Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[bananamiss]

Cho a,b,c là 3 số thực dương,chứng minh rằng
[TEX] (a-1)^3+(b-1)^3(c-1)^3 \geq \frac{-3}{4} [/TEX]

her her...
đề cậu viết thiếu dấu "+" kìa )
thiếu cả a+b+c=3
tuyển sinh năm trước tỉnh TB :\">

[TEX]dat \ \left{\begin{a-1=x}\\{b-1=y}\\{c-1=z[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \left{\begin{x,y,z \ \geq -1}\\{x+y+z=0[/TEX]

xét

[TEX]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)=(x+1)(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}(x+1)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^3+1-\frac{3}{4}(x+1)=x^3-\frac{3}{4}x+\frac{1}{4} \geq (x+1)(x-\frac{1}{2})^2 \geq 0 \ ( do \ x \geq -1 )[/TEX]

tương tự

[TEX] y^3-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4} \geq 0 [/TEX]

[TEX] z^3-\frac{3}{4}z+\frac{1}{4} \geq 0 [/TEX]

cộng vế ~~~> ^^

 

[kid1412dn]

:| Ừ,mình xin lỗi,mình nhầm
Cho [TEX]x \geq 1 , y \geq 1[/TEX] chứng minh:
[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq\frac{2}{1+xy}[/TEX]

 

[kid1412dn]

:| Ừ,mình xin lỗi,mình nhầm
Cho [TEX]x \geq 1 , y \geq 1[/TEX] chứng minh:
[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq\frac{2}{1+xy}[/TEX]

 

[viet_tranmaininh]

:| Ừ,mình xin lỗi,mình nhầm
Cho [TEX]x \geq 1 , y \geq 1[/TEX] chứng minh:
[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq\frac{2}{1+xy}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\geq 0[/TEX]
Biến đổi, quy đồng được[TEX](x-y)^2+(xy-1)\geq 0[/TEX]
(đúng do x \geq 1 , y \geq 1)

 

[viet_tranmaininh]

:| Ừ,mình xin lỗi,mình nhầm
Cho [TEX]x \geq 1 , y \geq 1[/TEX] chứng minh:
[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq\frac{2}{1+xy}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\geq 0[/TEX]
Biến đổi, quy đồng được[TEX](x-y)^2+(xy-1)\geq 0[/TEX]
(đúng do x \geq 1 , y \geq 1)

 

[quan8d]

Một bài cực trị thi vào lớp chuyên Toán Phan Bội Châu , Nghệ An , năm học 2010-2011:
Cho a,b,c không âm thoả mãn : [TEX]a+b+c = 3[/TEX] . Tìm Max :
P = [TEX]a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}[/TEX]

 

[quan8d]

Một bài cực trị thi vào lớp chuyên Toán Phan Bội Châu , Nghệ An , năm học 2010-2011:
Cho a,b,c không âm thoả mãn : [TEX]a+b+c = 3[/TEX] . Tìm Max :
P = [TEX]a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}[/TEX]

 

[overlife]

yeah!

Cho a,b,c là các số dương thoả mãn thoả mãn abc=1.CMR:
[TEX]\frac{a}{2a^2+7}+\frac{b}{2b^2+7}+\frac{c}{2c^2+7}\leq \frac{1}{3}[/TEX]

 

[overlife]

yeah!

Cho a,b,c là các số dương thoả mãn thoả mãn abc=1.CMR:
[TEX]\frac{a}{2a^2+7}+\frac{b}{2b^2+7}+\frac{c}{2c^2+7}\leq \frac{1}{3}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Một bài cực trị thi vào lớp chuyên Toán Phan Bội Châu , Nghệ An , năm học 2010-2011:
Cho a,b,c không âm thoả mãn : [TEX]a+b+c = 3[/TEX] . Tìm Max :
P = [TEX]a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}[/TEX]

đặt [TEX]\sqrt{a}=x[\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z \Rightarrow x,y,z \geq 0,x^2+y^2+z^2=3[/TEX]
\Rightarrow [TEX]P=x^2y+y^2z+z^2x-xyz[/TEX]
ko làm mất tính tổng quát ta giả sử :[TEX]z \geq z \geq y[/TEX]
\Rightarrow [TEX]y(x-y)(x-z) \leq 0 \Leftrightarrow x^2y+y^2z \leq xyz+xy^2 \Rightarrow P \leq x(y^2+z^2)=x(3-x^2) =2-(x-1)^2(x+2) \leq 2 [/TEX]
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
hoặc a=1; b=2;c=2 và các hoán vị

 

[bboy114crew]

Một bài cực trị thi vào lớp chuyên Toán Phan Bội Châu , Nghệ An , năm học 2010-2011:
Cho a,b,c không âm thoả mãn : [TEX]a+b+c = 3[/TEX] . Tìm Max :
P = [TEX]a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}[/TEX]

đặt [TEX]\sqrt{a}=x[\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z \Rightarrow x,y,z \geq 0,x^2+y^2+z^2=3[/TEX]
\Rightarrow [TEX]P=x^2y+y^2z+z^2x-xyz[/TEX]
ko làm mất tính tổng quát ta giả sử :[TEX]z \geq z \geq y[/TEX]
\Rightarrow [TEX]y(x-y)(x-z) \leq 0 \Leftrightarrow x^2y+y^2z \leq xyz+xy^2 \Rightarrow P \leq x(y^2+z^2)=x(3-x^2) =2-(x-1)^2(x+2) \leq 2 [/TEX]
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
hoặc a=1; b=2;c=2 và các hoán vị

 

[dandoh221]

đặt [TEX]\sqrt{a}=x[\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z \Rightarrow x,y,z \geq 0,x^2+y^2+z^2=3[/TEX]
\Rightarrow [TEX]P=x^2y+y^2z+z^2x-xyz[/TEX]
ko làm mất tính tổng quát ta giả sử :[TEX]z \geq z \geq y[/TEX]
\Rightarrow [TEX]y(x-y)(x-z) \leq 0 \Leftrightarrow x^2y+y^2z \leq xyz+xy^2 \Rightarrow P \leq x(y^2+z^2)=x(3-x^2) =2-(x-1)^2(x+2) \leq 2 [/TEX]
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
hoặc a=1; b=2;c=2 và các hoán vị

Theo bạn thì bài này phải giả sử x nằm giữa y và z.đây là phương pháp chuyển vị trong cm bdt , bằng cách đưa về [TEX]x.xy +y.yz + z.zx \le x.yz + y.xy + z.zx[/TEX]

 

[dandoh221]

đặt [TEX]\sqrt{a}=x[\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z \Rightarrow x,y,z \geq 0,x^2+y^2+z^2=3[/TEX]
\Rightarrow [TEX]P=x^2y+y^2z+z^2x-xyz[/TEX]
ko làm mất tính tổng quát ta giả sử :[TEX]z \geq z \geq y[/TEX]
\Rightarrow [TEX]y(x-y)(x-z) \leq 0 \Leftrightarrow x^2y+y^2z \leq xyz+xy^2 \Rightarrow P \leq x(y^2+z^2)=x(3-x^2) =2-(x-1)^2(x+2) \leq 2 [/TEX]
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
hoặc a=1; b=2;c=2 và các hoán vị

Theo bạn thì bài này phải giả sử x nằm giữa y và z.đây là phương pháp chuyển vị trong cm bdt , bằng cách đưa về [TEX]x.xy +y.yz + z.zx \le x.yz + y.xy + z.zx[/TEX]

 

[quan8d]

ko làm mất tính tổng quát ta giả sử :[TEX]z \geq z \geq y[/TEX]
\Rightarrow [TEX]y(x-y)(x-z) \leq 0 \Leftrightarrow x^2y+y^2z \leq xyz+xy^2 \Rightarrow P \leq x(y^2+z^2)=x(3-x^2) =2-(x-1)^2(x+2) \leq 2 [/TEX]
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
hoặc a=1; b=2;c=2 và các hoán vị

Vấn đề là ở đây . Mình cũng làm ra cách này nhưng việc giả sử [TEX]z \geq x \geq y[/TEX] có đúng không . Và kết quả là [TEX]a = b = c = 1 hoặc a = 2 , b = 1 , c = 0[/TEX] chứ không có hoán vị

 

[quan8d]

ko làm mất tính tổng quát ta giả sử :[TEX]z \geq z \geq y[/TEX]
\Rightarrow [TEX]y(x-y)(x-z) \leq 0 \Leftrightarrow x^2y+y^2z \leq xyz+xy^2 \Rightarrow P \leq x(y^2+z^2)=x(3-x^2) =2-(x-1)^2(x+2) \leq 2 [/TEX]
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
hoặc a=1; b=2;c=2 và các hoán vị

Vấn đề là ở đây . Mình cũng làm ra cách này nhưng việc giả sử [TEX]z \geq x \geq y[/TEX] có đúng không . Và kết quả là [TEX]a = b = c = 1 hoặc a = 2 , b = 1 , c = 0[/TEX] chứ không có hoán vị

 

[kegiaumat113]

Cho x,y thuôc r thoả mãn x+y=2.chưng minh rằng : P=(x^3+2)(y^3+2) =< 36

 

[kegiaumat113]

Cho x,y thuôc r thoả mãn x+y=2.chưng minh rằng : P=(x^3+2)(y^3+2) =< 36

 

[po_tay_com]

BDT khó vs

chứng minh với mọi a,b,c\geq0 thì
[TEX]\frac{ab^2(bc-1)}{a^3c+b^2}+[/TEX][TEX]\frac{bc^2(ca-1)}{b^3a+c^2}[/TEX][TEX]+\frac{ca^2(ab-1)}{c^3b+a^2}[/TEX][TEX]\geq \frac{(a+b+c)(abc-1)}{abc+1}[/TEX]

 

[po_tay_com]

BDT khó vs

chứng minh với mọi a,b,c\geq0 thì
[TEX]\frac{ab^2(bc-1)}{a^3c+b^2}+[/TEX][TEX]\frac{bc^2(ca-1)}{b^3a+c^2}[/TEX][TEX]+\frac{ca^2(ab-1)}{c^3b+a^2}[/TEX][TEX]\geq \frac{(a+b+c)(abc-1)}{abc+1}[/TEX]

 

[locxoaymgk]

bài trên dc phát triển từ BDT sau :
[TEX] \frac{a^3+b^3}{a^2+kb^2}[/TEX][TEX]+\frac{b^3+c^3}{b^2+kc^2}+[/TEX][TEX]\frac{c^3+a^3}{c^2+ka^2}[/TEX]\geq [TEX]\frac{2(a+b+c)}{k+2}[/TEX]
chỉ cần thay [TEX]k=\frac{1}{abc} [/TEX] thì ta sẽ được ngay BDT ban đầu......................