Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[garethbale96]

Mình đọc một số sách về BDT có nói về kĩ thuật chuẩn hoá nhưng ko hiểu lắm.
Bạn nào có thể giải thích rõ cho mình hiểu ko

 

[bboy114crew]

Thầy mình vừa giao bt này
Tìm GTNN của
[TEX]\sqrt[n]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[n]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[n]{\frac{c}{a+b}}[/TEX]
Thầy mình bảo đáp án là [TEX]\frac{3}{\sqrt[n]{2}[/TEX]
Nhưng mình ko bít làm bạn nào biết làm giúp mình nha

áp dụng BĐT AM-GM cho n số dương ta có:
[TEX]\frac{(a+b)(n-1)}{c} + 1+...+1 \geq n\sqrt[n]{\frac{(a+b)(n-1)}{c} }[/TEX]
( n-1 số 1)
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(n-1)(a+b+c)}{nc} \geq \sqrt[n]{\frac{(a+b)(n-1)}{c} }[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{n}{n-1}\sqrt[n]{n-1}.\frac{a}{b+c} \leq \sqrt[n]{\frac{c}{b+a}}[/TEX]
xây dựng tương tự hai BDT rồi cộng lại ta được:
[TEX]\sqrt[n]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[n]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[n]{\frac{c}{a+b}} \geq \frac{n}{n-1}\sqrt[n]{n-1}[/TEX]
dấu = xảy ra khi :
[TEX]n=\frac{3}{2}[/TEX]
a=b=c

 

[garethbale96]

áp dụng BĐT AM-GM cho n số dương ta có:
[TEX]\frac{(a+b)(n-1)}{c} + 1+...+1 \geq n\sqrt[n]{\frac{(a+b)(n-1)}{c} }[/TEX]
( n-1 số 1)
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(n-1)(a+b+c)}{nc} \geq \sqrt[n]{\frac{(a+b)(n-1)}{c} }[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{n}{n-1}\sqrt[n]{n-1}.\frac{a}{b+c} \leq \sqrt[n]{\frac{c}{b+a}}[/TEX]
xây dựng tương tự hai BDT rồi cộng lại ta được:
[TEX]\sqrt[n]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[n]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[n]{\frac{c}{a+b}} \geq \frac{n}{n-1}\sqrt[n]{n-1}[/TEX]
dấu = xảy ra khi :
[TEX]n=\frac{3}{2}[/TEX]
a=b=c

Nhưng mình muốn hỏi là với n là số thực dương bất kì mà bạn

 

[vuotlensophan]

cho a,b,c>0, a+b+c\leq2.
CMR:[TEX]\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\geq \frac{\sqrt{97}}{2}[/TEX]

 

[vuotlensophan]

gia su x,y\geq0 thay doi thoa man [TEX]x^2+y^2=1[/TEX]
Tim MIN, MAX cua P= [TEX]\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}[/TEX]

 

[garethbale96]

cho a,b,c>0, a+b+c\leq2.
CMR:[TEX]\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\geq \frac{\sqrt{97}}{2}[/TEX]

Ta có các BDT
[TEX]\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\geq\sqrt{(x+z)^2+(y+t)^2}[/TEX]
[TEX](x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq9[/TEX] với x,y,z dương
Ta có
[TEX] \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\geq\sqrt{(a+b+c)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}=\sqrt{(a+b+c)^2+\frac{16}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2+\frac{65}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}[/TEX] (1)
Áp dụng BDT cô si ta có
[TEX] (a+b+c)^2+\frac{16}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2 \geq 2\sqrt{\frac{16}{81}(a+b+c)^2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}\geq8[/TEX] (2)
Ta có
([TEX](a+b+c)^2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2 \geq 81[/TEX]
[TEX](a+b+c) \leq 4[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{65}{81} (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\geq\frac{65}{4}[/TEX] (3)
Từ (1), (2), (3) \Rightarrow [TEX]\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\geq \frac{\sqrt{97}}{2} [/TEX]
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow a=b=c



Cái chỗ 3ac1a ở dòng 7 là 1/c, chỗ q81 ở dòng 9 là 81
Chẳng hiểu sao mình gõ đúng mà nó cứ hiện sai????

Bài này là đề thi chuyên hải phòng năm 09-10 hay 10-11 gì đấy, mình ko nhớ lắm

 

[bboy114crew]

gia su x,y\geq0 thay doi thoa man [TEX]x^2+y^2=1[/TEX]
Tim MIN, MAX cua P= [TEX]\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}[/TEX]

ta sẽ chứng minh:
[TEX]1 \leq x \leq \sqrt{2}[/TEX]
ta có:
Áp dụng C-S:
[TEX]P=\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y} \leq \sqrt{2(1+2x+1+2y)} \leq \sqrt{2(2+2\sqrt{2})}[/TEX]
[TEX]P^2= 2+2(x+y)+2\sqrt{1+2x+2y+4xy} \geq 2+2+2\sqrt{3+0}[/TEX]

 

[0915549009]

[TEX]a,b,c>0; \sum ab \geq 1. \ CMR: \ \sum \frac{1}{\sqrt{a^2+ac+c^2}} \geq \frac{9}{(\sum a)^2}[/TEX]

 

[khanh_ndd]

[TEX]a,b,c>0; \sum ab \leq 1. \ CMR: \ \sum \frac{1}{\sqrt{a^2+ac+c^2}} \geq \frac{9}{(\sum a)^2}[/TEX]

see here

áp dụng BĐT AM-GM cho n số dương ta có:
[TEX]\frac{(a+b)(n-1)}{c} + 1+...+1 \geq n\sqrt[n]{\frac{(a+b)(n-1)}{c} }[/TEX]
( n-1 số 1)
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(n-1)(a+b+c)}{nc} \geq \sqrt[n]{\frac{(a+b)(n-1)}{c} }[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{n}{n-1}\sqrt[n]{n-1}.\frac{a}{b+c} \leq \sqrt[n]{\frac{c}{b+a}}[/TEX]
xây dựng tương tự hai BDT rồi cộng lại ta được:
[TEX]\sqrt[n]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[n]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[n]{\frac{c}{a+b}} \geq \frac{n}{n-1}\sqrt[n]{n-1}[/TEX]
dấu = xảy ra khi :
[TEX]n=\frac{3}{2}[/TEX]
a=b=c

tớ nghĩ [TEX]min=2[/TEX] khi [TEX]a=b,c=0[/TEX] và các hoán vị

 

[girltoanpro1995]

Ta có các BDT
[TEX]\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\geq\sqrt{(x+z)^2+(y+t)^2}[/TEX]
[TEX](x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq9[/TEX] với x,y,z dương
Ta có
[TEX] \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\geq\sqrt{(a+b+c)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}=\sqrt{(a+b+c)^2+\frac{16}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2+\frac{65}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}[/TEX] (1)
Áp dụng BDT cô si ta có
[TEX] (a+b+c)^2+\frac{16}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2 \geq 2\sqrt{\frac{16}{81}(a+b+c)^2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}\geq8[/TEX] (2)
Ta có
([TEX]a+b+c)^2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\geq 81[/TEX]
[TEX](a+b+c)\leq4[/TEX]
\Rightarrow \[TEX]\frac{65}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}\geq\frac{65}{4}[/TEX] (3)
Từ (1), (2), (3) \Rightarrow [TEX]\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\geq \frac{\sqrt{97}}{2} [/TEX]
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow a=b=c



Cái chỗ 3ac1a ở dòng 7 là 1/c, chỗ q81 ở dòng 9 là 81
Chẳng hiểu sao mình gõ đúng mà nó cứ hiện sai????

Bài này là đề thi chuyên hải phòng năm 09-10 hay 10-11 gì đấy, mình ko nhớ lắm

Có tài liệu về bài này nè ... ngắn => đọc ha ^^

 

[0915549009]

Cho a, b nguyên sao cho [TEX]\frac{a}{b+1} \ va \ \frac{b}{a+1} \ \in\ Z; \ d \ la \ UCLN(a;b). \ CMR: d \leq \sqrt{a+b}[/TEX]

 

[trydan]

Cho a, b nguyên sao cho [TEX]\frac{a}{b+1} \ va \ \frac{b}{a+1} \ \in\ Z; \ d \ la \ UCLN(a;b). \ CMR: d \leq \sqrt{a+b}[/TEX]
Điều kiện là nguyên dương nhé

Do

nên ta có

Do

là ước chung của a, b nên ta có

Do đó, ta có

Do a,b nguyên dương nên n là số nguyên dương, suy ra

Vì thế

 

[trydan]

[TEX]a,b,c>0; \sum ab \geq 1. \ CMR: \ \sum \frac{1}{\sqrt{a^2+ac+c^2}} \geq \frac{9}{(\sum a)^2}[/TEX]

Suy ra

 

[nhoc_xu_kute_151]

giả sử a1, a2, a3 ...., an là các số thực dương sao cho a1 + a2 + .... + an = n. Chứng minh với mọi số nguyên k ta có bất đẳng thức:
[TEX]a_{1}^{k} + a_{2}^{k} + ... + a_{n}^{k} \geq a_{1}^{k-1} + a_{2}^{k-1} + ... + a_{n}^{k-1}[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn hệ thức
[TEX] x+y+z=\frac{yz}{3x}[/TEX]
CMR:
[TEX]x \leq \frac{2\sqrt{3} -3}{6} (z+y)[/TEX]

 

[huu_thuong]

Cho a, b,c là ba cạnh cuả một tam giác với a+b+c=2
chứng minh

 

[0915549009]

Cho a, b,c là ba cạnh cuả một tam giác với a+b+c=2
chứng minh

[TEX]a+b>c \Rightarrow 2>2c \Rightarrow 1>c; \ 1 >b; \ 1>a \Rightarrow (1-c)(1-b)(1-a) >0\Leftrightarrow abc <ab+bc+ca-1 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2abc < 2(ab+bc+ca)-2 \Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc < a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) -2=2[/TEX]
[TEX]2abc \geq \frac{2}{9}(a+b+c)[4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2] = \frac{16}{9}(ab+bc+ca) - \frac{16}{9}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc \geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) - \frac{8}{9} - \frac{2}{9}(ab+bc+ca) \geq 2^2-\frac{16}{9} - \frac{2}{9}(ab+bc+ca) = \frac{52}{27}[/TEX]

 

[01263812493]

a,b,c là ba cạnh tam giác có chu vi bằng 2. Min:
[TEX]4(\sum a^3) +15abc[/TEX]

 

[0915549009]

a,b,c là ba cạnh tam giác có chu vi bằng 2. Min:
[TEX]4(\sum a^3) +15abc[/TEX]

[TEX]27 abc \geq 24(\sum ab) - 24[/TEX]
[TEX]4(\sum a^3-3abc)=4(\sum a)(\sum a^2-\sum ab) = 8\sum a^2-8\sum ab[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 4(\sum a^3)+15abc \geq 8(\sum a^2) + 16\sum ab - 24=8(\sum a)^2-24=8[/TEX]

Này em đi thi ai cho sử dụng Schur hử :-w

 

[0915549009]

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn hệ thức
[TEX] x+y+z=\frac{yz}{3x}[/TEX]
CMR:
[TEX]x \leq \frac{2\sqrt{3} -3}{6} (z+y)[/TEX]

[TEX]GT \Rightarrow 3x^2+3x(y+z) - yz=0 \Rightarrow \frac{3x^2}{(y+z)^2} + \frac{3x}{y+z} - \frac{yz}{(y+z)^2}[/TEX]
[TEX]x,y,z> 0 \Rightarrow \frac{x}{y+z} = \frac{-3+\sqrt{9+\frac{12yz}{(y+z)^2}}}{6} [/TEX]
[TEX]6x = (-3+\sqrt{9+\frac{12yz}{(y+z)^2}})(z+y)[/TEX]
Mặt khác, [TEX] (-3+\sqrt{9+\frac{12yz}{(y+z)^2}})(y+z) \leq (-3+\sqrt{12})(y+z) = (2\sqrt{3} - 3)(y+z)[/TEX]

P/s: Anh duynhan ) Đi thi thì e CM cái BĐT [TEX]abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)[/TEX] rùi từ đó nhân nhân chia chia là đc ý mà )

Gõ tex mệt cả người