<Vòng I> Sàn đấu toán học

Vòng I ​

Sàn đấu toán học ​

​

​

Vòng I dc tổ chức dưới hình thức một sàn đấu toán học. Thách đấu - Giải toán
Lần lượt từng người chơi sẽ thách đấu với một bài toán đưa ra, ai giải được thì người đó tiếp tục thách đấu mọi người một bài khác. Lưu ý cần có sự đồng ý bài giải đã đúng từ người ra đề

​

Cách thức tính điểm:
Giải đúng một bài thách đấu: +20đ
Ra bài thách đấu nhưng ko ai giải dc +20đ (trường hợp người đó ko chịu post bài thách đấu theo đúng luật sẽ k đc điểm)

Lưu ý:
Mỗi thí sinh chỉ dc tối đa 100đ ở vòng I nên chỉ dc trả lời tối đa 5 bài thách đấu
Mỗi câu hỏi sẽ dc tính thời gian trả lời là 2 ngày, sau 2 ngày nếu ko ai giải sẽ post đáp án
Sau khi post bài giải đúng phải post bài thách đấu tiếp theo sau 12h. Nếu không BGK (là t ^^) sẽ tiếp tục ra bài

​

Để được điểm số cao nhất mọi người nhớ ra bài cho khó nha . Tớ xin phép sẽ là người thách đấu đầu tiên:
Nào mọi người cố lên:
Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c = 6. Chứng minh BĐT

[TEX] 8^a+8^b+8^c \geq 4^{a+1} + 4^{b+1} + 4^{c+1}[/TEX]

p/s: sau 2-3 ngày ko có ai giải thì tớ sẽ dc 20đ )[/COLOR]

Vui lòng không spam nơi này.​

 

[TEX]8^a+8^a+64 \geq 3\sqrt[3]{{2}^{6a}.2^6} = 3.{4}^{a+1}[/TEX]
[TEX]TT : 2\sum 8^a+64.3 \geq 3.\sum {4}^{a+1}[/TEX]
Mặt khác : [TEX]\sum {4}^{a+1} \geq 3\sqrt[3]{{4}^{a+b+c+3}} = 3.64[/TEX]
[TEX]\rightarrow 2\sum 8^a+\sum {4}^{a+1} \geq 3.\sum {4}^{a+1}[/TEX][TEX][/tex][TEX] [/TEX]
[TEX]\rightarrow dpcm[/TEX]

 

A Quân ko chịu post bài tiếp theo sao :-w
E post cho nó đúng tiến độ vậy
Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} + ... + \frac{100}{3^{101}} < \frac{1}{4}[/TEX]

 

Đặt [TEX]A=\frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} + ... + \frac{100}{3^{101}} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3A=\frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + ... + \frac{100}{3^{100}} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2A=\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^{100}}+\frac{100}{3^{101}} [/TEX]
[TEX]\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^{100}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2.3^{100}} < \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2A< \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]

 

Giải phương trình với m là tham số

try...............

 

m=0, m=1 => pt đều có 2 nghiệm là 0 và 1
m#0;1 thì pt ko có nghiệm x=0(cái này c/m =phản chứng)
Ta c/m đc nếu a là nghiệm của pt thì 1-a và 1/a cũng là nghiệm của pt. Thật vậy!
Nếu a là nghiệm của pt thì
[TEX](m^2-m)^2(a^2-a+1)^3=(m^2-m+1)^3(a^2-a)^2[/TEX] (*)
\Leftrightarrow (m^2-m)^2((1-a)^2-(1-a)+1)^3=(m^2-m+1)^3((1-a)^2-(1-a))^2
\Rightarrow1-a là nghiệm của pt
tương tự (chia cả 2 vế của (*) cho a^6) ta đc 1/a là nghiệm của pt
theo c/m trên a là nghiệm của pt thì 1-a và 1/a cũng là nghiệm của pt
\Rightarrow 1-(1/a), 1/(1-a); 1-(1/(1-a)) cũng là các nghiệm của pt
pt có bậc 6 nên có nhiều nhất 6 nghiệm
vậy x=m là nghiệm của pt
Do đó pt có các nghiệm m, 1/m, 1-m, 1-(1/m), 1/(1-m), 1-(1/(1-m))

 

đúng rồi......................start...........................................

 

a, b, c>0; abc=1
c/m [TEX]\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c}[/TEX]

 

Dài !
có
\frac{a}{(ab+a+1)^2} = {a.c^2}{a^2.(b+1+bc)^2}
\frac{b}{(bc+b+1)^2} = {a^2.c^2.b}{
@-)

 

Sai..................................................................

 

[TEX]Ta co: \\
ab+a+1=ab+a+abc=a(bc+b+1)=a(bc+b+abc)=ab(ac+a+1) \\ \Rightarrow \frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c} {(ca+c+1)^2} \\ =\frac{a}{a^2.b^2.(ac+c+1)^2}+\frac{b}{b^2(ac+a+1) ^2}+ \frac{c}{(ac+c+1)^2} \\ =\frac{1+ab+ab^2.c}{ab^2(ac+c+1)^2}=\frac{a+ac+1}{ab(ac+c+1)^2}=\frac{b}{bc+b+1}=\frac{1}{ac+a+1}[/TEX]

Tiếp:
Áp dụng BĐT co sin ta cm được ac+a+1 [TEX]\leq[/TEX] a+b+c [TEX]\Rightarrow[/TEX]đpcm(cái này tự chừgs minh,dài!)

[

 

mấy chỗ biến đổi ở trên bị sai
với lại bạn nói rõ cái bc c/m ac+a+1\leqa+b+c đc ko

 

đọc lời giải này trong đề thi vào lớp 10 chuyên ĐH KHTN HN 2007-2008

 

************kg nhận ra sai ở đâu cả.chỉ rõ cái***************

 

Vì lý do thời gian tớ xin thay mặt bạn hell_angel_97 ra bài thách đấu tiếp theo. Các mem chưa có điểm vui lòng vào xem ạ :M045:

Chứng minh rằng trong hệ thập phân tồn tại một số tự nhiên có n chữ số chia hết cho [TEX]2^n[/TEX] mà khi viết chỉ dùng các chữ số 1 và 2.

 

có nhầm ko nhỉ
lấy luôn số 12( có 2c/s, chia hết cho 2^2, gồm các c/s 1 và 2)

Đó đó bạn Chứng minh luôn tồn tại với mọi n chứ không chỉ n = 2

 

Giải theo phương pháp quy nạp toán học:
Với n=1 số 2 thoả mãn đế bài. Giả sử tồn tại một số A có n chữ số chỉ gồm các chữ số 1 và 2 và số đó chia hế cho [TEX]2^n[/TEX]. Ta chứng minh tồn tại một số B có n+1 chữ số chỉ gồm các chữ số 1 và 2 và chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX]
- Nếu A chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX] thì chọn [TEX]B= \overline{2A}[/TEX]
- Nếu A không chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX] thì chọn [TEX]B=\overline{1A}[/TEX]


Yêu cầu bạn làm thêm một bước nữa mới công nhận là đúng
Sao ko ai tks ta bắt đền (

 

Giải bước nào nữa hả bạn?????????, giải thế là đầy đủ rùi còn bắt bẻ cái gì nữa.
Nếu có bổ sung chỗ nào thì xin cảm tạ

 

Yêu cầu bạn bổ sung thêm 1 bước c/m số mới tạo thành chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX]

K fải gì nhưng như thế mới đầy đủ
Và y/c bạn nhanh chóng post bài tiếp theo

 

-Nếu A chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX] thì ta chọn:
[TEX]B=\overline{2A}=2.10^n+A=2^{n+1}.5^n+A[/TEX]
[TEX]2^{n+1}.5^n \vdots 2^{n+1}[/TEX]
[TEX]A \vdots 2^{n+1}[/TEX] (theo giả thiết đã cho)
-Nếu A không chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX] thì ta chọn:
[TEX]B= \overline{1A}=10^n+A=2^n[5^n+c ][/TEX] Với c là một số lẻ
giải thích tí: Ta có [TEX]A \vdots 2^n[/TEX](giả thiết quy nạp) và A không chia hết cho[TEX]2^{n+1}[/TEX] nên khi chia A cho [TEX]2^n[/TEX] được thương là một số lẻ.
Mặt khác ta có [TEX]5^n[/TEX] cũng là số lẻ. Lẻ+Lẻ=chẵn \Rightarrow [TEX][5^n+c] \vdots 2[/TEX] \Rightarrow [TEX]2^n[5^n+c] \vdots 2^{n+1}[/TEX]
\Rightarrow dpcm
p/s: Tuyết ơi cho một lời để còn ra đề. hjhj

ok come on +20đ