[Toán 12] Chuyên đề: Nguyên hàm tích phân

[silvery21]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

nguyên hàm tích phân là phần rất hay trong chương trình 12 ( theo ý kiến chủ quan của t ; ) và cũng quan trọng trong các kỳ thi . T lập pic để thảo luận giúp ích cho việc ôn thi tốt nghiệp + đại học ; ủng hộ nhé.​

đầu tiên có 1 vài lưu ý là fải nắm vững mấy cái công thức trong sách + 1 vài công thức dưới đêy .

[TEX]\int_{}^{}\frac{ dx}{ x^2 +a^2}= \frac{ 1}{a} arc tg \frac{ x}{a} + c [/TEX]

[TEX]\int_{}^{}\frac{ xdx}{ x^2 +a^2}= \frac{ 1}{2} ln ( x^2 +a^2 ) + c [/TEX]

[TEX]\int_{}^{}\frac{ x^2dx}{ x^2 +a^2}=x - a (arc tg \frac{ x}{a} ) + c [/TEX]

[TEX]\int_{}^{}\frac{ dx}{ a^2 -x^2}= \frac{ 1}{2 a} ln | \frac{ a+x}{a- x}| + c [/TEX]

[TEX]\int_{}^{}\frac{ xdx}{ \sqrt{a^2 - x^2}}= arc sin {\frac{ x}{a}}+ c [/TEX]

[TEX]\int_{}^{}\frac{ dx}{ \sqrt{x^2 +a^2} }=ln | x+ \sqrt{x^2 +a^2}|+ c [/TEX]

[TEX]\int_{}^{}\frac{ ax+b}{ x } dx = ax + b ln|x| + c[/TEX]

[TEX]\int_{}^{}\frac{ ax+b}{ x^2 } dx = a ln|x|- \frac{ b}{x}+ c [/TEX]​

có j sai sót mong các bạn góp ý . thank all

 

[silvery21]

chắc trong 1 vài tzan gần đêy mình sẽ ít lên mong các bạn ủng hộ pic nhiệt tình

bài đầu tiên :

1; [TEX]I_1= \int_{}^{} \frac{2x + 3 }{9x^2 - 6x +1 } [/TEX]

càng nhiều cách càng hay) ; giải xong thì tiếp số 2 là [TEX]I_2[/TEX] nhé

 

[keosuabeo_93]

chắc trong 1 vài tzan gần đêy mình sẽ ít lên mong các bạn ủng hộ pic nhiệt tình

bài đầu tiên :

1; [TEX]I_1= \int_{}^{} \frac{2x + 3 }{9x^2 - 6x +1 } [/TEX]

[TEX]I_1=\frac{1}{9}\int_{}{}\frac{18x-6}{9x^2-6x+1}dx[/TEX]
\Rightarrow[TEX]I_1=\frac{1}{9}ln|9x^2-6x+1|+c[/TEX]

 

[phamduyquoc0906]

[TEX]I_1=\frac{1}{9}\int_{}{}\frac{18x-6}{9x^2-6x+1}dx[/TEX]
[TEX]I_1=\frac{1}{9}ln|9x^2-6x+1|+c[/TEX]

SAI

[TEX]I=\int[\frac{2}{3(3x-1)}+\frac{11}{3(3x-1)^2}]dx=\frac{2}{9}ln\|3x-1\|-\frac{11}{9(3x-1)}+C[/TEX]

 

[keosuabeo_93]

[TEX]I_2=e^x(1+tanx+tan^2x)[/TEX]
......................
...................................

 

[nhockthongay_girlkute]

tính tích phân [TEX]I_3=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}In\frac{(1+sinx)^{1+cosx}}{1+cosx}dx[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

cho[TEX] f(x)=x^3lnx[/TEX].giải pt
[TEX]f'(x)-\frac{1}{x}f(x)=0[/TEX]

=))

 

[bigbang195]

cho[TEX] f(x)=x^3lnx[/TEX].giải pt
[TEX]f'(x)-\frac{1}{x}=0[/TEX]

=))

đk

VT và PT đồng biến nên nó có 1 nghiệm , mặt khác f(1) thỏa mãn do đó .... )

cho[TEX] f(x)=x^3lnx[/TEX].giải pt
[TEX]f'(x)-\frac{1}{x}f(x)=0[/TEX]

=))

còn dễ hơn )

 

[phamduyquoc0906]

[TEX]I_2=e^x(1+tanx+tan^2x)[/TEX]
......................
...................................

[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ I=\int(tgx+\frac{1}{cos^2x})e^xdx=e^x.tgx+C[/TEX]

 

[phamduyquoc0906]

tính tích phân [TEX]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}In\frac{(1+sinx)^{1+cosx}}{1+cosx}dx[/TEX]

[TEX]I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}[(1+cosx)ln(1+sinx)-ln(1+cosx)]dx[/TEX]
[TEX]t=\frac{\pi}{2}-x....\Rightarrow{2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}[(1+cosx)ln(1+sinx)-ln(1+cosx)+(1+sinx)ln(1+cosx)-ln(1+sinx)]dx[/TEX]
[TEX]=\int_0^{\frac{\pi}{2}}sinx.ln(1+cosx)dx+\int_0^{ \frac{\pi}{2}}cosx.ln(1+sinx)dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(1+sinx)d(sinx)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow{I=sinx.ln(1+sinx)\|_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx.cosx}{1+sinx}dx=ln2-\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\frac{1}{1+sinx})d(sinx)=ln2+[ln(1+sinx)-sinx]\|_0^{\frac{\pi}{2}}=2ln2-1[/TEX]

 

[vivietnam]

sao mà pic này chìm thế
mọi người cho nó nổi lên nào
thử mấy bài đơn giản này nhá

Câu 1;tính tích phân

a,[TEX]I_5=\int (1-\frac{1}{x^2}).\sqrt{x.\sqrt{x}}dx[/TEX]

b,[TEX]I_6=\int \sqrt{1-sin2x}dx[/TEX]

c,[TEX]I_7=\int \frac{dx}{x.\sqrt{x^2+1}}[/TEX]

d,[TEX]I_8=\int \frac{x}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}dx[/TEX]

e,[TEX]I_9=\int \frac{xdx}{(x+2)(x+5)}[/TEX]

f,[TEX]I_{10}=\int \frac{dx}{(x+a)^2.(x+b)^2}[/TEX]

g,[TEX]I_{11}=\int sinx.sin(x+y)dx[/TEX]

i,[TEX]I_{12}=\int \frac{1+sinx}{sin^2x}dx[/TEX]

 

[letrang3003]

sao mà pic này chìm thế
mọi người cho nó nổi lên nào
thử mấy bài đơn giản này nhá

Câu 1;tính tích phân

e,[TEX]\int \frac{xdx}{(x+2)(x+5)}[/TEX]

em làm được mỗi câu này )

c sửa nhưng gặp fải lỗi tex dấu = nản

[TEX]I_{13} =[/TEX]

 

[silvery21]

b,[TEX]I_6=\int \sqrt{1-sin2x}dx[/TEX]

[TEX]=\int_{}^{}| sin x - cos x| dx [/TEX].........cái này tính nguyên hàm nên chắc chia 2 TH

c,[TEX]I_7=\int \frac{dx}{x.\sqrt{x^2+1}}[/TEX]

đặt [TEX]t = \sqrt{x^2+1} \Rightarrow x^2 = t^2 - 1[/TEX]; [TEX]x dx = tdt [/TEX]

thay vào : [TEX]\int \frac{dx}{x.\sqrt{x^2+1}}=\int_{}^{}\frac{tdt}{t( t^2 - 1)}=\int_{}^{}\frac{dt}{( t^2 - 1)}= \frac{1}{2 } .\int_{}^{}(\frac{1}{( t - 1)} - \frac{1}{( t + 1)})[/TEX]

[TEX]= \frac{1}{2 } .\int_{}^{}ln|(\frac{ t - 1}{( t + 1)}| +c = \frac{1}{2 } .\int_{}^{}ln|(\frac{ \sqrt{x^2+1} - 1}{(\sqrt{x^2+1} + 1)}| +c[/TEX]

d,[TEX]I_8=\int \frac{x}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}dx[/TEX]

[TEX]=\frac{1}{2 }. \int_{}^{}\frac{d( x^2 - 1) }{ (x^2 - 1)^{\frac{3}{2 }}} = \frac{1}{2 }. \frac{(x^2 - 1)^{\frac{-1}{2 }}}{\frac{-1}{2 } } +c [/TEX]

f,[TEX]I_{10}=\int \frac{dx}{(x+a)^2.(x+b)^2}[/TEX]

tổng quát hơn nữa ạ


f,[TEX]I_{10.1}=\int \frac{dx}{(px+a)^2.(qx+b)^2} = \frac{-1}{qa }.[ \frac{1}{(px+a).(qx+b)}+ 2p \int_{}^{} \frac{dx}{(px+a)^2.(qx+b)} +c [/TEX]

i,[TEX]I_{12}=\int \frac{1+sinx}{sin^2x}dx[/TEX]

[TEX]= \int_{}^{}\frac{1}{sin^2x}dx+\int_{}^{}\frac{1}{sinx}dx[/TEX]

[TEX]= \int_{}^{}\frac{1}{sin^2x}dx+\int_{}^{}\frac{1}{2 sin\frac{x}{2 }. co s\frac{x}{2 }}dx[/TEX]

=[TEX]\int_{}^{}\frac{1}{sin^2x}dx+\int_{}^{}\frac{1}{2 tg \frac{x}{2 }. co s^ 2\frac{x}{2 }}dx[/TEX]

[TEX]=\int_{}^{}\frac{1}{sin^2x}dx+\int_{}^{}\frac{d ( tg \frac{x}{2 })}{ tg \frac{x}{2 }} = - cot x +ln |tg \frac{x}{2 }| +c[/TEX]

[TEX]I_{13} =\int_{}^{} \frac{x^7}{( 1+x^4)^2}dx[/TEX]

[TEX]=\frac{1}{4} .\int_{}^{} \frac{(1+x^4) - 1}{( 1+x^4)^2} d (1+x^4)[/TEX]

[TEX]= \frac{1}{4}.[\frac{d (1+x^4)}{( 1+x^4)} - \frac{d (1+x^4)}{( 1+x^4)^2}][/TEX]

[TEX]=\frac{1}{4}.ln |x^4 +1| + \frac{1}{4( x^4 +1)} +c[/TEX]

2 câu còn lại

a,[TEX]I_5=\int (1-\frac{1}{x^2}).\sqrt{x.\sqrt{x}}dx[/TEX]

g,[TEX]I_{11}=\int sinx.sin(x+y)dx[/TEX]............câu này chắc nhân vô ra rùi làm bình thường fải ko ??

 

[letrang3003]

 

[letrang3003]

 

[phamduyquoc0906]

[TEX]I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{x^7+3x^5+3x^3+x}{cos^2x}dx+\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cos^2x}dx=I_1+I_2[/TEX]

[TEX]I_1:\ \ \ \ t=-x \Rightarrow{I_1=0[/TEX]
[TEX]I_2=tgx\|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}=2[/TEX]

 

[hunggary]

Ta có I =
[tex]\int\limits_{a}^{b} \frac{(x+a).ln(x+a) + (x+b).ln(x+b)}{(x+a).(x+b)}dx = \int\limits_{a}^{b}[ \frac{ln(x+a)}{x+b} + \frac{ln(x+b)}{x+a} ]dx = \int\limits_{a}^{b}d[ln(x+a).ln(x+b)] = ln(x+a).ln(x+b) + C[/tex]

 

[hunggary]

2 câu còn lại của anh Tuấn :
[TEX] I_5= \int (1 - \frac{1}{x^2}) . \sqrt{x. \sqrt{x}}dx [/TEX]

[TEX] I_{11}= \int sinx.sin(x+y)dx[/TEX]
Và đây là 2 câu của tui nữa :
[TEX]I = \int\limits_{0}^{\pi}cos^nx . cosnxdx[/TEX]

[TEX]I = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^nx . sinnxdx[/TEX]
>->->->->-

 

[vivietnam]

Câu 1;tính tích phân

a,[TEX]I_5=\int (1-\frac{1}{x^2}).\sqrt{x.\sqrt{x}}dx[/TEX]

g,[TEX]I_{11}=\int sinx.sin(x+y)dx[/TEX]

[TEX]I_5=\int (1-x^{-2}).x^{\frac{3}{4}}dx=\int (x^{\frac{3}{4}}-x^{\frac{-5}{4}})dx=\frac{x^{\frac{7}{4}}}{\frac{7}{4}}-\frac{x^{\frac{-1}{4}}}{\frac{-1}{4}}+C[/TEX]

[TEX]I_{11}=\frac{1}{2}\int [cosy-cos(2x+y)]dx=\frac{1}{2} (\frac{sin(2x+y)}{2}-x.cosy)+C[/TEX]

 

[keosuabeo_93]

[tex]\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{sin^3x}[/tex]