<Vòng I> Sàn đấu toán học

[hoa_giot_tuyet]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Vòng I

Sàn đấu toán học

​

​

​

Vòng I dc tổ chức dưới hình thức một sàn đấu toán học. Thách đấu - Giải toán
Lần lượt từng người chơi sẽ thách đấu với một bài toán đưa ra, ai giải được thì người đó tiếp tục thách đấu mọi người một bài khác. Lưu ý cần có sự đồng ý bài giải đã đúng từ người ra đề

​

Cách thức tính điểm:
Giải đúng một bài thách đấu: +20đ
Ra bài thách đấu nhưng ko ai giải dc +20đ (trường hợp người đó ko chịu post bài thách đấu theo đúng luật sẽ k đc điểm)

Lưu ý:

Mỗi thí sinh chỉ dc tối đa 100đ ở vòng I nên chỉ dc trả lời tối đa 5 bài thách đấu

Mỗi câu hỏi sẽ dc tính thời gian trả lời là 2 ngày, sau 2 ngày nếu ko ai giải sẽ post đáp án

Sau khi post bài giải đúng phải post bài thách đấu tiếp theo sau 12h. Nếu không BGK (là t ^^) sẽ tiếp tục ra bài

​

Để được điểm số cao nhất mọi người nhớ ra bài cho khó nha . Tớ xin phép sẽ là người thách đấu đầu tiên:
Nào mọi người cố lên:
Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c = 6. Chứng minh BĐT

[TEX] 8^a+8^b+8^c \geq 4^{a+1} + 4^{b+1} + 4^{c+1}[/TEX]

p/s: sau 2-3 ngày ko có ai giải thì tớ sẽ dc 20đ )[/COLOR]

Vui lòng không spam nơi này.​

 

[quan8d]

Khác với những cuộc thi khác, ở cuộc thi này vòng I và vòng II sẽ cùng khởi hành cũng lúc. Vì thế bạn nhớ tham gia cả 2 cái nhé

Vòng II dc tổ chức dưới hình thức một sàn đấu toán học. Thách đấu - Giải toán
Lần lượt từng người chơi sẽ thách đấu với một bài toán đưa ra, ai giải được thì người đó tiếp tục thách đấu mọi người một bài khác. Lưu ý cần có sự đồng ý bài giải đã đúng từ người ra đề

Cách thức tính điểm:
Giải đúng một bài thách đấu: +20đ
Ra bài thách đấu nhưng ko ai giải dc +20đ

Để được điểm số cao nhất mọi người nhớ ra bài cho khó nha . Tớ xin phép sẽ là người thách đấu đầu tiên:
Nào mọi người cố lên:
Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c = 6. Chứng minh BĐT

[TEX] 8^a+8^b+8^c \geq 4^{a+1} + 4^{b+1} + 4^{c+1}[/TEX]

p/s: sau 2-3 ngày ko có ai giải thì tớ sẽ dc 20đ )[/COLOR]

[TEX]8^a+8^a+64 \geq 3\sqrt[3]{{2}^{6a}.2^6} = 3.{4}^{a+1}[/TEX]
[TEX]TT : 2\sum 8^a+64.3 \geq 3.\sum {4}^{a+1}[/TEX]
Mặt khác : [TEX]\sum {4}^{a+1} \geq 3\sqrt[3]{{4}^{a+b+c+3}} = 3.64[/TEX]
[TEX]\rightarrow 2\sum 8^a+\sum {4}^{a+1} \geq 3.\sum {4}^{a+1}[/FONT][/SIZE] [/TEX]
[TEX]\rightarrow dpcm[/TEX]

 

[hoa_giot_tuyet]

A Quân ko chịu post bài tiếp theo sao :-w
E post cho nó đúng tiến độ vậy
Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} + ... + \frac{100}{3^{101}} < \frac{1}{4}[/TEX]

 

[hell_angel_1997]

A Quân ko chịu post bài tiếp theo sao :-w
E post cho nó đúng tiến độ vậy
Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} + ... + \frac{100}{3^{101}} < \frac{1}{4}[/TEX]

Đặt [TEX]A=\frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} + ... + \frac{100}{3^{101}} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3A=\frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + ... + \frac{100}{3^{100}} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2A=\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^{100}}+\frac{100}{3^{101}} [/TEX]
[TEX]\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^{100}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2.3^{100}} < \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2A< \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]

Nguyên văn bởi hoa_giot_tuyet
Ok m làm tốt ùi +20đ ra đề típ đi

 

[hell_angel_1997]

Giải phương trình với m là tham số

[TEX](m^2-m)^2. (x^2-x+1)^3= (m^2-m+1)^3.(x^2-x)^2[/TEX]

try...............

 

[ththbode]

Giải phương trình với m là tham số
try...............

m=0, m=1 => pt đều có 2 nghiệm là 0 và 1
m#0;1 thì pt ko có nghiệm x=0(cái này c/m =phản chứng)
Ta c/m đc nếu a là nghiệm của pt thì 1-a và 1/a cũng là nghiệm của pt. Thật vậy!
Nếu a là nghiệm của pt thì
[TEX](m^2-m)^2(a^2-a+1)^3=(m^2-m+1)^3(a^2-a)^2[/TEX] (*)
\Leftrightarrow (m^2-m)^2((1-a)^2-(1-a)+1)^3=(m^2-m+1)^3((1-a)^2-(1-a))^2
\Rightarrow1-a là nghiệm của pt
tương tự (chia cả 2 vế của (*) cho a^6) ta đc 1/a là nghiệm của pt
theo c/m trên a là nghiệm của pt thì 1-a và 1/a cũng là nghiệm của pt
\Rightarrow 1-(1/a), 1/(1-a); 1-(1/(1-a)) cũng là các nghiệm của pt
pt có bậc 6 nên có nhiều nhất 6 nghiệm
vậy x=m là nghiệm của pt
Do đó pt có các nghiệm m, 1/m, 1-m, 1-(1/m), 1/(1-m), 1-(1/(1-m))

Theo đúng luật bạn ththbode cần được sự đồng ý của bạn hell_angel_97 là bài giải đã đúng mới được cộng 20đ và tiếp tục ra đề. Bạn hell_angel_97 onl thì vào cho ý kiến nhé

 

[hell_angel_1997]

m=0, m=1 => pt đều có 2 nghiệm là 0 và 1
m#0;1 thì pt ko có nghiệm x=0(cái này c/m =phản chứng)
Ta c/m đc nếu a là nghiệm của pt thì 1-a và 1/a cũng là nghiệm của pt. Thật vậy!
Nếu a là nghiệm của pt thì
[TEX](m^2-m)^2(a^2-a+1)^3=(m^2-m+1)^3(a^2-a)^2[/TEX] (*)
\Leftrightarrow (m^2-m)^2((1-a)^2-(1-a)+1)^3=(m^2-m+1)^3((1-a)^2-(1-a))^2
\Rightarrow1-a là nghiệm của pt
tương tự (chia cả 2 vế của (*) cho a^6) ta đc 1/a là nghiệm của pt
theo c/m trên a là nghiệm của pt thì 1-a và 1/a cũng là nghiệm của pt
\Rightarrow 1-(1/a), 1/(1-a); 1-(1/(1-a)) cũng là các nghiệm của pt
pt có bậc 6 nên có nhiều nhất 6 nghiệm
vậy x=m là nghiệm của pt
Do đó pt có các nghiệm m, 1/m, 1-m, 1-(1/m), 1/(1-m), 1-(1/(1-m))

đúng rồi......................start...........................................

Nguyên văn bởi hoa_giot_tuyet
Để đảm bảo tiến trình của cuộc thi sau 6tiếng nếu bạn ththbode ko có bài thách đấu sẽ không được tính điểm

 

[ththbode]

a, b, c>0; abc=1
c/m [TEX]\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c}[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

a, b, c>0; abc=1
c/m [TEX]\frac{a}{(ab+a+1)^2} +\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c}[/TEX]

Dài !
có
\frac{a}{(ab+a+1)^2} = {a.c^2}{a^2.(b+1+bc)^2}
\frac{b}{(bc+b+1)^2} = {a^2.c^2.b}{
@-)

Chú ý bài ko gõ tex sẽ bị loại yêu cầu bạn vào sửa )

 

[conangbuongbinh_97]

Dài !
cóDài !
có
\frac{a}{(ab+a+1)^2} = {a.c^2}{a^2.(b+1+bc)^2}
\frac{b}{(bc+b+1)^2} = {a^2.c^2.b}{

Sai..................................................................

[TEX]\frac{a}{(ab+a+1)^2}=\frac{a.c^2}{a^2.(b+1+bc)^2}[/TEX]
****************************?????????????//////////

 

[conangbuongbinh_97]

a, b, c>0; abc=1
c/m [TEX]\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c}[/TEX]

[TEX]Ta co: \\ ab+a+1=ab+a+abc=a(bc+b+1)=a(bc+b+abc)=ab(ac+a+1) \\ \Rightarrow \frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c} {(ca+c+1)^2} \\ =\frac{a}{a^2.b^2.(ac+c+1)^2}+\frac{b}{b^2(ac+a+1) ^2}+ \frac{c}{(ac+c+1)^2} \\ =\frac{1+ab+ab^2.c}{ab^2(ac+c+1)^2}=\frac{a+ac+1}{ab(ac+c+1)^2}=\frac{b}{bc+b+1}=\frac{1}{ac+a+1}[/TEX]

Cái này kg chắc lắm nhung cũng làm cái xem sao

Tiếp:
Áp dụng BĐT co sin ta cm được ac+a+1 [TEX]\leq[/TEX] a+b+c [TEX]\Rightarrow[/TEX]đpcm(cái này tự chừgs minh,dài!)

[

Bạn ththbode vào xem đúng hay sai, sau khi xác nhận bài làm đúng bạn congangbuongbinh_97 ra đề nhé, ra đề muộn là ko tính đâu đấy )

 

[ththbode]

[TEX]Ta co: \\[/TEX][TEX] [B]ab+a+1=ab+a+abc=a(bc+b+1)=a(bc+b+abc)=ab(ac+a+1) \\ \Rightarrow \frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c} {(ca+c+1)^2} \\ =\frac{a}{a^2.b^2.(ac+c+1)^2}+\frac{b}{b^2(ac+a+1) ^2}+ \frac{c}{(ac+c+1)^2} \\ =\frac{1+ab+ab^2.c}{ab^2(ac+c+1)^2}=\frac{a+ac+1}{ab(ac+c+1)^2}=\frac{b}{bc+b+1}=\frac{1}{ac+a+1}[/B][/TEX]

Tiếp:
Áp dụng BĐT co sin ta cm được ac+a+1 [TEX]\leq[/TEX] a+b+c [TEX]\Rightarrow[/TEX]đpcm(cái này tự chừgs minh,dài!)

[

mấy chỗ biến đổi ở trên bị sai
với lại bạn nói rõ cái bc c/m ac+a+1\leqa+b+c đc ko

 

[hell_angel_1997]

a, b, c>0; abc=1
c/m [TEX]\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c}[/TEX]

gt [TEX]\Rightarrow \frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=1[/TEX]
Bu-nhi-a-cốp-xki [TEX]\Rightarrow (a+b+c)(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}) \geq (x+y+z)^2[/TEX] (*)
[TEX]\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c}[/TEX]
[TEX]= \frac{( \frac{a}{ab+a+1})^2}{a}+\frac{( \frac{b}{bc+b+1})^2}{b}+\frac{( \frac{c}{ca+c+1})^2}{c}[/TEX]
[TEX]\geq \frac{( \frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1})^2}{a+b+c}[/TEX] áp dụng (*)
[TEX]=\frac{1}{a+b+c}[/TEX]

đọc lời giải này trong đề thi vào lớp 10 chuyên ĐH KHTN HN 2007-2008

 

[conangbuongbinh_97]

mấy chỗ biến đổi ở trên bị sai
với lại bạn nói rõ cái bc c/m ac+a+1\leqa+b+c đc ko

************kg nhận ra sai ở đâu cả.chỉ rõ cái***************

Nguyên văn bởi hoa_giot_tuyet
[TEX]ab+a+1=ab+a+abc=a(bc+b+1)=a(bc+b+abc)=ab(ac+a+1)[/TEX]
Bước này bạn đã biến đổi sai bc+b+abc = b(ac+c+1) chứ
Bài này còn có một cách biến đổi khác là đặt [TEX]a = \frac{x}{y}, b = \frac{y}{z}, c= \frac{z}{x}[/TEX]
Do đó bạn hell angel được cộng thêm 20đ. Bạn hell tiếp tục ra đề sớm nhé

 

[hoa_giot_tuyet]

Vì lý do thời gian tớ xin thay mặt bạn hell_angel_97 ra bài thách đấu tiếp theo. Các mem chưa có điểm vui lòng vào xem ạ :M045:

Chứng minh rằng trong hệ thập phân tồn tại một số tự nhiên có n chữ số chia hết cho [TEX]2^n[/TEX] mà khi viết chỉ dùng các chữ số 1 và 2.

 

[ththbode]

Vì lý do thời gian tớ xin thay mặt bạn hell_angel_97 ra bài thách đấu tiếp theo. Các mem chưa có điểm vui lòng vào xem ạ :M045:

Chứng minh rằng trong hệ thập phân tồn tại một số tự nhiên có n chữ số chia hết cho [TEX]2^n[/TEX] mà khi viết chỉ dùng các chữ số 1 và 2.

có nhầm ko nhỉ
lấy luôn số 12( có 2c/s, chia hết cho 2^2, gồm các c/s 1 và 2)

Đó đó bạn Chứng minh luôn tồn tại với mọi n chứ không chỉ n = 2

 

[quynhnhung81]

Vì lý do thời gian tớ xin thay mặt bạn hell_angel_97 ra bài thách đấu tiếp theo. Các mem chưa có điểm vui lòng vào xem ạ :M045:

Chứng minh rằng trong hệ thập phân tồn tại một số tự nhiên có n chữ số chia hết cho [TEX]2^n[/TEX] mà khi viết chỉ dùng các chữ số 1 và 2.

Giải theo phương pháp quy nạp toán học:
Với n=1 số 2 thoả mãn đế bài. Giả sử tồn tại một số A có n chữ số chỉ gồm các chữ số 1 và 2 và số đó chia hế cho [TEX]2^n[/TEX]. Ta chứng minh tồn tại một số B có n+1 chữ số chỉ gồm các chữ số 1 và 2 và chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX]
- Nếu A chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX] thì chọn [TEX]B= \overline{2A}[/TEX]
- Nếu A không chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX] thì chọn [TEX]B=\overline{1A}[/TEX]


Yêu cầu bạn làm thêm một bước nữa mới công nhận là đúng
Sao ko ai tks ta bắt đền (

 

[quynhnhung81]

Giải theo phương pháp quy nạp toán học:
Với n=1 số 2 thoả mãn đế bài. Giả sử tồn tại một số A có n chữ số chỉ gồm các chữ số 1 và 2 và số đó chia hế cho [TEX]2^n[/TEX]. Ta chứng minh tồn tại một số B có n+1 chữ số chỉ gồm các chữ số 1 và 2 và chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX]
- Nếu A chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX] thì chọn [TEX]B= \overline{2A}[/TEX]
- Nếu A không chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX] thì chọn [TEX]B=\overline{1A}[/TEX]


Yêu cầu bạn làm thêm một bước nữa mới công nhận là đúng
Sao ko ai tks ta bắt đền (

Giải bước nào nữa hả bạn?????????, giải thế là đầy đủ rùi còn bắt bẻ cái gì nữa.
Nếu có bổ sung chỗ nào thì xin cảm tạ

 

[hoa_giot_tuyet]

Giải bước nào nữa hả bạn?????????, giải thế là đầy đủ rùi còn bắt bẻ cái gì nữa.
Nếu có bổ sung chỗ nào thì xin cảm tạ

Yêu cầu bạn bổ sung thêm 1 bước c/m số mới tạo thành chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX]

K fải gì nhưng như thế mới đầy đủ
Và y/c bạn nhanh chóng post bài tiếp theo

 

[quynhnhung81]

Yêu cầu bạn bổ sung thêm 1 bước c/m số mới tạo thành chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX]

K fải gì nhưng như thế mới đầy đủ
Và y/c bạn nhanh chóng post bài tiếp theo

-Nếu A chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX] thì ta chọn:
[TEX]B=\overline{2A}=2.10^n+A=2^{n+1}.5^n+A[/TEX]
[TEX]2^{n+1}.5^n \vdots 2^{n+1}[/TEX]
[TEX]A \vdots 2^{n+1}[/TEX] (theo giả thiết đã cho)
-Nếu A không chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX] thì ta chọn:
[TEX]B= \overline{1A}=10^n+A=2^n[5^n+c ][/TEX] Với c là một số lẻ
giải thích tí: Ta có [TEX]A \vdots 2^n[/TEX](giả thiết quy nạp) và A không chia hết cho[TEX]2^{n+1}[/TEX] nên khi chia A cho [TEX]2^n[/TEX] được thương là một số lẻ.
Mặt khác ta có [TEX]5^n[/TEX] cũng là số lẻ. Lẻ+Lẻ=chẵn \Rightarrow [TEX][5^n+c] \vdots 2[/TEX] \Rightarrow [TEX]2^n[5^n+c] \vdots 2^{n+1}[/TEX]
\Rightarrow dpcm
p/s: Tuyết ơi cho một lời để còn ra đề. hjhj

ok come on +20đ