[Tổng hợp ] Cấp số cộng, cấp số nhân

[lovelycat_handoi95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Để tiện cho việc theo dõi cũng như post bài không bị trùng lại .Mình lập ra pic này để tập hợp các bài liên quan đến cấp số

_Chúc pic ta hoạt động thật sôi nổi, nhiệt tình nhé.

Trước tiên xem qua cái này đã Nội quy hoặc Nội quy

@: không spam nhé !
Bắt đầu nhỉ ,

 

[lovelycat_handoi95]

Bài 1: cho 3 số a,b,c theo thứ tự là 1 cấp số nhân .Chứng minh rằng :

[TEX](\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) (\sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{b})=a+b+c[/TEX]

Bài 2: Cho 2 phương trình

[TEX]x^2+a-3x=0 (1) \\ x^2-12x+b=0(2) [/TEX]

biết[TEX] x_1,x_2[/TEX] là nhiệm phương trình (1) ,[TEX] x_3,x_4[/TEX] là nhiệm phương trình (2)

4 số [TEX]x_1,x_2, x_3,x_4[/TEX] lập thành 1 cấp số nhân.Tìm a,b

Bài 3: Cho 1 cấp số cộng (U_n) biết

[TEX]U_2+U_4=10 \\ U_1+U_3+U_5=-21[/TEX]

Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng

 

[l94]

Bài 4:Cho phương trình
[tex]x^3+ax+b=0[/tex]
Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của a,b để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.

 

[l94]

Bài 3: Cho 1 cấp số cộng (U_n) biết

[TEX]U_2+U_4=10 \\ U_1+U_3+U_5=-21[/TEX]

Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng

[tex]2u_1+4d=10[/tex]
[tex]3u_1+6d=-21[/tex]
giải hệ)........................

 

[rua_it]

Bài 4:Cho phương trình
[tex]x^3+ax+b=0[/tex]
Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của a,b để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.

[tex]\mathrm{\text{Gia su phuong trinh co 3 nghiem } x_1 < \ x_2 <\ x_3 [/tex]
[tex]\mathrm{x_1x_2x_3=-b \\ x_1x_3=x_2^2 \ (2) \\ \Rightarrow x_2=\sqrt[3]{-b} \ (1) \\ -b+b+a.\sqrt[3]{-b}=0 [/tex]

[tex]+\ \mathrm{a=0 \ x^3+b=0 \ \text{1 nghiem (Loai)} \\ b=0 \ (1) \Rightarrow x_2 = 0 \\ (2) \Rightarrow x_1x_3 =0 \Rightarrow \exists \text{ nghiem kep x=0} \ (Loai)[/tex]

 

[lovelycat_handoi95]

Bài 4:Cho phương trình
[tex]x^3+ax+b=0[/tex]
Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của a,b để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.

Giả sử tồn tại 3 số [TEX]x_1,x_2,x_3[/TEX] là 3 nhiệm phân biệt của phương trình lần lượt theo thứ tự là 1 cấp số nhân

[TEX]\Rightarrow x_2^2 = x_1.x_3 (1)[/TEX]

vì [TEX]x_1,x_2,x_3[/TEX] là 3 nhiệm phân biệt của phương trình nên

[TEX]x^2+ax+b=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) = x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)x - x_1x_2x_3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left {x_1+x_2+x_3=0(2)\\ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=a(3)\\ x_1x_2x_3=-b (4)[/TEX]

Thay (1) vào (3) ta có [TEX]x_2(x_1+x_2+x_3)=a (5) [/TEX]

Từ [TEX](2) ;(5) \Rightarrow a=0 [/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow x^3=-b [/TEX]

Phương trình này không thể có 3 nhiệm phân biệt mâu thuẫn

\Rightarrow không tồn tại

 

[lovelycat_handoi95]

Có một số bài toán khá tổng quát sau, )

Bài 5: CMR ba số a,b,c thuộc 1 cấp số cộng khi và chỉ khi tồn tại [TEX]p,q,r \in Z^*[/TEX] sao cho:

Bài 6: CMR ba số a,b,c thuộc 1 cấp số nhân khi và chỉ khi tồn tại [TEX]p,q,r \in Z^*[/TEX] sao cho:

 

[ngocthao1995]

Bài 7:
1 bài dễ)
Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như sau : hàng 1 trồng 1 cây,hàng 2 trồng 2 cây...Hỏi có bao nhiêu hàng

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

có một số bài toán khá tổng quát sau, )

bài 5: Cmr ba số a,b,c thuộc 1 cấp số cộng khi và chỉ khi tồn tại [tex]p,q,r \in z^*[/tex] sao cho:

... .

giả sử a,b,c là số hạng thứ k+1,n+1,m+1 của một cấp số cộng có số hạng đầu [tex]u_1[/tex],công sai d.

Ta có hệ:

[tex]\left{a=u_1+kd\\b=u_1+nd\\c=u_1+md\right.\\ \rightarrow b-a=(n-k)d \rightarrow d=\frac{b-a}{n-k}[/tex]

[tex]u_1=a-kd=a-\frac{b-a}{n-k}k=\frac{an-kb}{n-k}\\ \rightarrow c=\frac{an-kb}{n-k}+m\frac{b-a}{n-k}.k \\ \rightarrow c(n-k)=a(n-m)+b(m-k)\\ \rightarrow a(n-m)+b(m-k)+c(k-n)=0[/tex]

[tex]dat:\left{p=n-m\\q=m-k\\r=k-n\right. \rightarrow \left{ap+qb+rc=0\\ p+q+r=0\right. \ vs\ p,q,r \in z[/tex]

đảo lại,giả sử tồn tại các số nguyên p,q,r sao cho a,b,c thoả mãn:

[tex] \left{ap+qb+rc=0\\ p+q+r=0\right. [/tex]

không mất tính tổng quát,giả sử : [tex]a\geq b \geq c[/tex]

ta có:

[tex]q=-(p+r)\rightarrow pa-b(p+r)+rc=0\rightarrow p(a-b)=r(b-c)[/tex]

[tex]\rightarrow p.r>0, gia\ su: P,r>0[/tex]

[tex]dat: D=\frac{a-b}{r}\rightarrow \frac{b-c}{p}=d\rightarrow a-b=rd,b-c=pd\\ hay: B=c+pd\ and\ a=b+rd=c+(p+r)d[/tex]

\rightarrow a,b,c thuộc csc có [tex]u_1=c,d=\frac{a-b}{r}[/tex]

với [tex]b=u_{p+1},a=u_{p+r+1}[/tex] \rightarrow đpcm

end.

.

 

[lovelycat_handoi95]

Bài 7:
1 bài dễ)
Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như sau : hàng 1 trồng 1 cây,hàng 2 trồng 2 cây...Hỏi có bao nhiêu hàng

Ta gọi số hàng cây là: n
Thì ta có số cây sẽ là:

[TEX]1 + 2 + 3 +......+ n-1 + n = \frac{n(n+1)}{2} [/TEX]
Ta có :

[TEX]\frac{ n(n+1)}{2}= 3003[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow n^2 + n - 6006 = 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \left[n= 77\\ n= -78(loai)[/TEX]

Vậy ta chọn số hàng cây là 77

 

[buimaihuong]

Bài 8:Bài này làm thế nào hả các bạn

Tìm [TEX]u_n[/TEX] tổng quát nếu biết

[TEX]\left{\begin{u_1 +u_2+u_3 = 168}\\{u_4 + u_5 +u_6 = 21} [/TEX]

bài nữa:

[TEX]\left{\begin{u_1 -u_3+u_5 = 65}\\{u_1 + u_7 = 325} [/TEX]

cho tớ cách giải tổng quát những bài như thế này!

Lần sau cậu ghi rõ bài bao nhiêu nhá ^^

 

[l94]

Bài này làm thế nào hả các bạn

Tìm [TEX]u_n[/TEX] tổng quát nếu biết

[TEX]\left{\begin{u_1 +u_2+u_3 = 168}\\{u_4 + u_5 +u_6 = 21} [/TEX]

bài nữa:

[TEX]\left{\begin{u_1 -u_3+u_5 = 65}\\{u_1 + u_7 = 325} [/TEX]

cho tớ cách giải tổng quát những bài như thế này!

mấy dạng này bạn biến thành hệ phương trình 2 ẩn u1 và d thôi
ví dụ [tex]u_1+u_7=u_1+u_1+6d=325[/tex]

 

[heartrock_159]

Bài này làm thế nào hả các bạn

Tìm [TEX]u_n[/TEX] tổng quát nếu biết

[TEX]\left{\begin{u_1 +u_2+u_3 = 168}\\{u_4 + u_5 +u_6 = 21} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \{3u_1 + 3d = 168 \\ 3u_1 + 12d = 21[/TEX]

bài nữa:

[TEX]\left{\begin{u_1 -u_3+u_5 = 65}\\{u_1 + u_7 = 325} [/TEX]

cho tớ cách giải tổng quát những bài như thế này!

[TEX]\Leftrightarrow \{ u_1 + 2d = 65 \\ 2u_1 + 6d = 325[/TEX]

Ổn chưa bạn ?

 

[nuhoangbongdem95]

Bài 9: Một cấp số nhân có tính chất là 1 dẫy tăng có công bội là q .Tìm 5 số hạng đầu biết

[TEX]U_1U_2U_3= \frac{1}{27} \\ \frac{1}{U_1}+ \frac{1}{U_2}+\frac{1}{U_3}=13[/TEX]

Bài 10: Tìm csc có 11 số hạng biết tổng các số là 176,hiệu các số hạng cuối và số hạng đầu là 30

Bài 11: 4 số biết 3 số đầu lập thành 1 CSN 3 số cuối lập thành 1 cấp số cộng .Tổng số đầu và số cuối là 14,tổng 2 số còn lại là 12

Bài 12: Viết 6 số xen giữa số -1 và 2187 để được 1 cấp số nhân có 8 số hạng .Tính tổng các số hạng của cấp số này

Bài 13: Viết 5 số xen giữa số -3 và -129 để được 1 cấp số nhân có 7 số hạng .Tính tổng các số hạng của cấp số này

 

[test19]

Bài 9: Một cấp số nhân có tính chất là 1 dẫy tăng có công bội là q .Tìm 5 số hạng đầu biết

[TEX]U_1U_2U_3= \frac{1}{27} \\ \frac{1}{U_1}+ \frac{1}{U_2}+\frac{1}{U_3}=13[/TEX]

[TEX]U1 = 1[/TEX], [TEX]q=1/3[/TEX]

..........................................................................

 

[ngocthao1995]

Bài 9: Một cấp số nhân có tính chất là 1 dẫy tăng có công bội là q .Tìm 5 số hạng đầu biết

[TEX]U_1U_2U_3= \frac{1}{27} \\ \frac{1}{U_1}+ \frac{1}{U_2}+\frac{1}{U_3}=13[/TEX]

[TEX]\left{\begin{u1.u1q.u1q^2=\frac{1}{27}}\\{\frac{1}{u1}+\frac{1}{u1q}+\frac{1}{u1q^2}=13(2)} [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow u1q=\frac{1}{3} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow u1=\frac{1}{3q}[/TEX]

Thay vào [TEX](2) [/TEX]ta được : [TEX]3q^2-10q+3=0[/TEX]

[TEX]\left[\begin{q=3}\\{q=\frac{1}{3}} [/TEX]

--> [TEX]u1[/TEX] --> dãy số

Bài 10: Tìm csc có 11 số hạng biết tổng các số là 176,hiệu các số hạng cuối và số hạng đầu là 30

Theo bài ra ta có

[TEX]\left{\begin{u1+u2+u3+u4+u5+u6+u7+u8+u9+u{10}+u{11}=176}\\{u{11}-u1=30} [/TEX]

[TEX]\left{\begin{11u1+54d=176}\\{10d=30} [/TEX]

[TEX]\left{\begin{u1=\frac{14}{11}}\\{d=3} [/TEX]

--> Dãy số...

 

[lovelycat_handoi95]

Bài 11: 4 số biết 3 số đầu lập thành 1 CSN 3 số cuối lập thành 1 cấp số cộng .Tổng số đầu và số cuối là 14,tổng 2 số còn lại là 12

Gọi 4 số cần tìm là : a,b,c,d

Ta có :

[TEX] \blue {ac=b^2 (1) \\ d+b=2c (2) \\ a+d=14 (3) \\ c+b=12 \Rightarrow c= 12-b (4)[/TEX]

Thay 4 vào 2 ta được [TEX] \blue { d+ b= 2(12-b) \Leftrightarrow d = 24 - 3b(5) [/TEX]

Thay (5) vào (3) ta có

[TEX] \blue{ a = 3b- 10 (6) [/TEX]

Thay (4);(6) vào (1) ta được :

[TEX] \blue{ (3b-10)(12-b)=b^2 \\ \Leftrightarrow \left { b=4 \\ b= \frac{15}{2}[/TEX]

Thay vào trên sẽ tìm được a,c,d

 

[buimaihuong]

các bạn ơi mình nhầm bài mình post là với u(n_ là cấp số nhân

 

[hothithuyduong]

các bạn ơi mình nhầm bài mình post là với u(n_ là cấp số nhân

Bài 8:Bài này làm thế nào hả các bạn

Tìm [TEX]u_n[/TEX] tổng quát nếu biết

[TEX]\left{\begin{u_1 +u_2+u_3 = 168}\\{u_4 + u_5 +u_6 = 21} [/TEX]

[TEX]\rightarrow \left{\begin{u_1 + u_1q + u_1q^2 = 168}\\{u_1q^3 + u_1q^4 + u_1q^5 = 21[/TEX]

[TEX]\rightarrow \left{\begin{u_1(1 + q + q^2) = 168 (1)}\\{u_1(q^3 + q^4 + q^5) = 21 (2)[/TEX]
Lấy (1) chia (2) ta có: [TEX]\frac{1 + q + q^2}{q^3 + q^4 + q^5} = 8[/TEX]

[TEX]\rightarrow 8q^3 = 1 \rightarrow q = \pm \frac{1}{2} [/TEX]

[TEX]q = \frac{1}{2} \rightarrow u_1 = 96 \rightarrow u_n = 96.\frac{1}{2}^{n-1}[/TEX]

[TEX]q = \frac{-1}{2} \rightarrow u_1 = 224 \rightarrow u_n = 224.\frac{1}{2}^{n-1}[/TEX]

Bài còn lại tương tự

 

[hothithuyduong]

Bài 12: Viết 6 số xen giữa số -1 và 2187 để được 1 cấp số nhân có 8 số hạng .Tính tổng các số hạng của cấp số này

[TEX]\rightarrow \left{\begin{u_1 = -1}\\{u_8 = 2187} \leftrightarrow \left{\begin{u_1 = -1}\\{u_1.q^7 = 2187}[/TEX]

[TEX]\rightarrow q^7 = -2187 \leftrightarrow q = -3[/TEX]

[TEX]\rightarrow u_2 = 3 ; u_3 = -9; u_4 = 27; u_5 = -81; u_6 = 243; u_7 = -729 [/TEX]

[TEX]S_8 = \frac{u_1.(1 - q^8)}{1 - q} = \frac{-1.(1 - (-3)^8}{1 - (-3)} = 1640[/TEX]

Bài 13 tương tự