Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[khanh_ndd]

cho xy+yz+xz=3
chứng min

[TEX]\frac{1}{2xyz} + \frac{1}{2xyz} + \frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)} \ge \frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{2}{(xz+yz)(yx+zx)(zy+xy)} }\ge \frac32[/TEX]

zzz
----------------------------------------------------------------

 

[herrycuong_boy94]

cho a,b,c >0 thoả mãn abc=1. tìm min

 

[herrycuong_boy94]

cho a,b,c >0 thoả mãn abc=1. tìm min

 

[viet_tranmaininh]

Kí hiệu [TEX]p_n[/TEX] là số nguyên tố thứ n ( n\geq 2)
C/m:
[TEX]\frac{p_1 +p_2+.....+p_n}{n} \leq p_n - \frac{n^2 -n -1}{n}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi nào ?

 

[viet_tranmaininh]

Kí hiệu [TEX]p_n[/TEX] là số nguyên tố thứ n ( n\geq 2)
C/m:
[TEX]\frac{p_1 +p_2+.....+p_n}{n} \leq p_n - \frac{n^2 -n -1}{n}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi nào ?

 

[khanh_ndd]

cho a,b,c >0 thoả mãn abc=1. tìm min

đặt [TEX]a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}[/TEX] ta sẽ cm
[TEX]VT= \sum \frac{y^2}{(x+y)^2}+\frac{2xyz}{(x+y)(y+x)(z+x)}-1\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{y^2}{(x+y)^2}-\sum \frac{xy}{(y+z)(z+x)}\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2y^4+y^2z^4+z^2x^4-3x^2y^2z^2}{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}\geq 0[/TEX] (luôn đúng theo AM-GM)
dấu = khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[khanh_ndd]

cho a,b,c >0 thoả mãn abc=1. tìm min

đặt [TEX]a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}[/TEX] ta sẽ cm
[TEX]VT= \sum \frac{y^2}{(x+y)^2}+\frac{2xyz}{(x+y)(y+x)(z+x)}-1\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{y^2}{(x+y)^2}-\sum \frac{xy}{(y+z)(z+x)}\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2y^4+y^2z^4+z^2x^4-3x^2y^2z^2}{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}\geq 0[/TEX] (luôn đúng theo AM-GM)
dấu = khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[bboy114crew]

[TEX] (a+b+c) . ( \frac 1 {\sqrt {a^2+ab+b^2}}+\frac 1 {\sqrt {b^2+bc+c^2}}+\frac 1 {\sqrt{c^2+ca+ca^2}})\geq 4 + \frac 2 {\sqrt 3 }[/TEX]

 

[bboy114crew]

[TEX] (a+b+c) . ( \frac 1 {\sqrt {a^2+ab+b^2}}+\frac 1 {\sqrt {b^2+bc+c^2}}+\frac 1 {\sqrt{c^2+ca+ca^2}})\geq 4 + \frac 2 {\sqrt 3 }[/TEX]

 

[bboy114crew]

1 bài hay !! Còn khó hay ko chưa biết )
Cho a;b;c>0!! Chứng minh:
[TEX](a+b+c)^3(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq27a^2b^2c^2[/TEX]

cậu tham khảo cách này nha!
Không mất tính tổng quát , giả sử [tex] a \geq b \geq c[/tex]
Dẫn đến 2 TH:
TH1: [tex] b+c-a \leq 0 [/tex] ( Hiển nhiên đúng)
TH2: [tex] b+c-a \geq 0 [/tex] Đăt
[tex] x= a+b-c ; y=a+c-b; z=b+c-a [/tex]
BĐT trở thành: [tex] 64(x+y+z)^3zyz \leq 27(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2[/tex]
Đăt tiếp [tex] p=x+y+z ; q=xy+xz+yz ; r=xyz [/tex]
BĐT trở thành [tex] 64P^3r \leq 27(pq-r)^2 [/tex]
Chuẩn hóa [tex]r=1 \Rightarrow pq \geq 9[/tex]
BĐT thành [tex] 64p^3 \leq \frac{64}{3}p^2q^2+\frac{17}{3}p^2q^2 -54pq+27[/tex]
[tex] VP \geq 64p^3+\frac{17}{3}p^2q^2 -54pq+27[/tex]
Vậy ta cần CM [tex] \frac{17}{3}p^2q^2 -54pq+27 \geq 0[/tex]
Kết hợp [tex]pq \geq 9[/tex] Xét dấu tam thức bậc 2 là ra
Vây BĐT ban đầu đúng, dấu [tex]''=''[/tex] xảy ra khi [tex]a=b=c[/tex]

 

[bboy114crew]

1 bài hay !! Còn khó hay ko chưa biết )
Cho a;b;c>0!! Chứng minh:
[TEX](a+b+c)^3(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq27a^2b^2c^2[/TEX]

cậu tham khảo cách này nha!
Không mất tính tổng quát , giả sử [tex] a \geq b \geq c[/tex]
Dẫn đến 2 TH:
TH1: [tex] b+c-a \leq 0 [/tex] ( Hiển nhiên đúng)
TH2: [tex] b+c-a \geq 0 [/tex] Đăt
[tex] x= a+b-c ; y=a+c-b; z=b+c-a [/tex]
BĐT trở thành: [tex] 64(x+y+z)^3zyz \leq 27(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2[/tex]
Đăt tiếp [tex] p=x+y+z ; q=xy+xz+yz ; r=xyz [/tex]
BĐT trở thành [tex] 64P^3r \leq 27(pq-r)^2 [/tex]
Chuẩn hóa [tex]r=1 \Rightarrow pq \geq 9[/tex]
BĐT thành [tex] 64p^3 \leq \frac{64}{3}p^2q^2+\frac{17}{3}p^2q^2 -54pq+27[/tex]
[tex] VP \geq 64p^3+\frac{17}{3}p^2q^2 -54pq+27[/tex]
Vậy ta cần CM [tex] \frac{17}{3}p^2q^2 -54pq+27 \geq 0[/tex]
Kết hợp [tex]pq \geq 9[/tex] Xét dấu tam thức bậc 2 là ra
Vây BĐT ban đầu đúng, dấu [tex]''=''[/tex] xảy ra khi [tex]a=b=c[/tex]

 

[thatki3m_kut3]

Giúp mình bài này nhé, ko biết bài này đã đăng chưa.
[TEX]Cho a, b, c la 3 so duong thoa man a+b+c=3. chung minh: \frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[thatki3m_kut3]

Giúp mình bài này nhé, ko biết bài này đã đăng chưa.
[TEX]Cho a, b, c la 3 so duong thoa man a+b+c=3. chung minh: \frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[0915549009]

Giúp mình bài này nhé, ko biết bài này đã đăng chưa.
[TEX]Cho a, b, c la 3 so duong thoa man a+b+c=3. chung minh: \frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\sum \frac{a}{1+b^2} = \sum a-\frac{ab^2}{1+b^2} \geq \sum a-\frac{ab}{2} \geq\frac{3}{2}[/TEX]

 

[0915549009]

Giúp mình bài này nhé, ko biết bài này đã đăng chưa.
[TEX]Cho a, b, c la 3 so duong thoa man a+b+c=3. chung minh: \frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\sum \frac{a}{1+b^2} = \sum a-\frac{ab^2}{1+b^2} \geq \sum a-\frac{ab}{2} \geq\frac{3}{2}[/TEX]

 

[thatki3m_kut3]

Mình ko hiểu đoạn này lắm, giải thích cho mình vs nhé
[TEX] \sum {a-\frac{ab}{2}} \geq\frac{3}{2}[/TEX]
là sao, bạn chứng minh rõ cho mình vs nhé.

 

[thatki3m_kut3]

Mình ko hiểu đoạn này lắm, giải thích cho mình vs nhé
[TEX] \sum {a-\frac{ab}{2}} \geq\frac{3}{2}[/TEX]
là sao, bạn chứng minh rõ cho mình vs nhé.

 

[bboy114crew]

Mình ko hiểu đoạn này lắm, giải thích cho mình vs nhé
[TEX] \sum {a-\frac{ab}{2}} \geq\frac{3}{2}[/TEX]
là sao, bạn chứng minh rõ cho mình vs nhé.

chỗ đó là thế này!
ta có:
[TEX] \sum {a-\frac{ab}{2}}=a+b+c- \frac{ab+bc+ac}{2} \geq 3- \frac{(a+b+c)^2}{6} =\frac{3}{2}[/TEX]
(áp dụng BĐT [TEX](a+b+c)^2 \geq 3(ab+cb+ac)[/TEX]và a+b+c=3)

 

[bboy114crew]

Mình ko hiểu đoạn này lắm, giải thích cho mình vs nhé
[TEX] \sum {a-\frac{ab}{2}} \geq\frac{3}{2}[/TEX]
là sao, bạn chứng minh rõ cho mình vs nhé.

chỗ đó là thế này!
ta có:
[TEX] \sum {a-\frac{ab}{2}}=a+b+c- \frac{ab+bc+ac}{2} \geq 3- \frac{(a+b+c)^2}{6} =\frac{3}{2}[/TEX]
(áp dụng BĐT [TEX](a+b+c)^2 \geq 3(ab+cb+ac)[/TEX]và a+b+c=3)

 

[bboy114crew]

Một bài dễ anh em chém tạm!
ho a,b,c >0 thoa a+b+c = 1 cmr:
[tex]\frac{bc}{\sqrt{a+bc}} +\frac{ca}{\sqrt{b+ca}} +\frac{ab}{\sqrt{c+ab}} \le\frac{1}{2}[/tex]