[Chuyên đề]PT, HPT,BPT : mũ,logarit

[quyenuy0241]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
Là phần luôn có mặt trong các cuộc thi từ tốt nghiệp đến thi đại học, olympic và học sinh giỏi, vì vậy mìnhng nghĩ cần phải lập ra topic này để cùng nhau thảo luận về chuyên đề này để tạo ra một topic có ích cho các thành viên tham gia pic.
Mong mọi người cùng hợp tác vui vẻ và có ích. Cảm ơn các bạn !
[tex]Thank [/tex]

Ai bóc tem đầu tiên đây????

 

[quyenuy0241]

Chẳng ai ngó nghiêng thế để mình post bài đầu tiên nhá.

GPT:

1.[tex]4^{cot^2x}+2^{\frac{1}{sin^2x}}-3=0 [/tex]


2.

[tex](\sqrt{2-\sqrt{3}})^x+(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x=4 [/tex]

 

[vivietnam]

Chẳng ai ngó nghiêng thế để mình post bài đầu tiên nhá.

GPT:

1.[tex]4^{cot^2x}+2^{\frac{1}{sin^2x}}-3=0 [/tex]


2.

[tex](\sqrt{2-\sqrt{3}})^x+(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x=4 [/tex]

để mình mở màn trước
1,ta có vì [TEX]cot^2x+1=\frac{1}{sin^2x}[/TEX]
nên đặt [TEX]cot^2x=t (t\geq0) [/TEX] phương trình thành
[TEX]4^t+2.^{t+1}-3=0[/TEX]
đặt [TEX]2^t=y (y \geq1)[/TEX] phương trình [TEX]y^2+2.y-3[/TEX]
phương trình này có 1 nghiệm dương là 1
\Rightarrow[TEX]2^t=1[/TEX] \Rightarrowt=0\Rightarrow.............
2, nhận thấy [TEX] (\sqrt{ 2-\sqrt{3}}).(\sqrt{2+\sqrt{3}})=1 [/TEX]
nên đặt [TEX](\sqrt{2-\sqrt{3}}) ^x=t (t >0)[/TEX]
ta có phương trình thành [TEX]t +\frac{1}{t} =4[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] t^2-4t+1=0[/TEX]
đến đây chắc là được

 

[quyenuy0241]

Tiếp nhá

GPT:
[tex]2.4^{x^2+1}+6^{x^2+1}=9^{x^2+1} [/tex]

 

[tiger3323551]

pt <=> với
[tex]2(\frac{2}{3})^{2(x^2+1)}+(\frac{2}{3})^{x^2+1}=1[/tex]
mình đóng góp 1 bài
[tex]2^{x^2}=3^{x-1}[/tex]

 

[kimxakiem2507]

[TEX]log_{2+\sqrt2}(\sqrt{x^2+3}-x).log_{2-\sqrt2}(\sqrt{x^2+3}+x)=log_2(\sqrt{x^2+3}-x)[/TEX]

 

[vivietnam]

pt <=> với
[tex]2(\frac{2}{3})^{2(x^2+1)}+(\frac{2}{3})^{x^2+1}=1[/tex]
mình đóng góp 1 bài
[tex]2^{x^2}=3^{x-1}[/tex]

không biết làm thế này có đúng không

logarit cơ số 2 cả 2 vế ta có
[TEX]x^2=(x-1).log_23[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2-x.log_23+log_23=0[/TEX]
đến đây chắc là đã ổn rồi

 

[silvery21]

gpt : [TEX]log_2( 3 log_2( 3x-1))= x[/TEX]

 

[vivietnam]

[TEX]log_{2+\sqrt2}(\sqrt{x^2+3}-x).log_{2-\sqrt2}(\sqrt{x^2+3}+x)=log_2(\sqrt{x^2+3}-x)[/TEX]

[TEX]log_{2-\sqrt{2}}(\sqrt{x^2+3}+x)=\frac{log_{2}(\sqrt{x^2+3}-x)}{log_{2+\sqrt{2}}(\sqrt{x^2+3}-x)}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]log_{2-\sqrt{2}}(\sqrt{x^2+3}+x)=log_{2}(2+\sqrt{2})[/TEX]
đến đây chắc là đã ổn

mình xin góp 1 bài
giải phương trình
[TEX]x^2=2^x[/TEX]

 

[liverpool1]

[TEX] mình xin góp 1 bài giải phương trình [TEX]x^2=2^x[/TEX]

[TEX] x^2=2^x ; x \neq 0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]log_{2}x^2=x [/TEX]
\Rightarrow [TEX]2log_{2}\left|x \right| =x[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\left|x \right|= {\sqrt{2}}^{x}[/TEX]
\Rightarrow x=2 hoặc x=4

 

[vivietnam]

[TEX] x^2=2^x ; x \neq 0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]log_{2}x^2=x [/TEX]
\Rightarrow [TEX]2log_{2}\left|x \right| =x[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\left|x \right|= {\sqrt{2}}^{x}[/TEX]
\Rightarrow x=2 hoặc x=4

mình làm thế này DK x>0
[TEX]x^2=2^x[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2.log_2x=x[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2.log_2x-x=0[/TEX]
xét hàm số y=[TEX]2log_2x-x [/TEX] trên x>0
ta có y'=[TEX]\frac{2}{x.ln2}-1=\frac{2-x.ln2}{x.ln2}[/TEX]
y'=0 \Leftrightarrowx=[TEX]\frac{2}{ln2}[/TEX]
từ đó lập bẳng biến thiên
ta thấy 0<x< [TEX]\frac{2}{ln2}[/TEX]
và [TEX]\frac{2}{ln2}[/TEX] <x
thì hàm đơn điẹu trên mỗi khoảng nên ta có 2 nghiệm là 2 và 4 ứng với mỗi khoảng đơn điệu

 

[kimxakiem2507]

[TEX]log_{2-\sqrt{2}}(\sqrt{x^2+3}+x)=\frac{log_{2}(\sqrt{x^2+3}-x)}{log_{2+\sqrt{2}}(\sqrt{x^2+3}-x)}[/TEX]
[TEX]log_{2-\sqrt{2}}(\sqrt{x^2+3}+x)=log_{2}(2+\sqrt{2})[/TEX]
đến đây chắc là đã ổn

mình xin góp 1 bài
giải phương trình
[TEX]x^2=2^x[/TEX]

Giải như vậy là knockout ngay nha em,cẩn thận một xíu nha,Kết quả quan trọng của bài toán đã bị em bỏ qua rồi

 

[quyenuy0241]

gpt : [TEX]log_2( 3 log_2( 3x-1)-1)= x[/TEX]

DK: [tex]x \ge \frac{1}{3}[/tex]

[tex]Dat.y= log_2(3x-1) \Rightarrow 2^y=3x-1[/tex]

Có hệ :

[tex]\left{\begin{2^y=3x-1 \\ 2^x=3y-1 [/tex]

Trừ vế [tex]2^x+3x=2^y+3y [/tex]

Xét :[tex]f(t)=2^t+3t \\ f'(t)=2^t.ln2+3 >0 [/tex]

[tex]\Rightarrow N_o -duy-nha^t": x=y [/tex]

[tex]2^x=3x-1 (1)[/tex]

[tex]Xet": g(a)=2^a-3a+1 \\ g'(t)=2^a ln 2-3 \\ g'(t)=0 \Leftrightarrow a_o=log_23-log_7ln7[/tex]

H/s đb trên [tex](-\infty, a_o).Nb / (a_o ,+\infty)[/tex]

Nên (1) không có quá 2 nghiệm

dễ nhận thấy [tex]\left[x=0 \\ x=1 [/tex]

Nên PT ban đầu có 2 nghiệm [tex]x=1 \\ x=2 [/tex]

 

[vivietnam]

DK: [tex]x \ge \frac{1}{3}[/tex]

[tex]Dat.y= log_2(3x-1) \Rightarrow 2^y=3x-1[/tex]

Có hệ :

[tex]\left{\begin{2^y=3x-1 \\ 2^x=3y-1 [/tex]

mong bạn xem lại chỗ phương trình 2
làm sao lại là [TEX]2^x=3y-1[/TEX] được chứ
chỉ bằng [TEX]2^x=3y[/TEX] thôi chứ

 

[phong71]

[tex]Xet": g(a)=2^a-3a+1 \\ g'(t)=2^a ln 2-3 \\ g'(t)=0 \Leftrightarrow a_o=log_23-log_7ln7[/tex]...............fải xét g'' thì hay hơn

H/s đb trên [tex](-\infty, a_o).Nb / (a_o ,+\infty)[/tex]

Nên (1) không có quá 2 nghiệm

dễ nhận thấy [tex]\left[x=0 \\ x=1 [/tex]....x=0 có đúng đâu ạ

Nên PT ban đầu có 2 nghiệm [tex]x=1 \\ x=2 [/tex]

nhận xét.........như bạn bên trên nói nữa

 

[keosuabeo_93]

1.[TEX]5^x.8^(\frac{x-1}{x})=500[/TEX]

2.[TEX]8^(\frac{x}{x+2})=4.3^(4-x)[/TEX]

 

[quyenuy0241]

1.[TEX]5^x.8^(\frac{x-1}{x})=500[/TEX]

2.[TEX]8^(\frac{x}{x+2})=4.3^(4-x)[/TEX]

1. Viết lại như sau:

[tex]5^x.2^{\frac{3(x-1)}{x}}=5^3.2^2 \Leftrightarrow 5^{x-3}.2^{\frac{x-3}{x}}=1[/tex]

Lấy log cơ số 2 ,2 vế :

[tex] log_2(5^{x-3})+log_2(2^{\frac{x-3}{x}})=0 [/tex]

[tex]\Leftrightarrow (x-3)log_25+\frac{x-3}{x}log_22=0 [/tex]

[tex]\left{\log_25+\frac{1}{x}=0 \Leftrightarrow x=-log_52 \\ x=3 [/tex]

 

[713075]

1,[TEX]log_{2006-x}{(log_{2006-x}{x})}=log_{x}{[log_{x}{(2006-x)}]}{[/TEX]

2,giải hệ
[TEX]y^{1-\frac{2}{5}log_{x}{y}}=x^{2/5}[/TEX]

[TEX]1+log_{x}{(1-\frac{3x}{y})}=log_{x}{4}[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

1,[TEX]log_{2006-x}{(log_{2006-x}{x})}=log_{x}{[log_{x}{(2006-x)}]}{[/TEX]

2,giải hệ
[TEX]y^{1-\frac{2}{5}log_{x}{y}}=x^{2/5}[/TEX]

[TEX]1+log_{x}{(1-\frac{3x}{y})}=log_{x}{4}[/TEX]

[TEX]1/DK:\left{0<x\neq1\\0<2006-x\neq1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{0<x<2006\\x\neq1\\x\neq{2005}[/TEX][TEX]\ \ (1)[/TEX]
[TEX]pt\Rightarrow{log_{2006-x}{(log_{2006-x}{x})}=log_{x}{[log_{x}{(2006-x)}]}=t[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{{log_x{(2006-x)}=x^t>0\Leftrightarrow{log_{2006-x}x=x^{-t}}}\\log_{2006-x}x^{-t}=t[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow{\left{{log_x{(2006-x)}=x^t\\{\left[t=0\\log_x(2006-x)=-1}[/TEX][TEX]\ \ \Rightarrow{log_x(2006-x)=1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{x=1003\ \ (2)[/TEX]
[TEX](1)(2)\Rightarrow{pt\Leftrightarrow{x=1003[/TEX]

[TEX]2/\left{y^{1-\frac{2}{5}log_{x}{y}}=x^{2/5}\\1+log_{x}{(1-\frac{3x}{y})}=log_{x}{4}[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{(1-\frac{2}{5}log_{x}{y})log_xy=\frac{2}{5}\\log_x{ \frac{4y}{y-3x}}=1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{\frac{4y}{y-3x}=x\\{\left[log_xy=2\\log_xy=\frac{1}{2}}[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{3x^2-xy+4y=0\\0<x\neq1\\{\left[y=x^2\\y=\sqrt{x}}[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{x=7\\y=49[/TEX]

Ở đây hệ phương trình là tương đương nhau.Nếu không nắm chắc nguyên lý thì nên đặt điều kiện ngay từ đầu.
[TEX]+log_2x=a \Leftrightarrow{x=2^a>0[/TEX]
[TEX]+\frac{1}{x}=2\Leftrightarrow{x=\frac{1}{2}\neq0[/TEX]
[TEX]+[/TEX]trong quá trình biến đổi nếu phương trình vẫn còn chứa [TEX]\sqrt{x[/TEX][TEX]\ \ ,log_ab[/TEX] thì khi nào phá bỏ mới đặt điều kiện,không nhất thiết phải đặt từ đầu
[TEX]+log_2x+log_2y=log_2(xy) [/TEX]nếu một trong hai đại lượng [TEX]x,y>0[/TEX] thì cũng không cần đặt điều kiện nếu chưa phá bỏ mất [TEX]log[/TEX]

 

[quyenuy0241]

GHPT:

1.[tex]\left{\begin{2(x-y)^2+(2x-1)^2=3y(x-1)+x \\ \frac{x-y}{3}= ln(x+2)-ln(y+2) [/tex]

2.[tex]\left{x-y=xy(ln2009y-ln2009x) \\2.9^x-3^{y+1}+1=0 [/tex]