Toán 10 [Chuyên đề] Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

[pntnt]

Bài 22: (theo yêu cầu của số đông con gái) trong mp tọa độ cho điểm M(1;2), viết pt đường thẳng qa M, cắt trục hoành và tung tại 2 điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. (bài này khó)

 

[duoisam117]

Bài 20: Lập pt đg thẳng (d) qua O tạo vs 2 đg thẳng:
(d1): x-y+12=0
(d2):2x+y+9=0
một tg có S=3/2

Cái bài này ko có ý tưởng ji` hay ho hết trơn
Đang định làm theo cách này
Nhưng xác xuất thành công >"<
Chia 2 TH:
TH1:
Giả sử (d1) qua O và ko có hệ số góc ---> x=0
A=(d) giao (d1) <=> tọa độ A
C=(d) giao (d2) <=> tọa độ C
BH=d_(B;d)=...
TH2: d qua O có hệ số góc y=ax
tg tự như TH1 giải tiếp
nhưng số cứ thế nào ý
Nhưng cách giải cũng thấy hợp lý :|

 

[doigiaythuytinh]

Bài 22: (theo yêu cầu của số đông con gái) trong mp tọa độ cho điểm M(1;2), viết pt đường thẳng qa M, cắt trục hoành và tung tại 2 điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. (bài này khó)

Giả sử [TEX]A(a;0)[/TEX], [TEX]B(0.b)[/TEX] (a,b>0)
Pt(d) dạng :
[TEX]\frac{1}{x}[/TEX] [TEX]+[/TEX] [TEX]\frac{2}{b}[/TEX] =[TEX]1[/TEX]

Vì [TEX]M(1;2)[/TEX] thuộc [TEX](d)[/TEX] nên :
[TEX]\frac{1}{2}[/TEX] .[TEX]OA.OB[/TEX] = 1/2 . [TEX]|a|.|b|[/TEX] = [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] [TEX]ab[/TEX]
Dùng AM-GM:
[TEX]\frac{1}{x}[/TEX] [TEX]+[/TEX] [TEX]\frac{2}{b}[/TEX] \geq.....[TEX]ab[/TEX] \leq [TEX]8[/TEX]

Dầu "=" của Cauchy.....

 

[duoisam117]

Bài 22: (theo yêu cầu của số đông con gái) trong mp tọa độ cho điểm M(1;2), viết pt đường thẳng qa M, cắt trục hoành và tung tại 2 điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. (bài này khó)

Có thể nâng thành tổng quát như sau:

Trong mp tọa độ cho điểm M(a;b) vs a>0, b>0. Viết pt đường thẳng qua M, cắt trục hoành và tung tại 2 điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.

[TEX]pt. AB: \frac{x}{x_0}+\frac{b}{y_0}=1\\M\in AB\Rightarrow\frac{x}{x_0}+\frac{b}{y_0}=1\\ S_{OAB}= \frac {OB.OB}{2}= \frac{1}{2}x_0y_0 \\ Ta... co': 1= \frac{x}{x_0}+\frac{b}{y_0}\geq2 sqrt{\frac{ab}{x_0y_0}} \\ \Rightarrow x_0y_0 \geq 4ab \\ S_{OAB}=\frac{x_0y_0}{2}\geq\frac{1}{2}4ab=2ab\\ Dau... "="... xay... ra \Leftrightarrow\frac{x}{x_0}+\frac{b}{y_0}=\frac12... hay... co'... the... viet... la`: \left\{ \begin{array}{l} x_0=2a \\ y_0=2b \end{array} \right. [/TEX]

pt đg thẳng cần tìm:

[TEX]\frac{x}{2a}+\frac{y}{2b}=1[/TEX]

 

[pntnt]

Trong mp tọa độ cho điểm M(a;b) vs a>0, b>0

Giả sử A(a;0), B(0.b) (a,b>0)

các bạn nữ nên xem kĩ đề bài(nhất là cụm từ đc underline) : A,B chạy trên 2 trục chứ ko phải 2 tia Ox,Oy đâu! do đó mà các bạn ko thể ép tọa độ nó dương để AM-GM thỏai mái như thế đc.
Bài này tui cũng ... :|

 

[doigiaythuytinh]

Cái bài này ko có ý tưởng ji` hay ho hết trơn
Đang định làm theo cách này
Nhưng xác xuất thành công >"<
Chia 2 TH:
TH1:
Giả sử (d1) qua O và ko có hệ số góc ---> x=0
A=(d) giao (d1) <=> tọa độ A
C=(d) giao (d2) <=> tọa độ C
BH=d_(B;d)=...
TH2: d qua O có hệ số góc y=ax
tg tự như TH1 giải tiếp
nhưng số cứ thế nào ý
Nhưng cách giải cũng thấy hợp lý :|

Đã thử cách của duoisam
Nhưng mà không ra + cách dài + khá rắc rối

 

[quyenuy0241]

Bài 20: Lập pt đg thẳng (d) qua O tạo vs 2 đg thẳng:
(d1): x-y+12=0
(d2):2x+y+9=0
một tg có S=3/2

........................................................................................................................
Giải bình thường thui:
gọi (d):y=kx
[tex]d \bigcap_{}^{} d_1 \Rightarrow \left{\begin{x_A=\frac{12}{k-1} \\ y_A= \frac{12k}{k-1}[/tex]
[tex]d \bigcap_{}^{} d_2 \Rightarrow \left{\begin{x_B=\frac{-9}{k+2} \\ y_B=\frac{-9k}{k+2}[/tex]

[tex]AB=3\sqrt{\frac{(-7k-5)^2.(k^2+1)}{[(k-1)(k-2)]^2}}[/tex]

[tex]C=d_1 \bigcap_{}^{} d_2 \Rightarrow C(-7,5)[/tex]
[tex]d_{C/AB}=\frac{|-7x-5|}{\sqrt{k^2+1}}[/tex]

[tex]S=\frac{1}{2}.d_{c/AB}.AB=\frac{3}{2}.\frac{(7k+5)^2}{|(k-1)(k-2)|}=\frac{3}{2}[/tex]

Dẫn tới:

[tex]\left[\begin{49k^2+70k+25 = k^2+k-2 (Vo--n_o) \\ 49k^2+70k+25=-k^2-k+2 [/tex] [tex] \Rightarrow \left[\begin{k=\frac{-1}{2} \\k=\frac{-23}{25}[/tex]

Suy ra d có thể là [tex]2y+x=0 <--or--> 25x+23y=0[/tex]

 

[duoisam117]

Bài: Cho đg tròn [TEX](C): x^2+y^2=1[/TEX] và họ đg tròn [TEX](C_m): x^2+y^2-2(m+1)x+4my=5[/TEX]

a) CMR hai đg tròn [TEX](C_{m1})\&\(C_{m2})[/TEX] tiếp xúc vs (C) tg ứng vs hai giá trị [TEX]m_1 \&\ m_2[/TEX] của m.

b) XĐ pt các đg thẳng tiếp xúc vs [TEX](C_{m1})\&`\(C_{m2})[/TEX]

Hỏi cái đã "họ đg tròn" là gì dzậy :-?
Mới đầu tg sai chính tả nhưng từ này lặp đi lặp lại nhìu lần nên.... hỏi

 

[duynhan1]

Bài: Cho đg tròn [TEX](C): x^2+y^2=1[/TEX] và họ đg tròn [TEX](C_m): x^2+y^2-2(m+1)x+4my=5[/TEX]

a) CMR hai đg tròn [TEX](C_{m1})\&\(C_{m2})[/TEX] tiếp xúc vs (C) tg ứng vs hai giá trị [TEX]m_1 \&\ m_2[/TEX] của m.

b) XĐ pt các đg thẳng tiếp xúc vs [TEX](C_{m1})\&`\(C_{m2})[/TEX]

Hỏi cái đã "họ đg tròn" là gì dzậy :-?
Mới đầu tg sai chính tả nhưng từ này lặp đi lặp lại nhìu lần nên.... hỏi

ĐỊnh không làm mấy dạng này, nhưng các bạn làm sối nỗi quá nên vào đóng góp chút.

TA có : [TEX](C): x^2+y^2=1[/TEX] có tâm là gốc tọa độ [TEX]O(0;0)[/TEX] và bán kính R=1
Họ đường tròn [TEX](C_m): x^2+y^2-2(m+1)x+4my=5 [/TEX] có tâm [TEX]I_m(m+1;-2m)[/TEX] và bán kính [TEX]R_m=\sqrt{5m^2+2m+6}[/TEX]
Ta có : [TEX]OI_m = \sqrt{5m^2+2m+1}[/TEX]
[TEX]R+R_m=1+\sqrt{5m^2+2m+6}[/TEX]
Đường tròn (C) và họ đường tròn [tex](C_m)[/tex] tiếp xúc nhau
[TEX]\Leftrightarrow OI_m=R+R_m[/TEX]
Đặt [TEX]t=\sqrt{5m^2+2m+1}[/TEX], dễ dàng giải tìm được m.
&gt;- Chắc có 2 giá trị &gt;-
b)Phương trình đường thẳng [TEX]\Delta[/TEX] tiếp xúc với [TEX](C_{m1}) & C_{m2}[/TEX] là đường thẳng song song với [TEX]I_{m1}I_{m2}[/TEX] và có [TEX]d({I_{m1}/ \Delta}) = R_{m1}[/TEX]
Từ đó dễ dàng tìm được phương trình đường thẳng [TEX]\Delta[/TEX]
&gt;- Nói là dễ dàng nhưng trong quá tình giải rất dễ sai sót nên mình ko giải &gt;-

 

[pntnt]

........................................................................................................................
Giải bình thường thui:
gọi (d):y=kx

cái này ko gọi là bình thường được! vì nếu d mà cùng phương Oy là cả đống sau "thăng thiên" luôn! Nếu bạn làm theo hệ số góc thì tốt nhất nên xét 2 TH cùng phương và ko cùng phương Oy, như vậy thì bài tóan sẽ chặt chẽ hơn. Nhưng mà dùng hệ số góc thì ko thông dụng lắm ở lớp 10 nói riêng và thpt nói chung

 

[tomboy94]

Pt đường thẳng

Một câu trong đề kiểm tra :
Xác định [TEX]m[/TEX] để khoảng cách từ điểm [TEX]A(3;1)[/TEX] đến đường thẳng:
[TEX](d)[/TEX] : [TEX]x+(m-1)y+m=0[/TEX]
là lớn nhất.
Tìm giá trị lớn nhất đó

 

[doigiaythuytinh]

chém nhẹ

Một câu trong đề kiểm tra :
Xác định [TEX]m[/TEX] để khoảng cách từ điểm [TEX]A(3;1)[/TEX] đến đường thẳng:
[TEX](d)[/TEX] : [TEX]x+(m-1)y+m=0[/TEX]
là lớn nhất.
Tìm giá trị lớn nhất đó

Nhận xét: Các đường thẳng [TEX](1)[/TEX] luôn đi qua điểm [TEX]M(-1.-1)[/TEX] \forall[TEX]m[/TEX].
Giả sử [TEX](d)[/TEX] là một đường thẳng đi qua [TEX]M[/TEX]. Hạ [TEX]AH vuông (d)[/TEX].
Nhận thấy :[TEX]AH\leqAM[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi [TEX]H[/TEX] trùng [TEX]P[/TEX]
Tức là [TEX](d)[/TEX] vuông góc với [TEX]AP[/TEX]
Khi đó, PVT [TEX]vec n[/TEX] [TEX](1;m-1)[/TEX] của [TEX](d)[/TEX] cùng phương với [TEX]MA(4;2)[/TEX] nên : [TEX]\frac{1}{4} = \frac{m-1}{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]4(m-1)=2[/TEX]
\Rightarrow[TEX]m=\frac{3}{2}[/TEX]
Thay giá trị của [TEX]m[/TEX] vào pt đường thẳng
\Rightarrow Khoảng cách: [TEX]=....= 2\sqrt{5}[/TEX]

 

[duoisam117]

Bài: Tìm điểm A thuộc trục hoành và B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng nhau qua đg thẳng (d) có pt: x-2y+3=0
Ko tìm đc bài khó >"<

 

[quyenuy0241]

Một câu trong đề kiểm tra :
Xác định [TEX]m[/TEX] để khoảng cách từ điểm [TEX]A(3;1)[/TEX] đến đường thẳng:
[TEX](d)[/TEX] : [TEX]x+(m-1)y+m=0[/TEX]
là lớn nhất.
Tìm giá trị lớn nhất đó

Cách khác của doigiaythuytinh
[tex]d_{A/d}=P=\frac{|2m+2|}{\sqrt{(m-1)^2+1}}[/tex]
[tex]P^2.(m^2-2m+2)=4m^2+8m+4 \Leftrightarrow m^2(4-P^2)+2m(P^2+4)+4-2P^2=0[/tex]
[tex]\Delta '= (4+P^2)^2-(4-2P^2)(4-P^2)=16+8P^2+P^4-(16-12P^2+2P^4)=-P^4+20P^2 \ge 0[/tex]
[tex]Max P=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \Leftrightarrow m=\frac{3}{2}[/tex]

 

[balep]

Bài: Tìm điểm A thuộc trục hoành và B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng nhau qua đg thẳng (d) có pt: x-2y+3=0
Ko tìm đc bài khó >"<

Xem thử có đúng không nha
Ta có A,B đối xứng nhau qua đường thẳng (d) suy ra khoảng cách của chúng bằng nhau
Ta lại có vtpt của (d) là n(1,-2) nó cùng phương với AB(-xA,yB)
suy ra [TEX]\frac{1}{-xA}=\frac{-2}{yB} [/TEX]
Từ đó ta sẽ tính được tọa độ A,B
|-)|-)|-)|-)|-)

 

[doigiaythuytinh]

Bài hình học thuần túy nhưng có thể sử dụng pp tọa độ

Trích từ Toán học tuổi trẻCho góc vuông [TEX]xOy[/TEX] và hai điểm [TEX]A,C[/TEX] chuyển động theo thứ tự trên [TEX]Ox,Oy[/TEX] sao cho [TEX]OA+OC=b[/TEX] ([TEX]b[/TEX] là độ dài cho trước). Gọi [TEX]B[/TEX] là đỉnh của hình chữ nhật [TEX]OABC[/TEX]. Chứng minh rằng đường thẳng [TEX](d)[/TEX] qua [TEX]B[/TEX], vuông góc với đường thẳng [TEX]AC[/TEX] luôn đi qua một điểm cố định

 

[duynhan1]

Bài hình học thuần túy nhưng có thể sử dụng pp tọa độ

Trích từ Toán học tuổi trẻCho góc vuông [TEX]xOy[/TEX] và hai điểm [TEX]A,C[/TEX] chuyển động theo thứ tự trên [TEX]Ox,Oy[/TEX] sao cho [TEX]OA+OC=b[/TEX] ([TEX]b[/TEX] là độ dài cho trước). Gọi [TEX]B[/TEX] là đỉnh của hình chữ nhật [TEX]OABC[/TEX]. Chứng minh rằng đường thẳng [TEX](d)[/TEX] qua [TEX]B[/TEX], vuông góc với đường thẳng [TEX]AC[/TEX] luôn đi qua một điểm cố định

Ta có: [TEX]\vec{AC}=(-a;c)[/TEX] với [TEX]a+c=b[/TEX]
Gọi [TEX]M(m;n)[/TEX] là điểm cố định cần tìm.
Phương trình đường thẳng [TEX]\Delta[/TEX] qua B vuông góc với AC:
[TEX] -a(x-a)+c(y-c)=0 [/TEX]
Đường thẳng [TEX]\Delta[/TEX] luôn qua M
[TEX]\Leftrightarrow-am + cn + b(a-c)=0 \forall a,c \in R \ a+c=b[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a(b-m) + c(n-b) = 0 \forall a,c \in R \ a+c=b[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\left{ \begin{m=b}\\{n=b}[/TEX]
Vậy điểm cố định cần tìm là [TEX]M(b;b)[/TEX]

 

[duoisam117]

Bài mấy :-?
Cho tg ABC có đg cao CH: 2x+y+3=0, đg p/g trog AD: x-y=0. Cạnh AC qua M(0;-1) và AB=2AM. Viết pt các cạnh của tg.

 

[duoisam117]

Cho tg ABC có đg cao CH: 2x+y+3=0, đg p/g trog AD: x-y=0. Cạnh AC qua M(0;-1) và AB=2AM. Viết pt các cạnh của tg.

Sao không ai làm hết trơn, sao tui post bài mới đc
Tui làm thử :|

AD nhận vt n1=... là vtpt.
AB nhận vt n2=... là vtpt.
AC nhận vt n3=... là vtpt.
Vì AD là đg p/g trong của tam giác ABC:
cos(AB;AD)=cos(AD;AC)
Có vtpt của AC nhờ điểm M thuộc AC tìm đc pt AC

A=AD giao AC --> tọa độ A
Pt AB qua A và có CH vgóc AB --> Pt AB

C=CH giao AC ---> tọa độ C
Dựa vào dữ kiện AB=2AM để tìm tọa độ B có tọa độ B và C ---> Pt BC

Có vẻ hơi rắc rối chỗ đg p/g nhỉ :-?

 

[pntnt]

Sao không ai làm hết trơn, sao tui post bài mới đc
Tui làm thử :|

AD nhận vt n1=... là vtpt.
AB nhận vt n2=... là vtpt.
AC nhận vt n3=... là vtpt.
Vì AD là đg p/g trong của tam giác ABC:
cos(AB;AD)=cos(AD;AC)
Có vtpt của AC nhờ điểm M thuộc AC tìm đc pt AC

Có vẻ hơi rắc rối chỗ đg p/g nhỉ :-?

xử lý khá kém !!

ta lấy N đối xứng M qa AD, hiển nhiên có N thuộc AB, tìm đc tọa độ N (dễ như ăn mì Quảng )
Mà AM=AN (đx) suy ra: AB=2AM=2AN hay N là trung điểm AB
tới đây thì làm gì mà chẳng ra kq được