Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

  • Thread starter nhockthongay_girlkute
  • Ngày gửi
  • Replies 897
  • Views 158,577

Status
Không mở trả lời sau này.
B

bboy114crew

Một bài dễ anh em chém tạm!:D
ho a,b,c >0 thoa a+b+c = 1 cmr:
[tex]\frac{bc}{\sqrt{a+bc}} +\frac{ca}{\sqrt{b+ca}} +\frac{ab}{\sqrt{c+ab}} \le\frac{1}{2}[/tex]
 
O

overlife

các bạn giúp mình với!!!!

Cho a,b,c là các số không âm thoả mãn điều kiện [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng
[TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca[/TEX]
 
O

overlife

các bạn giúp mình với!!!!

Cho a,b,c là các số không âm thoả mãn điều kiện [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng
[TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca[/TEX]
 
N

nhockthongay_girlkute

overlife said:
Cho a,b,c là các số không âm thoả mãn điều kiện [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng
[TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \frac{(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}+a^2+b^2+c^2\geq 9[/TEX]
[TEX]\text{dung vi }a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a [/TEX]
 
N

nhockthongay_girlkute

overlife said:
Cho a,b,c là các số không âm thoả mãn điều kiện [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng
[TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \frac{(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}+a^2+b^2+c^2\geq 9[/TEX]
[TEX]\text{dung vi }a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a [/TEX]
 
N

nhockthongay_girlkute

bboy114crew said:
Một bài dễ anh em chém tạm!:D
ho a,b,c >0 thoa a+b+c = 1 cmr:
[tex]\frac{bc}{\sqrt{a+bc}} +\frac{ca}{\sqrt{b+ca}} +\frac{ab}{\sqrt{c+ab}} \le\frac{1}{2}[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a.1+bc}}= \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c})[/TEX]
[TEX] <=> VT \leq \frac{1}{2}\sum(\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b})= \frac{1}{2}(a+b+c)=\frac12[/TEX]
done‼
 
Last edited by a moderator:
N

nhockthongay_girlkute

bboy114crew said:
Một bài dễ anh em chém tạm!:D
ho a,b,c >0 thoa a+b+c = 1 cmr:
[tex]\frac{bc}{\sqrt{a+bc}} +\frac{ca}{\sqrt{b+ca}} +\frac{ab}{\sqrt{c+ab}} \le\frac{1}{2}[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a.1+bc}}= \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c})[/TEX]
[TEX] <=> VT \leq \frac{1}{2}\sum(\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b})= \frac{1}{2}(a+b+c)=\frac12[/TEX]
done‼
 
B

bboy114crew

Cho các số dương đôi một phân biệt.CMR:
[tex]\sum(x-y)^2.\sum\frac{1}{(x-y)^2} \geq \frac{27}{2}[/tex]
 
B

bboy114crew

Cho các số dương đôi một phân biệt.CMR:
[tex]\sum(x-y)^2.\sum\frac{1}{(x-y)^2} \geq \frac{27}{2}[/tex]
 
O

overlife

bài cực khó đây!!! ai làm đc tks liền

Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là các số thực dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX].CMR
[TEX]\frac{1}{c(a^2+b^2)}+\frac{1}{a(b^2+c^2)}\geq \frac{40}{(a+c)^2(b^2+ac)^2+25}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
O

overlife

bài cực khó đây!!! ai làm đc tks liền

Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là các số thực dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX].CMR
[TEX]\frac{1}{c(a^2+b^2)}+\frac{1}{a(b^2+c^2)}\geq \frac{40}{(a+c)^2(b^2+ac)^2+25}[/TEX]
 
O

ohmymath

overlife said:
Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là các số thực dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX].CMR
[TEX]\frac{1}{c(a^2+b^2)}+\frac{1}{a(b^2+c^2)}\geq \frac{40}{(a+c)^2(b^2+ac)^2+25}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài này ko khó.
Vì abc=1 nên ta có
VT=[TEX]\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}=\frac{1}{ \frac{a}{b} +\frac{b}{a}}+\frac{1}{\frac{b}{c}+\frac{c}{b}} \geq \frac{4}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+ \frac{c}{b}}[/TEX] (1)
Mặt khác ta có : VP[TEX]\leq\frac{4}{(a+c)(b^2+ac)}[/TEX] (bất đẳng thức Cô si) (2)
Lại có: [TEX] \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} = \frac{a^2c}{abc} + \frac{b^2c}{abc} + \frac{b^2a}{abc} + \frac{c^2a}{abc} = a^2c + b^2c + b^2a + c^2a = (a+c)(b^2+ac) [/TEX] (3)
Từ (1);(2);(3) ta có điều phải chứng minh!!
P/s: bất đẳng thức yếu :-? Áp dụng toàn Cô Si mấy lần liền mà vẫn thấy lớn hơn =))
 
Last edited by a moderator:
O

ohmymath

overlife said:
Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là các số thực dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX].CMR
[TEX]\frac{1}{c(a^2+b^2)}+\frac{1}{a(b^2+c^2)}\geq \frac{40}{(a+c)^2(b^2+ac)^2+25}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài này ko khó.
Vì abc=1 nên ta có
VT=[TEX]\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}=\frac{1}{ \frac{a}{b} +\frac{b}{a}}+\frac{1}{\frac{b}{c}+\frac{c}{b}} \geq \frac{4}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+ \frac{c}{b}}[/TEX] (1)
Mặt khác ta có : VP[TEX]\leq\frac{4}{(a+c)(b^2+ac)}[/TEX] (bất đẳng thức Cô si) (2)
Lại có: [TEX] \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} = \frac{a^2c}{abc} + \frac{b^2c}{abc} + \frac{b^2a}{abc} + \frac{c^2a}{abc} = a^2c + b^2c + b^2a + c^2a = (a+c)(b^2+ac) [/TEX] (3)
Từ (1);(2);(3) ta có điều phải chứng minh!!
P/s: bất đẳng thức yếu :-? Áp dụng toàn Cô Si mấy lần liền mà vẫn thấy lớn hơn =))
 
O

overlife

bài tiếp nè!^^

1.Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX](a+b)(b+c)(c+a)=1[/TEX]. CMR:
[TEX]ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}[/TEX]
2.Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX]a+b+c=ab+bc+ca[/TEX].CMR:
[TEX]a+b+c+1\geq 4abc[/TEX]
 
O

overlife

bài tiếp nè!^^

1.Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX](a+b)(b+c)(c+a)=1[/TEX]. CMR:
[TEX]ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}[/TEX]
2.Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX]a+b+c=ab+bc+ca[/TEX].CMR:
[TEX]a+b+c+1\geq 4abc[/TEX]
 
0

0915549009

overlife said:
2.Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX]a+b+c=ab+bc+ca[/TEX].CMR:
[TEX]a+b+c+1\geq 4abc[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]a+b+c = ab+bc+ca \Rightarrow (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(a+b+c) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)} = 1 \Rightarrow 1 \leq \frac{a}{a+2} + \frac{b}{b+2} + \frac{c}{c+2} [/TEX]
Đến đây là làm đc rồi ;)
 
0

0915549009

overlife said:
2.Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX]a+b+c=ab+bc+ca[/TEX].CMR:
[TEX]a+b+c+1\geq 4abc[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]a+b+c = ab+bc+ca \Rightarrow (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(a+b+c) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)} = 1 \Rightarrow 1 \leq \frac{a}{a+2} + \frac{b}{b+2} + \frac{c}{c+2} [/TEX]
Đến đây là làm đc rồi ;)
 
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom