Toán TOÁN CỰC TRỊ

[lengoctutb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh : $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1} \leq 2$ $($với $0 \leq a,b,c \leq 1)$

 

[trunghieule2807]

để mình giải cho đợi xíu

 

[trunghieule2807]

Mình chỉ chứng minh được nó nhỏ hơn 2 thôi:
[tex]0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow a-1\leq 0,b-1\leq 0,c-1\leq 0[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex](a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow ab-(a+b)+1\geq 0\Rightarrow ab+1\geq a+b\Rightarrow \frac{c}{ab+1}\leq \frac{c}{a+b}[/tex]
Chứng minh tương tự: [tex]\frac{a}{bc+1}\leq \frac{a}{b+c}[/tex],[tex]\frac{b}{ac+1}\leq \frac{b}{a+c}[/tex]
Ta có: [tex]\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}= \frac{2a}{a+b+c},\frac{b}{a+c}< \frac{b+b}{a+b+c}= \frac{2b,}{a+b+c},\frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}= \frac{2c}{a+b+c}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}< 2[/tex]
r107r107Nếu thấy thích thì cứ like nhér107r107

 

[lengoctutb]

Mình chỉ chứng minh được nó nhỏ hơn 2 thôi:
[tex]0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow a-1\leq 0,b-1\leq 0,c-1\leq 0[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex](a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow ab-(a+b)+1\geq 0\Rightarrow ab+1\geq a+b\Rightarrow \frac{c}{ab+1}\leq \frac{c}{a+b}[/tex]
Chứng minh tương tự: [tex]\frac{a}{bc+1}\leq \frac{a}{b+c}[/tex],[tex]\frac{b}{ac+1}\leq \frac{b}{a+c}[/tex]
Ta có: [tex]\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}= \frac{2a}{a+b+c},\frac{b}{a+c}< \frac{b+b}{a+b+c}= \frac{2b,}{a+b+c},\frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}= \frac{2c}{a+b+c}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}< 2[/tex]
r107r107Nếu thấy thích thì cứ like nhér107r107

Nhưng mình kiểm tra rồi đề là $\leq$ chứ không phải là $<$ ! Bạn thử suy nghĩ hướng khác xem sao !