Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

  • Thread starter nhockthongay_girlkute
  • Ngày gửi
  • Replies 897
  • Views 158,577

Status
Không mở trả lời sau này.
H

huu_thuong

Cho a,b,c dương thoa mãn:
gif.latex


gif.latex
 
K

khanh_ndd

0915549009 said:
[TEX]a+b+c = ab+bc+ca \Rightarrow (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(a+b+c) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)} = 1 \Rightarrow 1 \leq \frac{a}{a+2} + \frac{b}{b+2} + \frac{c}{c+2} [/TEX]
Đến đây là làm đc rồi ;)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
bạn có thể làm tiếp đc k? :D
lời giải của tớ
do gt nên bđt cần cm tương đương
[TEX]\frac{(ab+bc+ca)^2}{a+b+c}+\frac{3abc(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\geq 4abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\frac{(ab+bc+ca)^2}{a+b+c}-3abc\geq abc-\frac{3abc(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}[/TEX]
phân tích SOS
[TEX]\Leftrightarrow \frac{\sum c^2(a-b)^2}{2(a+b+c)}\geq \frac{abc.\sum (a-b)^2}{2(a+b+c)^2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum (c^2(a+b+c)-abc)(a-b)^2\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum c(2c^2-(c-a)(c-b))(a-b)^2\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum 2c^3(a-b)^2\geq 0[/TEX]
(cái này luôn đúng :khi:)
 
K

khanh_ndd

0915549009 said:
[TEX]a+b+c = ab+bc+ca \Rightarrow (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(a+b+c) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)} = 1 \Rightarrow 1 \leq \frac{a}{a+2} + \frac{b}{b+2} + \frac{c}{c+2} [/TEX]
Đến đây là làm đc rồi ;)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
bạn có thể làm tiếp đc k? :D
lời giải của tớ
do gt nên bđt cần cm tương đương
[TEX]\frac{(ab+bc+ca)^2}{a+b+c}+\frac{3abc(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\geq 4abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\frac{(ab+bc+ca)^2}{a+b+c}-3abc\geq abc-\frac{3abc(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}[/TEX]
phân tích SOS
[TEX]\Leftrightarrow \frac{\sum c^2(a-b)^2}{2(a+b+c)}\geq \frac{abc.\sum (a-b)^2}{2(a+b+c)^2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum (c^2(a+b+c)-abc)(a-b)^2\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum c(2c^2-(c-a)(c-b))(a-b)^2\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum 2c^3(a-b)^2\geq 0[/TEX]
(cái này luôn đúng :khi:)
 
Q

quan8d

a,b,c > 0 , abc = 1
Prove that :
a) [TEX]\prod (a+\frac{1}{a+1}) \geq \frac{27}{8}[/TEX]
b) [TEX]27\prod (a^3+a^2+a+1) \geq 64\prod (a^2+a+1)[/TEX]
 
Q

quan8d

a,b,c > 0 , abc = 1
Prove that :
a) [TEX]\prod (a+\frac{1}{a+1}) \geq \frac{27}{8}[/TEX]
b) [TEX]27\prod (a^3+a^2+a+1) \geq 64\prod (a^2+a+1)[/TEX]
 
O

ohmymath

quan8d said:
a,b,c > 0 , abc = 1
Prove that :
a) [TEX]\prod (a+\frac{1}{a+1}) \geq \frac{27}{8}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Điều cần chứng minh tương đương với:
[TEX]8\prod (a^2+a+1)\geq 27\prod (a+1)\\\Leftrightarrow \prod (a^2+1+(a+1)^2)\geq 27\prod (a+1)[/TEX]
Có VT[TEX]\geq \frac{27}{8}\prod (a+1)^2[/TEX] (dùng cô si cho từng cái trong ngoặc)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
[TEX]\prod (a+1)\geq 8[/TEX]
Điều này đúng teo AM-GM và abc=1
Xong.
 
O

ohmymath

quan8d said:
a,b,c > 0 , abc = 1
Prove that :
a) [TEX]\prod (a+\frac{1}{a+1}) \geq \frac{27}{8}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Điều cần chứng minh tương đương với:
[TEX]8\prod (a^2+a+1)\geq 27\prod (a+1)\\\Leftrightarrow \prod (a^2+1+(a+1)^2)\geq 27\prod (a+1)[/TEX]
Có VT[TEX]\geq \frac{27}{8}\prod (a+1)^2[/TEX] (dùng cô si cho từng cái trong ngoặc)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
[TEX]\prod (a+1)\geq 8[/TEX]
Điều này đúng teo AM-GM và abc=1
Xong.
 
V

viet_tranmaininh

Đây là bài hình không không gian nhưng thực sự cũng là BĐT hình học hóa lên thui, nên vẫn cứ post zô đây ( thông cảm:)| )
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông SB; SA vuông SC; SB vuông SC.
Biết SA= a; SB +SC= k. Đặt SB= x.
Tính SB; SC để hình chóp S.ABC có thể tính lớn nhất .
P/s: Kí hiệu vuông góc viết thế nào zậy ?
 
V

viet_tranmaininh

Đây là bài hình không không gian nhưng thực sự cũng là BĐT hình học hóa lên thui, nên vẫn cứ post zô đây ( thông cảm:)| )
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông SB; SA vuông SC; SB vuông SC.
Biết SA= a; SB +SC= k. Đặt SB= x.
Tính SB; SC để hình chóp S.ABC có thể tính lớn nhất .
P/s: Kí hiệu vuông góc viết thế nào zậy ?
 
O

ohmymath

viet_tranmaininh said:
Đây là bài hình không không gian nhưng thực sự cũng là BĐT hình học hóa lên thui, nên vẫn cứ post zô đây ( thông cảm:)| )
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông SB; SA vuông SC; SB vuông SC.
Biết SA= a; SB +SC= k. Đặt SB= x.
Tính SB; SC để hình chóp S.ABC có thể tính lớn nhất .
P/s: Kí hiệu vuông góc viết thế nào zậy ?
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Chém lun khỏi hỏi 8-|
Vì S.ABC là hình chóp tam giác nên cả 4 mặt của nó đều có thể coi là đáy !
Ta coi SAB là đáy thì CSA ; CSB; CAB là 3 mặt bên
Ta có : CS vuông với SA;SB~>CS vuông với mp(SAB)
~>CS là đương cao của hình chóp ứng với đáy SAB
Ta có [TEX]V_{C.SAB}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}SA.SB.SC=\frac{1}{6}a.SB.SC\leq\frac{1}{6}a.\frac{1}{4}.(SB+SC)^2= \frac{1}{24} ak^2[/TEX]
Vậy max thể tích là cái trên kia khi và chỉ khi SB=SC=[TEX]\frac{k}{2}[/TEX]
 
O

ohmymath

viet_tranmaininh said:
Đây là bài hình không không gian nhưng thực sự cũng là BĐT hình học hóa lên thui, nên vẫn cứ post zô đây ( thông cảm:)| )
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông SB; SA vuông SC; SB vuông SC.
Biết SA= a; SB +SC= k. Đặt SB= x.
Tính SB; SC để hình chóp S.ABC có thể tính lớn nhất .
P/s: Kí hiệu vuông góc viết thế nào zậy ?
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Chém lun khỏi hỏi 8-|
Vì S.ABC là hình chóp tam giác nên cả 4 mặt của nó đều có thể coi là đáy !
Ta coi SAB là đáy thì CSA ; CSB; CAB là 3 mặt bên
Ta có : CS vuông với SA;SB~>CS vuông với mp(SAB)
~>CS là đương cao của hình chóp ứng với đáy SAB
Ta có [TEX]V_{C.SAB}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}SA.SB.SC=\frac{1}{6}a.SB.SC\leq\frac{1}{6}a.\frac{1}{4}.(SB+SC)^2= \frac{1}{24} ak^2[/TEX]
Vậy max thể tích là cái trên kia khi và chỉ khi SB=SC=[TEX]\frac{k}{2}[/TEX]
 
B

bboy114crew

bboy114crew said:
Cho các số dương đôi một phân biệt.CMR:
[tex]\sum(x-y)^2.\sum\frac{1}{(x-y)^2} \geq \frac{27}{2}[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Gỉa sử x \geq y \geq z
ta có bổ đề:
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{8}{(x+y)^2}(x,y \geq 0)[/TEX]
áp dụng bổ đề với x \geq y \geq z:
[TEX]\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2} \geq \frac{8}{(z-x)^2} \Rightarrow \sum\frac{1}{(x-y)^2} \geq \frac{9}{(x-y)^2}[/TEX]
theo BĐT cauchy-schawrz :
[TEX](x-y)^2+(y-z)^2 \geq \frac{(z-x)^2}{2} \Rightarrow \sum(x-y)^2 \geq \frac{3}{2}(z-x)^2 \Rightarrow \sum(x-y)^2.\sum\frac{1}{(x-y)^2} \geq \frac{9}{(x-y)^2}. \frac{3}{2}(z-x)^2 =\frac{27}{2}[/TEX]
 
B

bboy114crew

bboy114crew said:
Cho các số dương đôi một phân biệt.CMR:
[tex]\sum(x-y)^2.\sum\frac{1}{(x-y)^2} \geq \frac{27}{2}[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Gỉa sử x \geq y \geq z
ta có bổ đề:
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{8}{(x+y)^2}(x,y \geq 0)[/TEX]
áp dụng bổ đề với x \geq y \geq z:
[TEX]\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2} \geq \frac{8}{(z-x)^2} \Rightarrow \sum\frac{1}{(x-y)^2} \geq \frac{9}{(x-y)^2}[/TEX]
theo BĐT cauchy-schawrz :
[TEX](x-y)^2+(y-z)^2 \geq \frac{(z-x)^2}{2} \Rightarrow \sum(x-y)^2 \geq \frac{3}{2}(z-x)^2 \Rightarrow \sum(x-y)^2.\sum\frac{1}{(x-y)^2} \geq \frac{9}{(x-y)^2}. \frac{3}{2}(z-x)^2 =\frac{27}{2}[/TEX]
 
B

bboy114crew

cho các số thực ko âm ko đồng thời bằng 0 CMR:
[TEX]\sum a^2+\sqrt{3}\frac{\sqrt[3]{abc}\sum ab}{\sqrt{\sum a^2}} \geq 2\sum ab[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
B

bboy114crew

cho các số thực ko âm ko đồng thời bằng 0 CMR:
[TEX]\sum a^2+\sqrt{3}\frac{\sqrt[3]{abc}\sum ab}{\sqrt{\sum a^2}} \geq 2\sum ab[/TEX]
 
V

viet_tranmaininh

Bài 1: Cho [TEX]x_1; x_2;.....;x_{2011}[/TEX] thỏa mãn:
[TEX]\left{x_1 +x_2+...+x_{2011}=3\\x_1^2 +x_2^2+....+x_{2011}^2= 1[/TEX]
C/m tồn tại 3 số mà tổng của chúng \geq 1
Bài 2: Cho hệ:
[TEX]\left{x^2 +xy+ y^2=3\\y^2+yz+z^2=16[/TEX]
C/m [TEX]xy+yz+zx \leq 8[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom