Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

  • Thread starter nhockthongay_girlkute
  • Ngày gửi
  • Replies 897
  • Views 158,577

Status
Không mở trả lời sau này.
V

viet_tranmaininh

Bài 1: Cho [TEX]x_1; x_2;.....;x_{2011}[/TEX] thỏa mãn:
[TEX]\left{x_1 +x_2+...+x_{2011}=3\\x_1^2 +x_2^2+....+x_{2011}^2= 1[/TEX]
C/m tồn tại 3 số mà tổng của chúng \geq 1
Bài 2: Cho hệ:
[TEX]\left{x^2 +xy+ y^2=3\\y^2+yz+z^2=16[/TEX]
C/m [TEX]xy+yz+zx \leq 8[/TEX]
 
N

nhockthongay_girlkute

viet_tranmaininh said:

Bài 2: Cho hệ:
[TEX]\left{x^2 +xy+ y^2=3\\y^2+yz+z^2=16[/TEX]
C/m [TEX]xy+yz+zx \leq 8[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
ta có [TEX]\frac{3}{4}(xy+yz+zx)^2=[(y+\frac{x}{2})\frac{\sqrt{3}}{2}z+\frac{\sqrt{3}}{2}x(y+\frac{z}{2})]^2[/TEX]
[TEX] \leq [(y+\frac{x}{2})^2+\frac{3}{4}x^2].[\frac{3}{4}z^2+(y+\frac{z}{2})^2][/TEX]
[TEX] \leq (x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)=3.16[/TEX]
suy ra đpcm
 
N

nhockthongay_girlkute

viet_tranmaininh said:

Bài 2: Cho hệ:
[TEX]\left{x^2 +xy+ y^2=3\\y^2+yz+z^2=16[/TEX]
C/m [TEX]xy+yz+zx \leq 8[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
ta có [TEX]\frac{3}{4}(xy+yz+zx)^2=[(y+\frac{x}{2})\frac{\sqrt{3}}{2}z+\frac{\sqrt{3}}{2}x(y+\frac{z}{2})]^2[/TEX]
[TEX] \leq [(y+\frac{x}{2})^2+\frac{3}{4}x^2].[\frac{3}{4}z^2+(y+\frac{z}{2})^2][/TEX]
[TEX] \leq (x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)=3.16[/TEX]
suy ra đpcm
 
H

huu_thuong

thế còn bài này thì tính sao : có vẻ khó nhỉ ?

Cho a,b,c dương thoa mãn:
gif.latex


gif.latex
 
P

po_tay_com

Cho ba số [TEX]a,b,c[/TEX] thoả mãn điều kiện [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]
CMR[TEX] a+b+c+ab+bc+ca[/TEX]\geq[TEX]1+[/TEX][TEX]\sqrt{3}[/TEX]
 
P

po_tay_com

Cho ba số [TEX]a,b,c[/TEX] thoả mãn điều kiện [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]
CMR[TEX] a+b+c+ab+bc+ca[/TEX]\geq[TEX]1+[/TEX][TEX]\sqrt{3}[/TEX]
 
L

locxoaymgk

bài này cũng ko khó lắm:):
ta có [TEX](a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2[/TEX]\geq[TEX]0[/TEX] nên
[TEX] ab+bc+ca[/TEX]\leq[TEX]a^2+b^2+c^2=1 (1)[/TEX]
do đó[TEX] (a+b+c)^2=2(ab+bc+ca)+(a^2+b^2+c^2)[/TEX]\leq[TEX]3(a^2+b^2+c^2)=3[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a+b+c)[/TEX]\leq[TEX] \sqrt{3}[/TEX] (2)
từ [TEX](1) [/TEX]và[TEX] (2)[/TEX] \Rightarrow dpcm .
nhớ thanks mình nha
 
L

locxoaymgk

bài này cũng ko khó lắm:):
ta có [TEX](a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2[/TEX]\geq[TEX]0[/TEX] nên
[TEX] ab+bc+ca[/TEX]\leq[TEX]a^2+b^2+c^2=1 (1)[/TEX]
do đó[TEX] (a+b+c)^2=2(ab+bc+ca)+(a^2+b^2+c^2)[/TEX]\leq[TEX]3(a^2+b^2+c^2)=3[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a+b+c)[/TEX]\leq[TEX] \sqrt{3}[/TEX] (2)
từ [TEX](1) [/TEX]và[TEX] (2)[/TEX] \Rightarrow dpcm .
nhớ thanks mình nha
 
D

duynhan1

huu_thuong said:
thế còn bài này thì tính sao : có vẻ khó nhỉ ?

Cho a,b,c dương thoa mãn:
gif.latex


gif.latex
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta có :

[TEX]VT \ge \frac{(a+b+c)^2}{\sum \( a(a^2-ab+1) \)}[/TEX]

Cần CM :
[TEX](a+b+c)^3 \ge \sum a(a^2-ab+1) (*)[/TEX]

Ta để ý:
[TEX](a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a) = \sum a^3 + 3[ (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc] = \sum a^3 + (a+b+c) - 3abc[/TEX]

nên ta có :
[TEX](*) \Leftrightarrow a^2 b + b^2 c + c^2 a \ge 3 abc [/TEX] ( đúng theo AM-GM)

[TEX]"=" \Leftrightarrow \left{ a=b=c \\ ab+bc+ca= \frac13 \right. \Leftrightarrow a=b=c = \frac{1}{\sqrt{3}}[/TEX]
 
D

duynhan1

huu_thuong said:
thế còn bài này thì tính sao : có vẻ khó nhỉ ?

Cho a,b,c dương thoa mãn:
gif.latex


gif.latex
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta có :

[TEX]VT \ge \frac{(a+b+c)^2}{\sum \( a(a^2-ab+1) \)}[/TEX]

Cần CM :
[TEX](a+b+c)^3 \ge \sum a(a^2-ab+1) (*)[/TEX]

Ta để ý:
[TEX](a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a) = \sum a^3 + 3[ (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc] = \sum a^3 + (a+b+c) - 3abc[/TEX]

nên ta có :
[TEX](*) \Leftrightarrow a^2 b + b^2 c + c^2 a \ge 3 abc [/TEX] ( đúng theo AM-GM)

[TEX]"=" \Leftrightarrow \left{ a=b=c \\ ab+bc+ca= \frac13 \right. \Leftrightarrow a=b=c = \frac{1}{\sqrt{3}}[/TEX]
 
B

bboy114crew

Cho [TEX]a\ge b\ge c[/TEX] là ba số thực dương. Chứng minh rằng

[TEX]2\left ( \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} \right )\le3\left ( \frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc} \right )\le6\left ( \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} \right )[/TEX]
 
B

bboy114crew

Cho [TEX]a\ge b\ge c[/TEX] là ba số thực dương. Chứng minh rằng

[TEX]2\left ( \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} \right )\le3\left ( \frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc} \right )\le6\left ( \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} \right )[/TEX]
 
K

kid1412dn

Cho a,b,c là 3 số thực dương,a+b+c=3 chứng minh rằng
[TEX] (a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3 \geq \frac{-3}{4} [/TEX]
 
Last edited by a moderator:
K

kid1412dn

Cho a,b,c là 3 số thực dương,a+b+c=3 chứng minh rằng
[TEX] (a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3 \geq \frac{-3}{4} [/TEX]
 
B

bananamiss

kid1412dn said:
Cho a,b,c là 3 số thực dương,chứng minh rằng
[TEX] (a-1)^3+(b-1)^3(c-1)^3 \geq \frac{-3}{4} [/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

her her...
đề cậu viết thiếu dấu "+" kìa ;))
thiếu cả a+b+c=3
tuyển sinh năm trước tỉnh TB :\">

[TEX]dat \ \left{\begin{a-1=x}\\{b-1=y}\\{c-1=z[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \left{\begin{x,y,z \ \geq -1}\\{x+y+z=0[/TEX]

xét

[TEX]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)=(x+1)(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}(x+1)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^3+1-\frac{3}{4}(x+1)=x^3-\frac{3}{4}x+\frac{1}{4} \geq (x+1)(x-\frac{1}{2})^2 \geq 0 \ ( do \ x \geq -1 )[/TEX]

tương tự

[TEX] y^3-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4} \geq 0 [/TEX]

[TEX] z^3-\frac{3}{4}z+\frac{1}{4} \geq 0 [/TEX]

cộng vế ~~~> ^^
 
Last edited by a moderator:
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom