Leftrightarrow -1 < x < 1[/TEX]
\Rightarrow HPT VN
[TEX]TH 2:0 \leq x < 1[/TEX]
Từ PT (2) \Rightarrow [TEX]y^2-1 < 0 \Leftrightarrow 1-y^2 > 0[/TEX]
Từ PT (1) \Rightarrow [TEX]x^2-1 > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty;-1)\bigcup_{}^{}(1;+\infty)[/TEX]
\Rightarrow HPTVN
[TEX]\Rightarrow x=1 \Rightarrow y^2=1 \Leftrightarrow y=1,-1[/TEX]
Vậy HPT có nghiệmx;y)=(1;1),(1;-1)

 

Ta suy ra:
[TEX](x+1)(x-1)^2(x^2+1) (x^2-x+1) = -(y^2-1)^2( y^2+1) [/TEX]
Nhận thấy : [TEX]VT \ge 0,\ VP \le 0 [/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
[TEX]\left{ x = 1 \\ y^2 = 1 \right. \Leftrightarrow \left[ \left{ x = 1 \\ y = 1 \right. \\ \left{ x = 1 \\ y = -1 \right. [/TEX]
Thử lại ta có : (1;1) và (1;-1) là 2 nghiệm của hệ phương trình.

Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là:
[TEX] \left[ \left{ x = 1 \\ y = 1 \right. \\ \left{ x = 1 \\ y = -1 \right. [/TEX]

 

Bài này dùng phương pháp hệ số bất định như thế nào anh duynhân???
để ra dc cái phương trình tích=0????/

 

[TEX]3t^4 - 46t^2 - 51t + 6 = 0 [/TEX]
Chú ý: ta chỉ phân tích được khi hệ số của các tam thức bậc 2 nguyên còn không nguyên thì chịu
Giả sử có thể phân tích VT thành 2 tam thức bậc 2 thì nó sẽ có dạng:
[TEX]( 3t^2 + at + b) ( t^2 + ct + d) = 0 [/TEX]
Mở ra và đồng nhất hệ số của [TEX]t^3,\ t^2,\ t,\ 6[/TEX] thì ta có:
[TEX]\left{ a+ 3c = 0 \\ b+3d + ac = - 46 \\ ad + bc = - 51 \\ bd = 6[/TEX]
Nếu bình thường ta sẽ lấy (1), (3), (4) để giải hệ bằng cách thử b=1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 ( các ước hệ số tự do) để suy ra b, d, a, c rồi thử lại với (2) cái nào đúng thì ta lấy.
Nhưng ở đây ta sẽ thế và kết hợp với máy tính để sử dụng cho nhanh.
[TEX]\left{ a = - 3c \\ c(b-3d) = - 51 \\ b+3d + ac = b+ 3d - 3(\frac{51}{3d-b})^2 = - 46 (*)(*)(*) [/TEX]
Tới đây ta sẽ dùng chức năng calc nhập lần lượt các giá trị của b và d đến khi nào [TEX]\red b+ 3d - 3(\frac{51}{3d-b})^2[/TEX] =-46
và thử đến giá trị b=-1 và d=-6 thì thỏa từ đó suy ra a=9 và c=-3

Và ta nhận được kết quả như bài trên.
P/s: Bài viết vội quá nên còn sơ sài nhưng chắc cũng hiểu được nhỉ

A viết rõ hơn tí đi được ko anh , cái chỗ mở ra và đồng nhất hệ số ấy !
Cái chỗ đó nó sao em!!

 

Bài 28: Giải phương trình:

[TEX]\sqrt{1-x} = 2 x^2 - 1+ 2x \sqrt{1-x^2}[/TEX]​

Bài 29: Giải hệ phương trình:

[TEX]\left\{ ( 1-\frac{12}{y+3x} )\sqrt{x} = 2 \\ ( 1+ \frac{12}{y+3x} )\sqrt{y} = 6[/TEX]​

Bài 30: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn:

[tex] \left{ a^3 = 3(b^2+c^2) - 25 \\ b^3 = 3(c^2+a^2) - 25 \\ c^3 = 3(a^2+b^2) - 25 [/tex]​

Tính giá trị [tex]abc[/tex].

 

Định hướng:Do đk | x | \leq 1 \Rightarrow sử dụng Lượng giác hóa
Lời giải:
Đặt [TEX]x=sint,t \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}][/TEX]
[TEX]PT \Leftrightarrow \sqrt{1-sint}=2sin^2t-1+2sint\sqrt{1-sin^2t}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{1-sint}=sin2t-cos2t \Leftrightarrow \left{\begin{sin2t-cos2t \geq 0(1)}\\{1-sint=(sin2t-cos2t)^2(2)}[/TEX]
[TEX](2) \Leftrightarrow 1-sint=1-sin4t \Leftrightarrow sint=sin4t \Leftrightarrow \left[\begin{t=\frac{k2\pi}{3}}\\{t=\frac{\pi}{5}+\frac{k2\pi}{5}}[/TEX]
a)Với [TEX]t=\frac{k2\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}] \Rightarrow k=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow t=0 (TM (1)) \Rightarrow x=0[/TEX]
b)Với [TEX]t=\frac{\pi}{5}+\frac{k2\pi}{5}} \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}][/TEX]
[TEX]\Rightarrow k=0 vs k=-1[/TEX]
[TEX]k=0 \Rightarrow t=\frac{\pi}{5}(TM (1)) \Rightarrow x=sin(\frac{\pi}{5})[/TEX]
[TEX]k=-1 \Rightarrow t=-\frac{\pi}{5}(loai)[/TEX]
Vậy PT có 2 nghiệm:[TEX]x=0,x= sin(\frac{2\pi}{5})[/TEX]​

 

Định hướng: làm rồi nên biết ^^
Giải:
Điều kiện:
[TEX]\left{ x,\ y \ge 0 \\ y+3x \not= 0 [/TEX]

• [TEX]x=0[/TEX] hoặc [TEX]y=0[/TEX], hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
• [TEX]x\not= 0 [/TEX] và [TEX]y \not= 0 [/TEX] thì ta có hệ đã cho tương đương với:
  [TEX]\left{ 2 = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{6}{\sqrt{y}} \\ \frac{-24}{y+3x} = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{6}{\sqrt{y}} \right. \\\Rightarrow \frac{-12}{y+3x} = \frac{1}{x} - \frac{9}{y} \\ \Leftrightarrow -12xy = (y-9x)(y+3x) \Leftrightarrow y^2 -27x^2 + 6xy=0 \Leftrightarrow (y-3x)(y+9x)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{ y=3x \\ y=-9x ( \ loai) \right. \[/TEX]
  
  Với [TEX] y=3x [/TEX] ta có:
  
  [TEX] 2= \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{6}{\sqrt{3}.\sqrt{x}} \Leftrightarrow \sqrt{x}=1 + \sqrt{3} \Leftrightarrow x= 4 + 2\sqrt{3} \rightarrow y= 12 + 6\sqrt{3} [/TEX]
  
  Vậy hệ có nghiệm [TEX] (x;y)= (4 + 2\sqrt{3}; \ 12 + 6\sqrt{3})[/TEX]

 

Bài 31: giải pt:

[TEX] \sqrt{60 -24x -5x^2}= x^2 +5x-10[/TEX]

Bài 32: giải pt:

[TEX]\sqrt{x(x^2-1)}= 2x^2-x-2[/TEX]