- Như chúng ta đã biết,
bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng như sau:
Với hai dãy số thực [tex](a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})[/tex] và [tex](b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})[/tex] ta luôn có bất đẳng thức sau:
[tex](a_{1}^2+a_{2}^2+...+ a_{m}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{m}^2) \geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})^2[/tex]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]\frac{a_{1}}{b_{1}}= \frac{a_{2}}{b_{2}}=...= \frac{a_{m}}{b_{m}}[/tex]
- Nó cũng có một số hệ quả:
1,
Bất đẳng thức Schwarz:
Với hai dãy số thực [tex](a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})[/tex] và [tex](b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})[/tex] sao cho [tex]b_{i} \geq 0[/tex] ta luôn có bất đẳng thức:
[tex]\frac{a_{1}^2}{b_{1}}+ \frac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+ \frac{a_{m}^2}{b_{m}} \geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b_{m}[/tex]
2,
Bất đẳng thức Minkovsky:
Với 2 dãy số thực [tex]\Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})[/tex] và [tex]\Large (b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})[/tex] ta có:
[tex]\Large \sum\limits_{i=1}^{m} \sqrt{a_{i}^2+b_{i}^2} \geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^{m} a_{i})^2+(\sum\limits_{i=1}^{m} b_{i})^2}[/tex]
3, Với mọi dãy số thực [tex]\Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})[/tex] ta có:
[tex]\Large (a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m})^2 \leq n(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m}^2)[/tex]
- Đây là một bất đẳng thức rất thông dụng với các bạn THCS và hay được dùng trong các kì thi.
Sau đây là một số bài tập ứng dụng:
1)Cho [tex]|x|<1[/tex] và [tex]|y|<1[/tex]. CMR:
[tex]\frac{1}{1-x^2}+ \frac{1}{1-y^2} \geq \frac{2}{1-xy}[/tex]
2)CM bất đẳng thức sau với [tex]x[/tex] là số thực không âm:
[tex]\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+ \sqrt{x} \leq \sqrt{x+9}[/tex]
3) [tex]a,b,c >0[/tex]. CMR: [tex]abc(a+b+c) \leq a^3b+b^3c+c^3a[/tex]
4)CMR:
[tex]\sqrt{abc}+ \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} <1 [/tex]
với mọi [tex]a,b,c \in (0;1)[/tex]
5)T“m min:
[tex]\sum \limits_{i=1}^{n} (x_{i}+ \frac{1}{x_{i}})^2[/tex]
với [tex]\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=1[/tex]
www.diendantoanhoc.net
