Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[locxoaymgk]

bài trên dc phát triển từ BDT sau :
[TEX] \frac{a^3+b^3}{a^2+kb^2}[/TEX][TEX]+\frac{b^3+c^3}{b^2+kc^2}+[/TEX][TEX]\frac{c^3+a^3}{c^2+ka^2}[/TEX]\geq [TEX]\frac{2(a+b+c)}{k+2}[/TEX]
chỉ cần thay [TEX]k=\frac{1}{abc} [/TEX] thì ta sẽ được ngay BDT ban đầu......................

 

[0915549009]

Đề KHTN ((
Cho [TEX] x+y+z=1; x, y, z > 0[/TEX]
[TEX]CMR: \ \frac{\sqrt{xy+z} + \sqrt{2x^2+2y^2}}{1+sqrt{xy}}\geq 1[/TEX]

 

[quan8d]

Đề KHTN ((
Cho [TEX] x+y+z=1; x, y, z > 0[/TEX]
[TEX]CMR: \ \frac{\sqrt{xy+z} + \sqrt{2x^2+2y^2}}{1+sqrt{xy}}\geq 1[/TEX]

[TEX]\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2(x^2+y^2)}}{1+\sqrt{xy}} \geq \frac{\sqrt{(z+x)(z+y)}+x+y}{1+\sqrt{xy}} \geq \frac{z+\sqrt{xy}+x+y}{ 1+\sqrt{xy}} = 1[/TEX]

 

[conami]

2 bài bđt

1) Cho 3 số thực [TEX]x,y,z[/TEX] thoả mãn [TEX]x^{2}+xy+y^{2}=3[/TEX] và[TEX]x^{2}+yz+z^{2}=16[/TEX]. Cm [TEX]xy+yz+zx\leq8[/TEX]
2)Cho [TEX]x_{1};x_{2};...;x_{2011} \geq 0[/TEX] thoả mãn [TEX]x_{1}+x_{2}+...+x_{2011}=3[/TEX] và [TEX]x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{2011}^{2}=1[/TEX]. Cm tồn tại 3 số mà tổng của chúng không bé hơn 1

 

[viet_tranmaininh]

ta có [TEX]\frac{3}{4}(xy+yz+zx)^2=[(y+\frac{x}{2})\frac{\sqrt{3}}{2}z+\frac{\sqrt{3}}{2}x(y+\frac{z}{2})]^2[/TEX]
[TEX] \leq [(y+\frac{x}{2})^2+\frac{3}{4}x^2].[\frac{3}{4}z^2+(y+\frac{z}{2})^2][/TEX]
[TEX] \leq (x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)=3.16[/TEX]
suy ra đpcm

. hjc, hỏi rùi mà, tìm đi chứ................................................................................................

 

[vuotlensophan]

Bài nay nua nè

Cho a,b,c>0 sao cho a+b+c\leq3. CMR:
[TEX]\frac{1}{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}+\frac{2009}{ab+bc+ca}\geq 670[/TEX]

Bài này quen !

 

[duynhan1]

2)Cho [TEX]x_{1};x_{2};...;x_{2011} \geq 0[/TEX] thoả mãn [TEX]x_{1}+x_{2}+...+x_{2011}=3[/TEX] và [TEX]x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{2011}^{2}=1[/TEX]. Cm tồn tại 3 số mà tổng của chúng không bé hơn 1

Giả sử không tồn tại 3 số mà tổng của chúng bé hơn 1. Ta có :
[TEX]\forall i \in [1;2011] , \ \ x_i < \frac13[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x_i ( x_i -\frac13) \le 0, \ \ \forall i \in [1;2011] [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x_i^2 \le \frac13 x_i, \ \ \forall i \in [1;2011] [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sum_{i=1}^{2011} x_i^2 \le \frac13 \sum_{i=1}^{2011} x_i = 1[/TEX]

Dấu "=" [TEX]\Leftrightarrow \left{ x_i = 0 , \ \forall i \in [1;2011] \\ \sum_{i=1}^{2011} {x_i} = 3 \right. \ \ \ (Vo\ ly)[/TEX]

Vậy điều giả sử là sai. Ta có điều phải chứng minh .

 

[locxoaymgk]

bài dễ:
ta có [TEX](x+y+z)^2[/TEX]\geq[TEX]3(xy+yz+zx)[/TEX]\Rightarrow [TEX]9[/TEX]\geq[TEX]3(xy+yz+zx)[/TEX]\Rightarrow[TEX]xy+yz+zx[/TEX]\leq[TEX]3[/TEX]
\Rightarrow[TEX] \frac{1}{xy+yz+zx}[/TEX]\geq[TEX] \frac{1}{3}[/TEX]
ta lai có : [TEX]x^2+y^2+z^2[/TEX]\geq[TEX]xy+yz+zx[/TEX]\Rightarrow[TEX] \frac{1}{x^2+y^2+z^2}[/TEX]\leq[TEX]\frac{1}{xy+yz+zx}[/TEX]
từ đó ta có:
[TEX] \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+zx}\geq \frac{2010}{xy+yz+zx}\geq \frac{2010}{3}=670[/TEX]

 

[vuotlensophan]

Mọt bài nua nha

cho 3 só a,b,c đôi mọt khác nhau.
CM:[TEX]\frac{{a}^{2}}{{(b-c)}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{{(c-a)}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{(a-b)}^{2}}[/TEX]\geq2

 

[khanh_ndd]

cho 3 só a,b,c đôi mọt khác nhau.
CM:[TEX]\frac{{a}^{2}}{{(b-c)}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{{(c-a)}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{(a-b)}^{2}}[/TEX]\geq2

đặt [TEX]\frac{a}{b-c}=x,\frac{b}{c-a}=y,\frac{c}{a-b}=z[/TEX]

ta luôn có [TEX]x^2+y^2+z^2\geq -2(xy+yz+zx)[/TEX]

và [TEX](1+x)(1+y)(1+z)=-(1-x)(1-y)(1-z)\Rightarrow xy+yz+zx=-1[/TEX]
\Rightarrow đpcm

 

[vuotlensophan]

Cmr

[TEX]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})}^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a}[/TEX]

 

[01263812493]

[TEX]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})}^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a}[/TEX]

[TEX]\blue VT= \frac{c^2}{c^2(a+b)}+ \frac{a^2}{a^2(b+c)}+\frac{b^2}{b^2(c+a)}+ \frac{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2abc} \geq \frac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{\sum a^2(b+c)+2abc}=VP[/TEX]

 

[linh3t_iu_anhdragon]

Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn xyz = 1 .

C/m :

[TEX]\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y} + 2z\sqrt{z}}[/TEX] + [TEX]\frac{y^2(x+z)}{z\sqrt{z} + 2x\sqrt{x}}[/TEX] + [TEX]\frac{z^2(y+x)}{2y\sqrt{y} + x\sqrt{x}}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] 2

Khó vãi anh em à .

 

[girltoanpro1995]

Ba số dương x,y,z thỏa: [TEX]\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=6[/TEX]
Xét bt: [TEX]P=x+y^2+z^3[/TEX]
a) Prove: [TEX]P\geq x+2y+3z-3[/TEX]
b) Tìm minP.

 

[viet_tranmaininh]

Ba số dương x,y,z thỏa: [TEX]\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=6[/TEX]
Xét bt: [TEX]P=x+y^2+z^3[/TEX]
a) Prove: [TEX]P\geq x+2y+3z-3[/TEX]
b) Tìm minP.

Giải:
Cosi:
a)[TEX]x^3+1+1\geq3x; y^2+1\geq2y\Rightarrow P+3\geq x+2y+3z \Rightarrow ......[/TEX]
b)Ta có [TEX](x+\frac{1}{x}) +2(y+\frac{1}{y}) +3(z+\frac{1}{z})\geq12[/TEX]
\RightarrowP\geq3

 

[bananamiss]

Ba số dương x,y,z thỏa: [TEX]\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=6[/TEX]
Xét bt: [TEX]P=x+y^2+z^3[/TEX]
a) Prove: [TEX]P\geq x+2y+3z-3[/TEX]
b) Tìm minP.

[TEX]P=x+(y^2+1)+(z^3+1+1+1)-3 \geq x+2y+3z-3[/TEX]

b,

[TEX]\Rightarrow 6P \geq (\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z})(x+2y+3z)-18[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 6P \geq (\frac{1}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}.\sqrt{2y}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{z}}\sqrt{3z} )^2-18 \ (Cauchy-Schwarz )[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 6P \geq 18 \Leftrightarrow P \geq 3[/TEX]

p/s: oh my god, cậu kia làm rồi =((

 

[nhockthongay_girlkute]

Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn xyz = 1 .

C/m :

[TEX]P=\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y} + 2z\sqrt{z}}[/TEX] + [TEX]\frac{y^2(x+z)}{z\sqrt{z} + 2x\sqrt{x}}[/TEX] + [TEX]\frac{z^2(y+x)}{2y\sqrt{y} + x\sqrt{x}}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] 2

Khó vãi anh em à .

 

[vuotlensophan]

Tim MIN

P=[TEX]\frac{{x}^{2}}{y+z}+\frac{{y}^{2}}{z+x}+\frac{{z}^{2}}{x+y}[/TEX].
( x,y,z >0 và x+y+z\geq4)

 

[vuotlensophan]

P=[TEX]\frac{{x}^{2}}{y+z}+\frac{{y}^{2}}{z+x}+\frac{{z}^{2}}{x+y}[/TEX].
( x,y,z >0 và x+y+z\geq4)

giai gium cai đi

@};-@};-@};-@};-@};-@};-@};-@};-

 

[huu_thuong]

giai gium cai đi

@};-@};-@};-@};-@};-@};-@};-@};-

min=2 (sử dụng côsi mở rôg ).......................................