toán khó

[huradeli]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,giải phương trình: $x^2+2x\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=3x+1$
2, cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2$\leq4.
Chứng minh rằng:
$\dfrac{ab+1}{(a+b)^2}+\dfrac{bc+1}{(b+c)^2}+\dfrac{ac+1}{(c+a)^2}$\geq3

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Điều kiện: $|x| \ge 1$

Chia 2 vế cho $x$, chuyển vế: $x-\dfrac{1}{x}+2\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}-3=0$

Đặt $t=\sqrt{x-\dfrac{1}{x}} \ge 0$

$t^2+2t-3=0$

Và cho hỏi bài 2 chứng minh cái gì thế =))

 

[huradeli]

bạn làm luôn bài 2 đi. mình viết thiếu đề, mà cái phân số cuối sao nó cứ bị lỗi như thế, bạn thông cảm

 

[vuive_yeudoi]

2, cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2 \le 4$.
Chứng minh rằng:
$P=\dfrac{ab+1}{(a+b)^2}+\dfrac{bc+1}{(b+c)^2}+
\dfrac{ac+1}{(c+a)^2} \ge 3$

Từ điều kiện đề bài có
$$ 4 \ge 2 \left( a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \right) $$
Hay là
$$ 2 \ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$$
Để ý là
$$ \frac{ab+1}{\left( a+b \right)^2 } =\frac{2ab+2}{2\left( a+b \right)^2 } \ge \frac{2ab+a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2 \left( a+b \right)^2 } = \frac{\left( a+b \right)^2 + \left( b+c \right) \left( c+a \right)}{2 \left( a+b \right)^2 } =\frac{1}{2} + \frac{\left( b+c \right) \left( c+a \right)}{2 \left( a+b \right)^2} $$
Như vậy
$$ P \ge \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\left( b+c \right) \left( c+a \right)}{ \left( a+b \right)^2} + \frac{\left( c+a \right) \left( a+b \right)}{ \left( b+c \right)^2} + \frac{\left( a+b\right) \left( b+c \right)}{ \left( c+a \right)^2}\right) \ge \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3 $$
Đó là điều cần chứng minh.