[Toán 9] Số học : Phương trình nghiệm nguyên

[ohmymath]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình thấy Số học là 1 lĩnh vực rất hay và khó trong toán học. Các câu liên quan đến số học thường có trong các kì thi tuyển sinh và thuộc vào diện các câu khó!
Mặc dù vậy; sự quan tâm của các bạn trên box toán 9 với lĩnh vực này có vẻ khá lạnh nhạt.
Nhận thấy rất ít các pic được lập ra cho lĩnh vực này; nên mình quyết định lập 1 pic chuyên để thảo luận và trao đổi tài liệu về những vấn đề xoay quan số học.
Rất mong được mọi ngưởi ủng hộ Và mong rằng các bạn sẽ có thêm thật nhiều những kinh nghiệm thú vị ở đây

Pic này mình sẽ nghiêng nhiều hơn về dạng phương trình nghiệm nguyên . Vì số học quá bao la nên ko thẻ đề cập hết được. Và mình thấy giải pt nghiệm nguyên hay xuất hiện trong các kì thi nhất.

hiên tại ko biết do sao mà mình ko thể đăng tập đính kèm.Mong mọi người thông cảm. khi nào đăng được mình sẽ đăng+cập nhật! (nếu bạn nào có tài liệu thì đăng lên nhé )

Các bạn làm 1 số bài tập cho khỏe người nhá!! \\/

Đầu tiên là 1 số bài siêu dễ
I.Giải phương trình nghiệm nguyên:
a; 3x+4y=7
b; 9x+5y= 10
II.
a; xy-2x+y=8
b; xy-4x-5y=3
c; xyz-2xy-xz+yz+2x-2y-z=-1
III.
a; [TEX]3x^2+5y^2=345[/TEX]
b; x+y+z=xyz
c; [TEX](x+y)^2=(x+1)(y-1)[/TEX]
d; Tìm nghiệm nguyên tố : [TEX]x^y+1=z[/TEX]
e; [TEX]x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}=\frac{10}{7}[/TEX]

 

[viet_tranmaininh]

Đầu tiên là 1 số bài siêu dễ
I.Giải phương trình nghiệm nguyên:
a; 3x+4y=7
b; 9x+5y= 10
II.
a; xy-2x+y=8
b; xy-4x-5y=3
c; xyz-2xy-xz+yz+2x-2y-z=-1
III.
a; [TEX]3x^2+5y^2=345[/TEX]
b; x+y+z=xyz
c; [TEX](x+y)^2=(x+1)(y-1)[/TEX]
d; Tìm nghiệm nguyên tố : [TEX]x^y+1=z[/TEX]
e; [TEX]x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}=\frac{10}{7}[/TEX]

"Siêu dễ" nhưng cũng làm ủng hộ Ohmymath:
d; Tìm nghiệm nguyên tố : [TEX]x^y+1=z[/TEX]
Vì x,y nguyên tố nên x,y\geq2 \Rightarrowx \geq5
z nguyên tố lẻ nên [TEX]x^y [/TEX] là số chẵn \Rightarrow x =2 \Rightarrow [TEX]z= 2^y +1[/TEX]
Nếu y lẻ thì [TEX]2^y +1 [/TEX] chia hết cho 3, vô lý. Vậy y chẵn \Rightarrow y=2 \Rightarrow z=5
a; xy-2x+y=8
\Leftrightarrow (x +1)(y- 2)=6.......
b.tương tự
Bài 1:a; 3x+4y=7
[TEX]\Leftrightarrow x= 2- y+ \frac{1- y}{3}[/TEX]
Đặt 1-y= 3k ( k nguyên )
Thế vào giải x.
b. tương tự
Bài 2:c; xyz-2xy-xz+yz+2x-2y-z=-1
\Leftrightarrow (y-1)(xz- 2x +z -2)=1..........
b; x+y+z=xyz
bài này x, y, z có dương không cậu. Nếu có thì ta chia 2 vế cho xyz.
Già sử x \geqy \geqz >0...........
e; [TEX]x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}=\frac{10}{7}[/TEX]
Ta có [TEX]x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}=\frac{10}{7}= 1 +\frac{1}{2+\frac{1}{3}}[/COLOR][/SIZE][/FONT][FONT=Georgia][SIZE=3][COLOR=DarkSlateBlue] [/TEX]
Do cách phân tích trên là duy nhất . Nên tìm đc x, y, z.
P/s : ai đó chứng minh hộ mình cách phân tích bài này là duy nhất nhá ? Mình...............
c; [TEX](x+y)^2=(x+1)(y-1)[/TEX]
đưa về pt bậc 2 biến x hoặc y và [TEX] \Delta= k^2[/TEX]

 

[viet_tranmaininh]

Đóng góp thêm 1 số bài:
Bài 1; Tìm nghiệm tự nhiên x
[TEX]2^x +3^x =35[/TEX]
Bài 2:Tìm nghiệm nguyên pt:
a.[TEX]( x^2 +4y^2 +28)^2= 17(x^4 +y^4 +14y^2+49)[/TEX]
b. [TEX]y^3 -x^3= 3x[/TEX]
Bài 3:Tìm nghiệm tự nhiên:
[TEX]x^6 +z^3 -15x^2z= 3x^2y^2z -(y^2 +5)^3[/TEX]
P/s : không chỉ số học box lạnh nhạt đâu, cả hình nữa. Mình thấy sôi nổi có mỗi BĐT và PT hay nói cách khác là đại số.Mà Hình và số box chưa chú ý.

 

[ohmymath]

Đóng góp thêm 1 số bài:
Bài 1; Tìm nghiệm tự nhiên x
[TEX]2^x +3^x =35[/TEX]
Bài 2:Tìm nghiệm nguyên pt:
a.[TEX]( x^2 +4y^2 +28)^2= 17(x^4 +y^4 +14y^2+49)[/TEX]
b. [TEX]y^3 -x^3= 3x[/TEX]
Bài 3:Tìm nghiệm tự nhiên:
[TEX]x^6 +z^3 -15x^2z= 3x^2y^2z -(y^2 +5)^3[/TEX]
P/s : không chỉ số học box lạnh nhạt đâu, cả hình nữa. Mình thấy sôi nổi có mỗi BĐT và PT hay nói cách khác là đại số.Mà Hình và số box chưa chú ý.

Rất cảm ơn bạn đã tham gia
Mình chém mấy bài của bạn nhá:
Bài 1:
Thử x=0;1;2 ko thoả mãn
Với x=3 ~>OK
X>3 ~>VT>[TEX]2^3+3^3=35[/TEX] ~>ko thoả mãn
Vậy x=3
Bài 2:
a; Đặt [TEX]x^2=a ; (y^2+7)^2=b[/TEX]
~>phương trình tương đương với:
[TEX](a+4b)^2=17(a^2+b^2)\\\Leftrightarrow(4a-b)^2=0\\\Leftrightarrow4a=b\Leftrightarrow4x^2=(y^2+7)^2\\\Leftrightarrow2x-7=y^2 or -2x-7=y^2[/TEX]
Vậy nghiệm là ([TEX]\frac{y^2+7}{2};y[/TEX]) và ([TEX]\frac{-y^2-7}{2};y[/TEX]) với mọi y lẻ !
b; [TEX]y^3=x^3+3x[/TEX]

Vì [TEX] -3x^2-1 <0 [/TEX]
[TEX]=> (x-1)^3<y^3 < (x+1)^3\\ \Rightarrow y^3=x^3 [/TEX]
Thay vào cái trên ~>3x=0~>x=0
Bài 3:
ặc chưa nghĩ ra :">

P/S: Mọi người ủng hộ quyết liệt nhá \\/ Nhà nhà vô pic số; người người vô pic sô!
Ai có bài đăng bài ; ai có tài liệu post tài liệu !!
Trích: lời kêu "cứu"

 

[ohmymath]

Tiếp thui !!Tiếp thui
1) Cho a, b, c là các số nguyên dương và phương trình ax-by=c; x, y là các số nguyên. Nếu phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì nó cũng có nghiệm nguyên dương.
2) Nếu phương trình ax+by=c với a, b, c là các số nguyên dương có a, b nguyên tố cùng nhau, c>ab thì phương trình (1) có nghiệm nguyên dương.
3) Nếu ([TEX]x_0 , y_0[/TEX] ) là một nghiệm của ax+by=1 với (a,b)=1 thì ([TEX]cx_0, zy_0[/TEX] ) là một nghiệm của phương trình ax+by=c
4) Giải phương trình nghiệm nguyên 38x+117y=15

Mấy bài này hình như hơi cơ bản nhưng chứng minh thì sẽ có bài ko đơn giản :-?

 

[bananamiss]

Đóng góp thêm 1 số bài:

Bài 3:Tìm nghiệm tự nhiên:
[TEX]x^6 +z^3 -15x^2z= 3x^2y^2z -(y^2 +5)^3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x^2)^3+(y^2+5)^3+z^3=3x^2z(5+y^2)[/TEX]

do x,y,z tự nhiên

[TEX] (x^2)^3+(y^2+5)^3+z^3 \geq 3x^2z(y^2+5) \ (cosi)[/TEX]

[TEX]"=" \Rightarrow x^2=y^2+5=z[/TEX]

[TEX]x^2=y^2+5 \Leftrightarrow (x-y)(x+y)=5\\..ok[/TEX]

4) Giải phương trình nghiệm nguyên 38x+117y=15

nhẩm thấy có 1 cặp nghiệm riêng (x,y)=(-15,5) )

~~~> nghiệm tổng quát

[TEX]\left{\begin{x=-15+117t}\\{y=5+38t}\\{t \in Z[/TEX]

 

[ohmymath]

1. tìm tất cả các số tự nhiên : [TEX]2 <x <y<z<t <u[/TEX] thỏa mãn :
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+ \frac{1}{u} =1[/TEX]
2. tìm tất cả các số tự nhiên n;z thỏa mãn [TEX]2^n +12^2 =z^2 -3^2[/TEX]
3. tìm tất cả các số có 5 chữ số sao cho số đó bằng 45 lần tích các chữ số của nó
4. giải phương trình nghiệm nguyên [TEX]x(1+x+x^2)=4y(y+1)[/TEX]
5. giải phương trình nghiệm nguyên [TEX]4y^2=2+\sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]
6. với 8 số : 0;1;2;3;4;5;6;7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 3
7;cho số tự nhiên , tìm số tự nhiên phụ thuộc vào sao cho với mọi , tồn tại số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số bất kì của đều lập thành một số nguyên tố( không kể thứ tự)
ví dụ: với ta có thể chọn và số đó là 137. số này có 13;17;31;37;73;71 đều là các số nguyên tố

Mấy bài này hơi khó :-s

Số học :http://trungtuan.wordpress.com/2010/06/02/topic-97/

 

[pampam_kh]

Bài 1: Tìm các số nguyên a, b để [TEX]x= 1+ \sqrt{3}[/TEX] là nghiệm của phương trình
[TEX]3x^3 + ax^2 + bx + 12 =0[/TEX]

Bài 2: Tìm các số nguyên a, b, c thoả đk:

[TEX]a<b[/TEX]
[TEX]a+ 3 = b+ c[/TEX]
[TEX]a^2= b^2 + c^2 +1[/TEX]

Một bài nữa nè:

Giải phương trình nghiệm nguyên:


a.[TEX]\left{\begin{x- y +z =2}\\{2x^2 - xy + x - 2z= 1}\\[/TEX]

b.[TEX]\left{\begin{x- y -z =-3}\\{x^2 - y^2 - z^2 =1}\\[/TEX]

c.[TEX]\left{\begin{2y^2 - x^2 - xy + 2y - 2x =7}\\{x^3 + y^3 + x -y =8}\\[/TEX]

 

[bananamiss]

2. tìm tất cả các số tự nhiên n;z thỏa mãn [TEX]2^n +12^2 =z^2 -3^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow z^2-2^n=153[/TEX]

[TEX]xet \ n=2m[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow z^2-2^{2m}=153 \\ \Leftrightarrow (z+2^m)(z-2^m)=153...ok[/TEX]

[TEX]xet \ n=2m+1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow z^2-2^{2m+1}=153 \\ \Leftrightarrow z^2+1-(2^{2m+1}+1)=153[/TEX]

[TEX]2^{2m+1}+1 \equiv \ (-1)^{2m+1}+1=0 \ (mod \ 3)\\153 \ \vdots \ 3\\ \Rightarrow z^2+1 \vdots \ 3[/TEX]

mà [TEX]z^2+1[/TEX] chia 3 chỉ dư 1, 2

^^

5. giải phương trình nghiệm nguyên [TEX]4y^2=2+\sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]

[TEX]VP=2+\sqrt{200-(x+1)^2} \leq 2+\sqrt{200} < 16 \\ \Leftrightarrow 4y^2 < 16 \Leftrightarrow -2 < y < 2 ...[/TEX]

Bài 1: Tìm các số nguyên a, b để [TEX]x= 1+ \sqrt{3}[/TEX] là nghiệm của phương trình
[TEX]3x^3 + ax^2 + bx + 12 =0[/TEX]

để ý

[TEX]a\sqrt{c}=b \ (\ a,b \ \in \ Q, c \ \in \ N^* , c \neq x^2) [/TEX] (*)

[TEX] \Leftrightarrow a=b=0[/TEX]

cứ thay giá trị x vào pt đó, chịu khó khai triển, đưa về dạng (*), rồi cho các hệ số = 0 là ok ^^

Bài 2: Tìm các số nguyên a, b, c thoả đk:

[TEX]a<b[/TEX]
[TEX]a+ 3 = b+ c[/TEX]
[TEX]a^2= b^2 + c^2 +1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow(b+c-3)^2=b^2+c^2+1 \\ \Leftrightarrow (b+3)(c+3)=13 ... pt \ uoc \ so[/TEX]



p/s: hi post nhiều thế, còn mấy câu chưa hết mà

 

[viet_tranmaininh]

Hjc. Còn nhiều bài chưa giải, nhưng mình vẫn gửi vì ở các pic khác mình có gửi mà ko ai giúp cả=((=(
Bài 1: Cho p là 1 số nguyên tố; n là số tự nhiên khác 0; Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn:
[TEX]x(x +1)=p^{2n}.y(y+1)[/TEX]
Ngoài ra:
Bài 2:Tìm số bị chia, số chia và thương trong phép chia sau:
[TEX]\overline{abcd} : \overline{dcba}= q[/TEX]
Biết cả 3 số đều là bình phương số nguyên ( những chữ khác nhau là những số khác nhau)
Bài 3:Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau:
[TEX]7( x^2y +x +xy^2 +2y) =38xy +38[/TEX]

 

[bananamiss]

Bài 3:Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau:
[TEX]7( x^2y +x +xy^2 +2y) =38xy +38[/TEX]

bài này đã từng thấy rồi :x

[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2+x+xy^2+2y}{xy+1}=\frac{38}{7}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x+y+\frac{1}{x+\frac{1}{y}}=2+3+\frac{1}{2+\frac{1}{3}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x,y)=(2,3)[/TEX]

 

[khanh_ndd]

tìm các số [TEX]a,b \in N*[/TEX] thoả mãn [TEX]a^2+b^2+1 \vdots ab[/TEX]
p/s: mấy bài này đi thi may thì làm đc không 90% tớ bỏ (vì có biết gì đâu )

 

[bboy114crew]

Một bài nữa nè:

Giải phương trình nghiệm nguyên:


a.[TEX]\left{\begin{x- y +z =2}\\{2x^2 - xy + x - 2z= 1}\\[/TEX]

b.[TEX]\left{\begin{x- y -z =-3}\\{x^2 - y^2 - z^2 =1}\\[/TEX]

c.[TEX]\left{\begin{2y^2 - x^2 - xy + 2y - 2x =7}\\{x^3 + y^3 + x -y =8}\\[/TEX]

chém thử một bài!
a)
ta có:
[TEX]2x^2 - xy + x - 2z= 1 \Leftrightarrow 3x^2+xz-x-2z=1 (vi :: x- y +z =2 \Rightarrow y=2-x-z) \Leftrightarrow (x-2)(3x+z+5)=-8[/TEX]
ngon!
b)ta có:[TEX]x^2 - y^2 - z^2 =1 \Leftrightarrow (y+z-3)^2-y^2-z^2=1 \Leftrightarrow (6+2z)(3-y)=10(vi ::x- y -z =-3 \Rightarrow x=y+z-3) [/TEX]
c)ta có:
[TEX]2y^2 - x^2 - xy + 2y - 2x =7 \Leftrightarrow (2y-x+2)(y-x)=7[/TEX]
ngon!

 

[maunguyet.hilton]

Tơ send đến trang bài này giải cho khuây khoả)
Cho pt ẩn x : (m+1)x²-2(m-1)x+m-2=0 vs m là tham số:
1. Tìm giá trị of m để pt có ngh. duy nhât;có 2 ngh. phân biệt,có ngh. kep,có 2 ngh. đối nhau
2.xác định giá trị of m để 2 ngh. of pt thoả mãn hệ thức x²+x'²=28
3.Tìm giá trị of m để 2 ngh. of pt thoả hệ thức 1/x + 1/x² = 6

 

[viet_tranmaininh]

Tơ send đến trang bài này giải cho khuây khoả)
Cho pt ẩn x : (m+1)x²-2(m-1)x+m-2=0 vs m là tham số:
1. Tìm giá trị of m để pt có ngh. duy nhât;có 2 ngh. phân biệt,có ngh. kep,có 2 ngh. đối nhau
2.xác định giá trị of m để 2 ngh. of pt thoả mãn hệ thức x²+x'²=28
3.Tìm giá trị of m để 2 ngh. of pt thoả hệ thức 1/x + 1/x² = 6

Ban ơi, nhầm pic rồi, đây là pic pt nghiệm nguyên cơ mà.
Làm bài của bạn để khỏi spam.Bài của bạn chỉ cần dùng [TEX]\Delta[/TEX] là ra mà.
1. Pt nghiệm [TEX]\Delta' \geq0[/TEX]; phân biệt thì >0; ....
2,3. Dùng Vi-et......|

 

[quan8d]

tìm các số [TEX]a,b \in N*[/TEX] thoả mãn [TEX]a^2+b^2+1 \vdots ab[/TEX]
p/s: mấy bài này đi thi may thì làm đc không 90% tớ bỏ (vì có biết gì đâu )

Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]a \geq b[/TEX]
[TEX]a = b = 1 , TM[/TEX]
[TEX]a \geq b = 1 : a^2+2 \vdots a \rightarrow 2 \vdots a \rightarrow a = 1 (0TM) , a = 2 (TM)[/TEX]
[TEX]a \geq b \geq 2 : a^2+b^2+1 = abk \rightarrow a^2+1 \vdots b ; b^2+1 \vdots a[/TEX]
[TEX](b^2+1)^2 \vdots a^2 \equiv 1 (mod b^2) \rightarrow a^2-1 \vdots b[/TEX]
[TEX]\rightarrow 2 \vdots b \rightarrow b = 1 (0TM) ; b = 2 (0TM)[/TEX]
[TEX]\rightarrow (1;1) , (2;1) , (1;2)[/TEX]

 

[ohmymath]

Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]a \geq b[/TEX]
[TEX]a = b = 1 , TM[/TEX]
[TEX]a \geq b = 1 : a^2+2 \vdots a \rightarrow 2 \vdots a \rightarrow a = 1 (0TM) , a = 2 (TM)[/TEX]
[TEX]a \geq b \geq 2 : a^2+b^2+1 = abk \rightarrow a^2+1 \vdots b ; b^2+1 \vdots a[/TEX]
[TEX](b^2+1)^2 \vdots a^2 \equiv 1 (mod b^2) \rightarrow a^2-1 \vdots b[/TEX]
[TEX]\rightarrow 2 \vdots b \rightarrow b = 1 (0TM) ; b = 2 (0TM)[/TEX]
[TEX]\rightarrow (1;1) , (2;1) , (1;2)[/TEX]

Bạn xem lại chỗ này nhá.
[TEX]b^2+1[/TEX] chia hết a thì chưa chắc [TEX]b^2+1[/TEX]đồng dư a theo mod b đâu nhe!!

 

[hn9atp]

tìm các số [TEX]a,b \in N*[/TEX] thoả mãn [TEX]a^2+b^2+1 \vdots ab[/TEX]
p/s: mấy bài này đi thi may thì làm đc không 90% tớ bỏ (vì có biết gì đâu )

Gia su a\geqb
a^2+b^2+1=kab
=> a^2-kab+b^2+1=0
Tu VIET co
[TEX]{a}_{1}[/TEX]+[TEX]{a}_{2}[/TEX]=kb
[TEX]{a}_{1}[/TEX][TEX]{a}_{2}[/TEX]=b^2+1
Gia su
[TEX]{a}_{1}[/TEX]\geq[TEX]{a}_{2}[/TEX]\geqb
+)a=b..............
+)[TEX]{a}_{1}[/TEX]=[TEX]{a}_{2}[/TEX]
=>([TEX]{a}_{1}[/TEX]-b)([TEX]{a}_{1}[/TEX]-b)=1...............
+)[TEX]{a}_{1}[/TEX]>[TEX]{a}_{2}[/TEX]>b
b^2+1>[TEX]{a}_{2}[/TEX]^2
=>([TEX]{a}_{2}[/TEX]-b)([TEX]{a}_{2}[/TEX]+b)<1
ma a,b[TEX]\in [/TEX]N*
=>.....................

 

[ohmymath]

Mọi người sôi nổi lên nào!!!!!!!!!!!!!! \\/\\/\\/
Chán òm quá thế!! Còn rất nhiều bài trong pick chưa có lời giải đáp mà |-)
Mình post típ 1 bài hay nữa:
Giải py nghiệm nguyên:
[TEX]x^2+y^2+z^2=x^2y^2[/TEX]
Làm đi cấm có lười :-w =))

 

[locxoaymgk]

hố hố mình không biết giải cái này nhiều lắm thui thì post bài tập lên cho vui:
vài Phương Pháp giải PT Nghiệm nguyên:
1 - Phương pháp khử ẩn
2 - Hạn chế tập hợp chứa nghiệm dựa vào tính chia hết
3 - hạn chế tập hợp chứa nghiệm dựa vào điều kiện các ẩn
4 - hạn chế tập hợp chứa nghiệm bằng cách sắp xếp thứ tự của chúng
5 - Giản ước cho ước số chung
6 - Đưa về TH riêng
ai làm thử mấy câu sau đây:
1, Giải PT nghiệm nguyên
[TEX]1+x+x^2+x^3=y^3[/TEX]
2, giải PT nghiệm nguyên
[TEX] x^3-y^3-2y^2-3y-1=0[/TEX]
3, giải PT nghiệm nguyên dương [TEX] \frac{1}{x}+[/TEX][TEX]\frac{1}{y}+[/TEX][TEX]\frac{1}{z}=1[/TEX]