2, cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2 \le 4$.
Chứng minh rằng:
$P=\dfrac{ab+1}{(a+b)^2}+\dfrac{bc+1}{(b+c)^2}+
\dfrac{ac+1}{(c+a)^2} \ge 3$
Từ điều kiện đề bài có
$$ 4 \ge 2 \left( a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \right) $$
Hay là
$$ 2 \ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$$
Để ý là
$$ \frac{ab+1}{\left( a+b \right)^2 } =\frac{2ab+2}{2\left( a+b \right)^2 } \ge \frac{2ab+a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2 \left( a+b \right)^2 } = \frac{\left( a+b \right)^2 + \left( b+c \right) \left( c+a \right)}{2 \left( a+b \right)^2 } =\frac{1}{2} + \frac{\left( b+c \right) \left( c+a \right)}{2 \left( a+b \right)^2} $$
Như vậy
$$ P \ge \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\left( b+c \right) \left( c+a \right)}{ \left( a+b \right)^2} + \frac{\left( c+a \right) \left( a+b \right)}{ \left( b+c \right)^2} + \frac{\left( a+b\right) \left( b+c \right)}{ \left( c+a \right)^2}\right) \ge \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3 $$
Đó là điều cần chứng minh.