Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[vuotlensophan]

min=2 (sử dụng côsi mở rôg ).......................................

giải thich ro hon đi bạn..........................................

 

[raspberry]

P=[TEX]\frac{{x}^{2}}{y+z}+\frac{{y}^{2}}{z+x}+\frac{{z}^{2}}{x+y}[/TEX].
( x,y,z >0 và x+y+z\geq4)

Theo BĐT BCS, ta có:
[TEX]\Large \frac{{x}^{2}}{y+z}+\frac{{y}^{2}}{z+x}+\frac{{z}^{2}}{x+y}\geq \frac{{(x+y+z)}^{2}}{2(x+y+z)}\geq\frac{4^{2}}{2.4}=2[/TEX]

 

[locxoaymgk]

Theo BĐT BCS, ta có:
[TEX]\Large \frac{{x}^{2}}{y+z}+\frac{{y}^{2}}{z+x}+\frac{{z}^{2}}{x+y}\geq \frac{{(x+y+z)}^{2}}{2(x+y+z)}\geq\frac{4^{2}}{2.4}=2[/TEX]

Cách khác:
Ta có
[TEX] \frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4} \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}[/TEX][TEX]=a[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{a^2}{b+c}\geq a-\frac{b+c}{4}[/TEX]
Chứng minh tương tự đố với [TEX]\frac{b^2}{a+c} va \frac{c^2}{a+b}[/TEX]
Cộng từng vế của 3 BDT ta được:
[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
Thay[TEX] a+b+c=4[/TEX] vào \Rightarrow dpcm............................
Mình hơi nhầm các ẩn số x,y,z với a,b,c mọi người thông cảm..........
__________________________________________________________________
Ai làm hộ mình bài này cái:
Cho các số a,b,c,d dương.CMR
[TEX] 4(ab+bc+ca+ad) \leq (a+b+c+d)^2[/TEX]

 

[asroma11235]

Cho a,b,c,d > 0.CMR:
[TEX]\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c} \geq \frac{2}{3}[/TEX]
(Bộ đề tuyển sinh vào THPT chuyên)

 

[lan8078]

1 bài cần giải
cho a,b,c,d là các số dương thoả mãn
a^2+b^2=1
[TEX]\frac{a^4}{c}[/TEX] +[TEX]\frac{b^4}{d}[/TEX]= [TEX]\frac{1}{c+d}[/TEX]
CMR
[TEX]\frac{a^2}{c}[/TEX]+[TEX]\frac{d}{b^2}[/TEX]\geq2

 

[0915549009]

Cho a,b,c,d > 0.CMR:
[TEX]\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c} \geq \frac{2}{3}[/TEX]
(Bộ đề tuyển sinh vào THPT chuyên)

Schwarz [TEX] \sum \frac{a}{b+2c+3d} \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{4(ab+bc+cd+da+ca+bd)} \geq \frac{2}{3}[/TEX]

1 bài cần giải
cho a,b,c,d là các số dương thoả mãn
a^2+b^2=1
[tex]\frac{a^4}{c}[/tex] +[tex]\frac{b^4}{d}[/tex]= [tex]\frac{1}{c+d}[/tex]
cmr
[tex]\frac{a^2}{c}[/tex]+[tex]\frac{d}{b^2}[/tex]\geq2

[tex]\frac{a^4}{c} + \frac{b^4}{d} \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{c+d}=\frac{1}{c+d}[/tex]
dấu bằng khi [tex] \frac{a^2}{c} = \frac{b^2}{d} [/tex]
[tex]\frac{a^2}{c} +\frac{b}{d^2} = \frac{a^2}{c} + \frac{1}{\frac{a^2}{c}} \geq 2 \ (cauchy)[/tex]

 

[overlife]

Cho a,b,c là các số dương thoả mãn thoả mãn abc=1.CMR:
[TEX]\frac{a}{2a^2+7}+\frac{b}{2b^2+7}+\frac{c}{2c^2+7}\leq \frac{1}{3}[/TEX]

không ai làm bài này dùm tớ à? hix
1 bài # nha cho đỡ khỏi spam
Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=1. CMR:
[TEX]a+b+c+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]

 

[locxoaymgk]

Cho các số thực[TEX] x,y (x+y khac 0)[/TEX]
Chứng minh rằng:
[TEX]x^2+y^2+(\frac{1+xy}{x+y})^2\geq2[/TEX]

 

[0915549009]

Cho các số thực[TEX] x,y (x+y khac 0)[/TEX]
Chứng minh rằng:
[TEX]x^2+y^2+(\frac{1+xy}{x+y})^2\geq2[/TEX]

[TEX]x^2+y^2+2xy+\frac{(1+xy)^2}{(x+y)^2} = (x+y)^2 + \frac{(1+xy)^2}{(x+y)^2} \geq 2(1+xy)=2+2xy \Rightarrow x^2+y^2+\frac{(1+xy)^2}{(x+y)^2} \geq 2[/TEX]

 

[asroma11235]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn : [TEX](x+y+z)^3=32xyz[/TEX]
Tìm min và max của: [TEX]\frac{x^4+y^4+z^4}{(x+y+z)^4}[/TEX]

 

[huu_thuong]

1.

2.

 

[duynhan1]

1.

[TEX]\frac{a^3}{b(a+c)} + \frac{b}{2} + \frac{a+c}{4} \ge \frac32 a[/TEX]
Xây dựng tương tự ta có điều cần tìm.

2.

[TEX]VT = \sqrt{(x + \frac12y)^2 + \frac34 y^2} + \sqrt{( - x - \frac12z)^2 + \frac34z^2} \ge \sqrt{\frac14( y-z)^2 + \frac34 ( y+z)^2 } = VP [/TEX]( điều phải chứng minh)

 

[vuotlensophan]

Cm bdt

cho a,b,c>0,;a+b+c=3.
CMR:[TEX]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}[/TEX]\geq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]

 

[huu_thuong]

cho a,b,c>0,;a+b+c=3.
CMR:[TEX]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}[/TEX]\geq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]

 

[locxoaymgk]

cho a,b,c>0,;a+b+c=3.
CMR:[TEX]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}[/TEX]\geq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]

áp dụng kĩ thuật cô si ngược dấu làm các bài tập dưới đây:
a, các số dương[TEX] a,b,c[/TEX] thoả mãn DK a+b+c=3.[TEX]CMR[/TEX]
[TEX]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}[/TEX]
b,[TEX] CM[/TEX] với[TEX] a,b,c,d[/TEX] là các số thực dương có tổng bằng 4 ta có:
[TEX] \frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+[/TEX]
[TEX]\frac{d}{1+a^2}\ge2[/TEX]
c, [TEX]CM [/TEX]với mọi số thực dương [TEX]a,b,c,d[/TEX] ta luôn có:
[TEX] \frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge \frac{a+b+c+d}{2}[/TEX]



tất nhiên rồi,cái này mình đã post lên từ lâu rồi,vào đây:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=149293

Lâu rồi không thấy ai giải mấy bài này nên mình post lời giải cho mọi người cùng xem...
Bài 1,ta có:
[TEX] \frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2} \geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/TEX]
chứng minh tương tự ta cũng có:
[TEX]\frac{b}{1+c^2} \geq b-\frac{bc}{2}[/TEX]
[TEX] \frac{c}{1+a^2} \geq c-\frac{ca}{2}[/TEX]
cộng 3 vế của ba BDT trên ta được:
[TEX] \frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2} \geq a+b+c- \frac{ab+bc+ca}{2}[/TEX]
Mà [TEX]ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3[/TEX]
\Rightarrow [TEX]VT \leq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}[/TEX]
Bài 2 chứng minh tương tự.
bài 3:
[TEX] \frac{a^3}{a^2+b^2}= a-\frac{ab^2}{a^2+b^2} \geq a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}[/TEX]
chứng minh tương tự ta có:
[TEX] \frac{b^3}{b^2+c^2} \geq b-\frac{c}{2}[/TEX]
[TEX] \frac{c^3}{c^2+d^2} \geq c-\frac{d}{2}[/TEX]
[TEX] \frac{d^3}{d^2+a^2} \geq d-\frac{a}{2}[/TEX]
Cộng từng vế các BDT trên ta có
[TEX] \frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}[/TEX]
[TEX] \geq (a+b+c+d)-\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{a+b+c+d}{2}[/TEX]

Đây là một số bài khác liên quan đến chủ đề
Bài này bạn trùng chủ đề oy........................................
Đây là BDt côsi ngược dấu.......................................

 

[asroma11235]

Chứng minh BĐT:
[TEX]\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}{5} \geq \sqrt[5]{a_{1}.a_{2}.a_{3}.a_{4}.a_{5}}+\frac{\sqrt[]{(a_{1}}-\sqrt[]{a_{2})^2}+\sqrt[]{(a_{2}}-\sqrt[]{a_{3})^2}+\sqrt[]{(a_{3}}-\sqrt[]{a_{4})^2}+\sqrt[]{(a_{4}}-\sqrt[]{a_{5})^2}}{20}[/TEX]

Trong đó [TEX]a_{1},.........a_{5}[/TEX] là các số không âm. Đẳng thức xảy ra khi nào?

 

[duynhan1]

Chứng minh BĐT:
[TEX]\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}{5} \geq \sqrt[5]{a_{1}.a_{2}.a_{3}.a_{4}.a_{5}}+\frac{\sqrt[]{(a_{1}}-\sqrt[]{a_{2})^2}+\sqrt[]{(a_{2}}-\sqrt[]{a_{3})^2}+\sqrt[]{(a_{3}}-\sqrt[]{a_{4})^2}+\sqrt[]{(a_{4}}-\sqrt[]{a_{5})^2}}{20}[/TEX]

Trong đó [TEX]a_{1},.........a_{5}[/TEX] là các số không âm. Đẳng thức xảy ra khi nào?

Quy đồng chuyển vế, BDT tương đương với :
[TEX]3(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5) + a_5+a_1+ 2 ( \sqrt{a_1a_2} + \sqrt{a_2a_3} +\sqrt{a_3a_4}+\sqrt{a_4a_5} ) \ge 20 \sqrt[5]{a_1a_2a_3a_4a_5} [/TEX]

Ta có :

• [TEX]a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 \ge 5 \sqrt[5]{a_1a_2a_3a_4a_5} [/TEX]
• [TEX]a_5 + a_1 \ge 2\sqrt{a_5a_1} [/TEX]
• [TEX]\sqrt{a_1a_2} + \sqrt{a_2a_3} +\sqrt{a_3a_4}+\sqrt{a_4a_5} + \sqrt{a_5a_1} \ge 5 \sqrt[5]{a_1a_2a_3a_4a_5}[/TEX]

nên ta có điều phải chứng minh !!

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]
Tìm GTLN của [TEX]A=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]
Tìm GTLN của [TEX]A=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}[/TEX]

ta có:
[TEX]A^2=(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b})^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2)=3 \Rightarrow A \geq \sqrt{3}[/TEX]

 

[garethbale96]

Thầy mình vừa giao bt này
Tìm GTNN của
[TEX]\sqrt[n]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[n]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[n]{\frac{c}{a+b}}[/TEX]
Thầy mình bảo đáp án là [TEX]\frac{3}{\sqrt[n]{2}[/TEX]
Nhưng mình ko bít làm bạn nào biết làm giúp mình nha