Giải và bình luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

[tuyn]

Bài 31: giải pt:
[TEX] \sqrt{60 -24x -5x^2}= x^2 +5x-10[/TEX]

Định hướng:Dùng PP đặt ẩn phụ và đưa về HPT đối xứng
Lời giải:
[TEX]DK:x \in [\frac{-12-\sqrt{444}}{5};\frac{-12+\sqrt{444}}{5}](*)[/TEX]
PT có nghiệm \Leftrightarrow [TEX]x^2+5x-10 \geq 0b\Leftrightarrow x \in (-\infty;\frac{-5-\sqrt{65}}{2}]\bigcup_{}^{}[\frac{-5+\sqrt{65}}{2};+\infty)(**)[/TEX]
Từ [TEX](*)(**) \Rightarrow x \in [\frac{-5+\sqrt{65}}{2};\frac{-12+\sqrt{444}}{5}][/TEX]
Đặt [TEX]y=\sqrt{60-24x-5x^2} \geq 0 \Rightarrow y^2=60-5(x^2+5x)+x(1)[/TEX]
Thay vào PT ta được:
[TEX]y=x^2+5x-10 \Leftrightarrow x^2+5x=y+10(2)[/TEX]
Thay vào PT (1) ta có: [TEX]y^2+5y=x+10(3)[/TEX]
Kết hợp (2) và (3) ta có HPT:
[TEX]\left{\begin{x^2+5x=y+10}\\{y^2+5y=x+10}[/TEX]
Lấy (1)-(2) ta được:
[TEX]x^2-y^2+6(x-y)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{y=x}\\{x+y+6=0(VN)}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2+4x-10=0 \Leftrightarrow \left[\begin{x=-2+\sqrt{14}(TMDK)}\\{x=-2-\sqrt{14}(loai)}[/TEX]
Vậy PT có nghiệm [TEX]x=-2+\sqrt{14}[/TEX]

Bài 32: giải pt:
[TEX]\sqrt{x(x^2-1)}= 2x^2-x-2[/TEX]

Định hướng:
Lời giải:
[TEX]DK: x \in [-1;0]\bigcup_{}^{}[1;+\infty)[/TEX]
Ta xét 2 TH:
a)TH1:[TEX]x \in [-1;0][/TEX]
[TEX]\Rightarrow -x \geq 0,1-x^2 \geq 0[/TEX]
[TEX]PT \Leftrightarrow \sqrt{(-x)(1-x^2)}=(-x)-2(1-x^2) \Leftrightarrow 2(\sqrt{1-x^2})^2+\sqrt{-x}.\sqrt{1-x^2}-(\sqrt{-x})^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{1-x^2}+\sqrt{-x})(2\sqrt{1-x^2}-\sqrt{-x})=0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{1-x^2}-\sqrt{-x}=0 \Leftrightarrow 4x^2-x-4=0 \Leftrightarrow \left[\begin{x=\frac{1-\sqrt{65}}{8}(TMDK)}\\{x=\frac{1+\sqrt{65}}{8}(loai)[/TEX]
b)TH2:[TEX]x \in [1;+\infty)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x \geq 0,x^2-1 \geq 0[/TEX]
[TEX]PT \Leftrightarrow 2(\sqrt{x^2-1})^2-\sqrt{x^2-1}.\sqrt{x}-(\sqrt{x})^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x})(2\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x})=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x^2-1}=\sqrt{x} \Leftrightarrow x^2-x-1=0 \Leftrightarrow \left[\begin{x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(TMDK)}\\{x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(loai)}[/TEX]
Vậy PT có 2 nghiệm:[TEX]x=\frac{1-\sqrt{65}}{8},x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/TEX]

 

[pepun.dk]

Bài 31: giải pt:

[TEX] \sqrt{60 -24x -5x^2}= x^2 +5x-10[/TEX]

Bài 32: giải pt:

[TEX]\sqrt{x(x^2-1)}= 2x^2-x-2[/TEX]

Định Hướng: Sử dụng hệ số bất định ở trên


Bài 31.

[TEX]\sqrt{64-24x-5x^2}=x^2+5x-10 \Leftrightarrow \left\{64-24x-5x^2\geq0\\x^2+5x-10 \geq0\\64-24x-5x^2=(x^2+5x-10)^2\right.[/TEX][TEX] \Leftrightarrow\left\{\left\[\frac{-5+\sqrt{65}}{2}\leq{x}\leq\frac{-12+2\sqrt{111}}{5}\\\frac{-12-2\sqrt{111}}{5}\leq{x}\leq\frac{-5-\sqrt{65}}{2}\right.\\x^4+10x^3+10x^2-76x+40=0(*)[/TEX]


[TEX](*)\Leftrightarrow (x^2+4x-10)(x^2+6x-4)=0 \Leftrightarrow \left\[x^2+4x-10=0\\x^2+6x-4=0\right.\Leftrightarrow\left\[x=-2+\sqrt{14}(t/m)\\x=-2-\sqrt{14}(loai)\\x=-3+\sqrt{13}(loai)\\x=-3-\sqrt{13}(t/m)\right[/TEX]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

[TEX]\Leftrightarrow\left\[x=-2+\sqrt{14}\\x=-3-\sqrt{13}\right[/TEX]

-----------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 32.


[TEX]\sqrt{x(x^2-1)}=2x^2-x-2 \Leftrightarrow \left\{x(x^2-1)\geq0\\2x^2-x-2 \geq0\\x(x^2-1)=(2x^2-x-2)^2\right.[/TEX][TEX]\Leftrightarrow\left\{\left\[x\geq\frac{1+\sqrt{17}}{4}\\-1\leq{x}\leq\frac{1-\sqrt{17}}{4}\right.\\4x^4-3x^3-7x^2+x+4=0(*)[/TEX]

[TEX](*)\Leftrightarrow (4x^2-x-4)(x^2-x-1)=0 \Leftrightarrow \left\[4x^2-x-4=0\\x^2-x-1=0\right.\Leftrightarrow\left\[x=\frac{1+\sqrt{65}}{8}(loai))\\x=\frac{1-\sqrt{65}}{8}(t/m)\\x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(t/m)\\x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(loai)\right[/TEX]


Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
[TEX]\left\[x=\frac{1-\sqrt{65}}{8}\\x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 31: giải pt:

[TEX] \sqrt{60 -24x -5x^2}= x^2 +5x-10(1) [/TEX]

Định hướng: Ta sẽ dùng phương pháp hệ số bất định như sau:
[TEX]\sqrt{60-24x-5x^2} - (ax+b) = x^2 + (5-a) x - 10 - b[/TEX] rồi nhân lượng liên hợp sau đó tìm a, b thích hợp để hệ số x^2, x, và hệ số tự do 2 vế tỉ lệ.
Nhưng mà vừa định làm thì thấy nếu -x bên VT là xong nên không cần phải dùng đến a, b. May quá .
Ta hiểu là nhân lượng liên hợp nhưng nếu nhân thì ta phải xét nó có bằng 0 hay không, để tránh rắc rối ta sẽ lách bằng việc phân tích VP sẽ được trình bày trong bài dưới
Bài giải:
Điều kiện: [TEX]60 -24x -5x^2 \ge 0(*)[/TEX]
Với điều kiện trên ta có:
[TEX](1) \Leftrightarrow \sqrt{60 -24x -5x^2} - x = x^2 + 4x - 10 \\ \Leftrightarrow 6(\sqrt{60 -24x -5x^2} - x) = x^2 - ( 60 - 24 x - 5x^2) \\ \Leftrightarrow \left[ x - \sqrt{60 - 24 x - 5x^2} = 0 \\ x+\sqrt{60 -24 x - 5x^2} = - 6 [/TEX]
Bước tiếp theo giải tiếp và ra nghiệm như bạn pepun.dk nhé
Bạn tuyn xem lại trường hợp x+y+6=0 tại sao vô nghiệm

Bài 32: Giải pt:
[TEX]\sqrt{x(x^2-1)}= 2x^2-x-2 (1) [/TEX]

Định hướng: Khi gặp nhiều bài nhiều bạn sẽ đặt [TEX]a=\sqrt{x},\ b = \sqrt{x^2-1}[/TEX] để đưa về phương trình đồng bậc, thật là 1 sai lầm quá lớn :-s vì chưa biết x âm hay dương.
Ngoài cách phân trường hợp như bạn tuyn thì ta có thể bình phương lên trước khi đặt.

[TEX](1) \Leftrightarrow \left{ 2x^2-x-2 \ge 0 \\ x(x^2-1) = \big( 2(x^2-1) - x \big)^2 [/TEX]
và khi đó ta sẽ đặt [TEX]a= x,\ b = x^2-1[/TEX] và đến bây giờ thì không ai có thể nói gì được.
Kết quả giống bạn tuyn nhé .

 

[anhsao3200]

Bài 33: Giải phương trình
[tex]\large \left\{\begin{matrix} \frac{y}{x^2}+\frac{y^2}{x}=6 & \\ \frac{1}{x^2}+y^2=5 & \end{matrix}\right.[/tex]

 

[tuyn]

Bài 33: Giải phương trình
[tex]\large \left\{\begin{matrix} \frac{y}{x^2}+\frac{y^2}{x}=6 & \\ \frac{1}{x^2}+y^2=5 & \end{matrix}\right.[/tex]

Định hướng:
Lời giải:
[TEX]HPT \Leftrightarrow \left{\begin{\frac{y}{x}(\frac{1}{x}+y)=6}\\{(\frac{1}{x}+y)^2-2\frac{y}{x}=5}[/TEX]
Đặt: [TEX]\left{\begin{a=\frac{1}{x}+y}\\{b=\frac{y}{x}} \Rightarrow \left{\begin{ab=6}\\{a^2-2b=5}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^3-5a-12=0 \Leftrightarrow a=3 \Rightarrow b=2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{\begin{\frac{1}{x}+y=3}\\{\frac{y}{x}=2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2x^2-3x+1=0 \Leftrightarrow \left[\begin{x=1 \Rightarrow y=2}\\{x=\frac{1}{2} \Rightarrow y=4}[/TEX]
Vậy HPT có nghiệm: (x;y)=(1;2),(1/2;4)

 

[destinyx4]

Bài 33: Giải phương trình[/COLOR
[tex]\large \left\{\begin{matrix} \frac{y}{x^2}+\frac{y^2}{x}=6 & \\ \frac{1}{x^2}+y^2=5 & \end{matrix}\right.[/tex]

ĐK: [TEX]x\not=0[/TEX]
Từ phương trình thứ 2 ta có:
[TEX](\frac{1}{x^2}+y^2)(y+\frac{1}{x})=5(y+\frac{1}{x})[/TEX]
[TEX]\Rightarrow\frac{y}{x^2}+\frac{1}{x^3}+y^3+\frac{y^2}{x}=5(y+\frac{1}{x})[/TEX]
[TEX]\Rightarrow6+\frac{1}{x^3}+y^3=5(y+\frac{1}{x}) (1)[/TEX]
Do:
[TEX]\frac{1}{x^2}+y^2=5[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (\frac{1}{x}+y)^2-2\frac{y}{x}=5(2)[/TEX]
Từ 1 và 2 đặt [TEX]\frac{1}{x}+y=t[/TEX]
Ta được phương trình
[TEX]6+t^3-\frac{3}{2}(t^2-5)t=5t[/TEX]
=>t=3
[tex]\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x}+y=3 \\ \frac{y}{x}=2\end{array} \right.[/tex]
[TEX]\Rightarrow 2x^2-3x+1=0[/TEX]
[tex]\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1\Rightarrow y=2 \\ x= \frac{1}{2} \Rightarrow y=4 \end{array} \right.[/tex]
KL:Vậy hpt đã cho có 2 cặp nghiệm: (1;2)và(1/2;4)

 

[destinyx4]

Bài 34: Giải phương trình:
[TEX]\frac{\sqrt{1+x^3}}{x^2+2}=\frac{2}{5}[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

Bài 35: Giải bpt: [TEX]\sqrt{20x^2+80x+125} \leq 2x+1+4\sqrt{3x+6}[/TEX]

Bài 36: Giải hệ:
[TEX]\left{{x \geq y^2-4y+5}\\{log_{x+1}(4y^2-12y+9)=\frac{x^2+2x+10}{6y-9}}\\{y>\frac{3}{2}}[/TEX]

Bài 37: Giải pt: [TEX]x^2+x-1=xe^{x^2-1}+(x^2-1)e^x[/TEX]

 

[tuyn]

Bài 34:Giải phương trình:
[TEX]\frac{\sqrt{1+x^3}}{x^2+2}=\frac{2}{5}[/TEX]
Bài mở đầu cho một serie bài nào

Định hướng: Dạng quen thuộc. Phân tích [tex] x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1) [/tex], đặt [tex] a = \sqrt{x-1} ,\ b=\sqrt{x^2-x+1} [/tex] và biểu diễn [tex] x^2+2 [/tex] theo a^2 và b^2 bằng phương pháp hệ số bất định, ta đưa được về phương trình đồng bậc. Ở đây ta hiểu ngầm mà không đặt.
Lời giải:
ĐK:x \geq -1
[TEX]PT \Leftrightarrow 5\sqrt{(1+x)(1-x+x^2)}=2[(1-x+x^2)+(1+x)][/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2\sqrt{1-x+x^2}-\sqrt{1+x})(\sqrt{1-x+x^2}-2\sqrt{1+x})=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{2\sqrt{1-x+x^2}-\sqrt{1+x}=0}\\{\sqrt{1-x+x^2}-2\sqrt{1+x} = 0}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{4x^2-5x+3=0(VN)}\\{x^2-5x-3=0}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}(TM)}\\{x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}(TM)}[/TEX]
Vậy PT có 2 nghiệm:[TEX]x=\frac{5+\sqrt{37}}{2},x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}[/TEX]

 

[0915549009]

Bài 38:
Giải HPT: [TEX]\left{x^3-5x=y^3-5y \\ x^8+y^4=1[/TEX]

 

[tuyn]

Bài 38:
Giải HPT: [TEX]\left{x^3-5x=y^3-5y(1) \\ x^8+y^4=1(2)[/TEX]

Định hướng:Cái phần này khó nói quá
Lời giải:
Từ PT (2) \Rightarrow |x| \leq 1,|y|\leq 1 ( * )
[TEX]PT(2) \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-5)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{y=x}\\{x^2+y^2+xy=5(3)}[/TEX]
Với y=x \Rightarrow [TEX]x^8+x^4-1=0 \Leftrightarrow \left[\begin{x=\sqrt[4]{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}}\\{x=-\sqrt[4]{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} }[/TEX]
Với [TEX]x^2+xy+y^2=5[/TEX]
ta có:
[TEX]x^2+xy+y^2 \leq 3 (do(*)) \Rightarrow (3) VN[/TEX]
Vậy HPT có 2 nghiệm [TEX]x=y=\sqrt[4]{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}},x=y=-\sqrt[4]{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}[/TEX]

 

[destinyx4]

Bài 38:
Giải HPT: [TEX]\left{x^3-5x=y^3-5y \\ x^8+y^4=1[/TEX]

Định hướng:Nhìn từ phương trình đầu ta thấy ngay dc cách biến đổi bằng cách chuyển vế+phương pháp đánh giá
Bài làm:
[TEX]x^3-5x=y^3-5y[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^3-y^3-5x+5y=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x-y)(x^2+y^2+xy)-5(x-y)=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x-y)(x^2+y^2+xy-5)=0[/TEX]
TH1: x=y.Thế vào pt 2 ta được
[TEX]x^8+x^4=1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow(x^4+\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow(x^4+\frac{1}{2})^2=(\frac{\sqrt{5}}{2})^2[/TEX]
Vì x^4>=0 nên để thoả mãn phương trình trên
[TEX]\Rightarrow x^4=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}[/TEX]
[TEX]+) x= \sqrt[4]{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} \Rightarrow y=\sqrt[4]{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} [/TEX]
[TEX]+) x=-\sqrt[4]{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} \Rightarrow => y=-\sqrt[4]{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}[/TEX]
TH2: [TEX]x^2+y^2+xy-5=0[/TEX]
Ta có [TEX]x^8+y^4=1 \Rightarrow 0\leq x\leq 1 ; 0\leq y\leq 1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^8+y^4+xy-5 =0[/TEX]<Vô lý>
Kết luận: Phương trình có 2 cặp nghiệm
[TEX]x=y= \sqrt[4]{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}[/TEX]
[TEX]x=y=-\sqrt[4]{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}[/TEX]

 

[destinyx4]

Bài 39:Giải phương trình:
[TEX]x^3-3x-1=0[/TEX]

Bài 40:Giải phương trình:
[TEX]x^4-4x^3-2x^2+12x-1=0[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 35: Giải bpt: [TEX]\sqrt{20x^2+80x+125} \leq 2x+1+4\sqrt{3x+6} (1)[/TEX]

Định hướng: Ta để ý rằng:
[TEX]20x^2 + 80 x + 12 5 = 5(2x+1)^2 + 20 ( 3x+6)[/TEX]
Bài giải:
Điều kiện:
[TEX]\left{3x+6\ge 0 \\ 20x^2 + 80 x + 125 >0 \right. \\ \Leftrightarrow x \ge - 2[/TEX]
Với điều kiện trên, ta có:

• Giải (2):
  [TEX](2) \Leftrightarrow 4 \sqrt{3x+6} \ge -2x-1 \\ \Leftrightarrow \left[ 2x+1 > 0 \\ \left{ 2x + 1 \le 0 \\ 16( 3x+6) \ge 4x^2 + 4x + 1 \right. \right. \\ \Leftrightarrow \left[ x > - \frac12 \\ \left{ x \le - \frac12 \\ 4x^2 - 44x - 95 \le 0 \right. \right. \ \Leftrightarrow x \ge \frac12 ( 11- 6 \sqrt{6}) \ \ \ (*)[/TEX]
• Giải (3):
  Đặt [TEX]\left{ a=2x + 1 \\ b = \sqrt{2x+6}[/TEX], ta có:
  [TEX](3) \Leftrightarrow (a + 4b)^2 \ge 5a^2 + 20 b^2 \\ \Leftrightarrow 4a^2 - 8ab + 4b^2 \ge 0 \\ \Leftrightarrow 4(a-b)^2 \ge 0 (luon\ dung) (**)[/TEX]

Kết hợp [TEX](*),\ (**)[/TEX] và điều kiện [TEX]x \ge - 2[/TEX] ta có, nghiệm của hệ phương trình là: [TEX]x \ge \frac12 ( 11 - 6 \sqrt{6})[/TEX]
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là:
[TEX]x \ge \frac12 ( 11 - 6 \sqrt{6}) [/TEX]

. .

 

[duynhan1]

Bài 39:Giải phương trình:
[TEX]x^3-3x-1=0[/TEX]

Định hướng: Các bạn ngâm cứu tại đây CÁCH GIẢI TỔNG QUÁT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3
Bài giải:
Với [TEX]{-2 \le x \le 2}[/TEX], đặt [TEX]x = 2 cos t ( t \in [0; \pi])[/TEX] ta có:
[TEX]4 cos^3 t - 3 cos t = \frac12 \\ \Leftrightarrow cos 3t = \frac12 \\ \Leftrightarrow \left[ 3t = \frac{\pi}{3} + k 2\pi \\ 3t = - \frac{\pi}{3} + k 2\pi \right. \ (k \in Z) \\ \Leftrightarrow \left[ t = \frac{\pi}{9} + \frac{k.2 \pi}{3} \\ t = \frac{-\pi}{9} + \frac{k . 2\pi}{3} \right. \ (k \in Z)[/TEX]
Do [TEX]t \in [0 ; \pi][/TEX] nên ta có:
[TEX]\left[ t = \frac{\pi}{9} \\ t = \frac{7 \pi}{9} \\ t = \frac{5 \pi}{9} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ x= cos { \frac{\pi}{9}} \\ x= cos { \frac{5 \pi}{9} } \\ x= cos { \frac{7\pi}{9} } [/TEX]
Do phương trình bậc 3 chỉ có tối đa 3 nghiệm nên ta có ngoài 3 nghiệm trên phương trình đã cho không còn nghiệm nào khác.
Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là:
[TEX] \left[ x= cos { \frac{\pi}{9}} \\ x= cos { \frac{5 \pi}{9} } \\ x= cos { \frac{7\pi}{9} }[/TEX]

Bài 40:Giải phương trình:
[TEX]x^4-4x^3-2x^2+12x-1=0 (1)[/TEX]

Định hướng: Đưa phương trình về dạng [TEX](x^2 - 2x)^2 = 6x^2 -12 x+ 1[/TEX], sau đó tìm hệ số a thích hợp sao cho vế phải của phương trình sau là tổng bình phương [TEX](x^2 - 2x)^2 + 2.a (x^2 - 2x ) + a^2 =(2a+ 6)x^2 -(4a+12) x + 1+a^2 [/TEX], khi đó delta=0. Trong bài này đặt biệt, a=-3.
Bài giải:
[TEX](1) \Leftrightarrow (x^2 - 2x )^2 - 6(x^2 - 2x) + 9 = 10 \\ \Leftrightarrow \left[ x^2 -2x - 3 = \sqrt{10} \\ x^2 -2x - 3 =- \sqrt{10} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ (x-1)^2 = \sqrt{10} +4 \\ (x-1)^2 = 4-\sqrt{10} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ x = 1 \pm \sqrt{\sqrt{10}+4} \\ x= 1 \pm \sqrt{4-\sqrt{10}} [/TEX]
Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là:
[TEX]\left[ x = 1 \pm \sqrt{\sqrt{10}+4} \\ x= 1 \pm \sqrt{4-\sqrt{10}} [/TEX]

. .

 

[xlovemathx]

Bài 41 : [TEX]4\sqrt{x+1} - 1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}[/TEX]

 

[try_for_dream]

Bài 42 : Chứng minh rằng phương trình :

[TEX]2x^3 - 3x - 6 \sqrt{ 5 x^2 - x + 1 } + 6 [/TEX] không có nghiệm âm

Bài 43 : Giải hệ phương trình :


[TEX]\left{\begin{ \sqrt{11 x - y } - \sqrt{ y - x } = 1}\\{ 7 \sqrt{ y - x } + 6 y - 26 x = 3 } [/TEX]

Bài 44 : Giải hệ phương trình :


[TEX]\left{\begin{x^2 - xy + y^2 = 3 ( x - y ) }\\{ x^2 + xy + y^2 = 7 ( x - y ) ^ 2 } [/TEX]

 

[rubic_24]

Bài 44 : Giải hệ phương trình :


[TEX]\left{\begin{x^2 - xy + y^2 = 3 ( x - y ) }\\{ x^2 + xy + y^2 = 7 ( x - y ) ^ 2 } [/TEX]

Định hướng : Nhẩm nghiệm thấy [TEX]( x , y ) = ( 0 , 0) [/TEX] \Rightarrow Xét [TEX]TH 1 : x = 0[/TEX] sau kiểm tra xem pt có có nghiệm khác 0 nữa không ? \Rightarrow Xét TH2

TH1 : Nhận thấy [TEX]( x , y ) = ( 0 , 0) [/TEX] là 1 nghiệm của pt

TH2 :[tex] x \not= 0 [/tex]

Đặt [TEX] y = x t[/TEX]

\Rightarrow Phương trình với x và t \Leftrightarrow [TEX] x^2 ( t^2 + t + 1 ) = 7 x^2 ( 1 - t ) ^2 [/TEX]

\Rightarrow[TEX]2 t^ 2 - 5t + 2 = 0 [/TEX]

\Rightarrow[TEX]\left[\begin{t = \frac12}\\{ t = 2} [/TEX]

\Rightarrow [TEX]\left[\begin{x = -1 , y = -2}\\{x = 2 , y = 1} [/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 41 : [TEX]4\sqrt{x+1} - 1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}[/TEX]

Định hướng: Ban đầu mình nghĩ đặt [TEX]t= 2 \sqrt{x+1} - \sqrt{1-x} [/TEX] nhưng [TEX]t^2 = 3x + 5 - 4\sqrt{1-x^2}[/TEX], trong khi đó đề bài lại là [TEX]3x+\sqrt{1-x^2} ??[/TEX]chẳng nhẽ đề sai ??
Sau đó kiên nhẫn 1 tý mình đặt từng cái căn xem sao [TEX]a=\sqrt{x+1}, b = \sqrt{1-x}[/TEX] khi đó ta có:
[TEX]4a - 1 = \frac32 (a^2 - b^2 ) + 2 b + ab \\ \Leftrightarrow 3a^2 + 2( b -4) a - 3b^2 + 4b + 2 = 0 [/TEX] và lập delta thì dược [TEX]\Delta' = b^2 - 8b + 16 + 9b^2 - 12b - 6 = 10(b-1)^2[/TEX], như vậy là có thể giải quyết
Bài giải:
Điều kiện: [TEX]{-1 \le x \le 1[/TEX]
Đặt [TEX]a=\sqrt{x+1} \ge 0 ,\ b = \sqrt{1-x} \ge 0[/TEX], ta có:
[TEX]4a - 1 = \frac32 (a^2 - b^2 ) + 2 b + ab \\ \Leftrightarrow 3a^2 + 2( b -4) a - 3b^2 + 4b + 2 = 0 \\ 3( a + \frac{b-4}{3}) ^2 (1) [/TEX]
Xem a là ẩn số thì ta có:
[TEX]\Delta' = 10(b-1)^2 [/TEX], nên ta có:
[TEX](1) \Leftrightarrow \left{ a = \frac{4-b + \sqrt{10}(b-1)}{3} = \\ a = \frac{4-b-\sqrt{10}(b-1)}{3} [/TEX]
Truờng hợp 1:
[TEX]3a = (\sqrt{10}- 1)b + 4 - \sqrt{10} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\sqrt{9(x+1)} = (\sqrt{10}-1) \sqrt{1-x} + 4 -\sqrt{10} [/TEX]
Do 2 vế của phương trình đều dương nên bình phương 2 vế ta có:
[TEX]9(x+1) = ( 11 - 2\sqrt{10}) (1-x) + 26 - 8 \sqrt{10} + 2(5\sqrt{10}- 14) \sqrt{1-x} \\ \Leftrightarrow ( 10 - \sqrt{10}) x = ( 5\sqrt{10}-14)(\sqrt{1-x}-1) \\ \Leftrightarrow (10 -\sqrt{10}) x = \frac{-x( 5\sqrt{10}-14) }{\sqrt{1-x}+1} \\ \Leftrightarrow x = 0[/TEX]
Trường hợp 2:
[TEX]a = \frac{(-\sqrt{10} -1 )b + 4 + \sqrt{10} }{3}[/TEX]
Lại có: [TEX]a^2 + b^2 = 2 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \( (\frac{\sqrt{10}+1}{3} )^2 + 1\) b^2 +\frac{2(4+\sqrt{10})b}{3} + \( \frac{4+\sqrt{10}}{3} \)^2 = 2 \\ \Leftrightarrow (20 + 2\sqrt{10}) b^2 + 6( 4 + \sqrt{10})b + 8+ 8 \sqrt{10} = 0 [/TEX]
Khủng khiếp quá đi
Tham khảo thôi nhé, vào thi làm xong bài này theo kiểu này chắc hết giờ :-t

 

[bananamiss]

Bài 43 : Giải hệ phương trình :


[TEX]\left{\begin{ \sqrt{11 x - y } - \sqrt{ y - x } = 1}\\{ 7 \sqrt{ y - x } + 6 y - 26 x = 3 } [/TEX]

Định hướng: Xem tại đây nhé
Bài giải:
Điều kiện: [TEX]\left{ 11 x \ge y \\ y \ge x[/TEX]

Đặt [TEX]\left{ \sqrt{11x-y}=a \geq 0 \\ \sqrt{y-x}=b \geq 0[/TEX]
Ta có hệ phương trình:
[TEX]\left{ a-b=1 \\ 7b+4b^2-2a^2=3 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ \left{ a= 2\\ b=1\right. \\ \left{ a= - \frac32 \\ b=\frac{-5}{2} \right. (loai)[/TEX]
Ta có:
[TEX]\left{ a= 2\\ b=1\right. \Rightarrow \left{x=\frac{5}{12} \\ y=\frac{15}{12}[/TEX]
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
[TEX]\left{x=\frac{5}{12} \\ y=\frac{15}{12} [/TEX]