Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[tell_me_goobye]

Cho a, b, c, d >0. CMR

[TEX](1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\geq (1+ \sqrt[4]{abcd})^4[/TEX]

cái này chính là HOLDER

 

[duynhan1]

:khi:
đây là 1 bdt khá đẹp và quen thuộc [TEX]\frac{(m+n)(n+p)(p+m)}{8}\geq \frac{(m+n+p)(mn+np+pm)}{9}[/TEX]
chứng minh cái này chỉ cần nhân tung toé rồi AM-GM

Ta có hằng đẳng thức :
[TEX](a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc [/TEX]

[TEX]BDT \Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 9abc [/TEX]

Đúng theo AM-GM

[TEX]\Leftrightarrow 9+\frac{18}{m+n+p}\geq mn+np+pm[/TEX](*)(*)(*)
mặt khác cũng từ gt ta dễ cm được [TEX]x+y+z\geq 6\Rightarrow 12\geq 9+\frac{18}{m+n+p}\geq mn+np+pm\geq 3\sqrt[3]{m^2n^2p^2}\Rightarrow mnp\leq 8\Rightarrow [/TEX] đpcm
dấu = khi [TEX]a=b=c=3[/TEX]

bài này cũng tt, để ý đk chút

(*)(*)(*) [TEX]\Rightarrow 9 + \frac{6}{\sqrt[3]{mnp} } \ge 3 \sqrt[3]{m^2n^2p^2} [/TEX]

[TEX] t= \sqrt[3]{mnp}[/TEX]

[TEX]9t + 6 \ge 3 t^2 \\ \Leftrightarrow 3(t-2)(t+1)^2 \le 0 \\ \Leftrightarrow t \le 2 \\ \Leftrightarrow mnp \le 8 [/TEX]

 

[khanh_ndd]

hjc. Mọi người thử làm bài này coi
Xét xem khẳng định sau đây đúng hay sai:
Với \forall m, n nguyên dương đều có :
[TEX]|\frac{m}{n} - sqrt{2}| \geq \frac{1}{n^2( \sqrt{3} +\sqrt{2})}[/TEX]

P/s: Đề sư phạm 97-98 (nếu có đáp án cũng post cho mình nhé!8-|8-|8-|)

Đáp án:
Ta chứng minh khẳng định đã cho là đúng
Đặt [TEX]A=|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|[/TEX] ta có:
[TEX]A=\frac{|m-n\sqrt{2}|}{n}=\frac{|m^2-2n^2|}{n(m+n\sqrt{2})}[/TEX]
Vì [TEX]m^2[/TEX]#[TEX]2n^2[/TEX] nên [TEX]|m^2-2n^2|\geq 1[/TEX] và [TEX]A\geq \frac{1}{n(m+n\sqrt{2})}[/TEX]
Nếu [TEX]m\geq n\sqrt{3}[/TEX] thì [TEX]A\geq |\sqrt{3}-\sqrt{2}|=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\geq \frac{1}{n^2(\sqrt{3}+sqrt{2})}[/TEX]
Nếu [TEX]m\leq n\sqrt{3}[/TEX] thì [TEX]A\geq \frac{1}{n(n\sqrt{3}+n\sqrt{2})}=\frac{1}{n^2(\sqrt{3}+sqrt{2})} [/TEX]

 

[bananamiss]

hjc. Mọi người thử làm bài này coi
Xét xem khẳng định sau đây đúng hay sai:
Với \forall m, n nguyên dương đều có :
[TEX]|\frac{m}{n} - sqrt{2}| \geq \frac{1}{n^2( \sqrt{3} +\sqrt{2})}[/TEX]

P/s: Đề sư phạm 97-98 (nếu có đáp án cũng post cho mình nhé!8-|8-|8-|)

cách khác

[TEX]\tex{vi` m, n \in N^* \Rightarrow |\frac{m}{n}-\sqrt{2}| \geq | \frac{1}{n} -\sqrt{2}| [/TEX]

cần cm

[TEX]\tex{ |\frac{1}{n}-\sqrt{2}| \geq \frac{1}{n^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})} \\ \Leftrightarrow \sqrt{2}-\frac{1}{n} \geq \frac{\sqrt{3}-sqrt{2}}{n^2} (*) (do n \in N^*)[/TEX]

đặt

[TEX]\tex{ \frac{1}{n}=t ( 0 < t \leq 1)[/TEX]

[TEX]\tex{ (*) \Leftrightarrow (\sqrt{3}-\sqrt{2})t^2+t-\sqrt{2} \leq 0 \\ \Leftrightarrow (\sqrt{3}-\sqrt{2})(t^2+1) \leq \sqrt{3} \\ 0< t \leq 1 \Rightarrow t^2 +1 \leq 2 \\ \Rightarrow 2(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \leq \sqrt{3} ( luon dung)[/TEX]

 

[01263812493]

[TEX]\blue Let \ a,b,c \geq 0 \ and \ a+b+c=1. \ Prove:[/TEX]
[TEX]\blue \sum a^2 +\sqrt{12abc} \leq 1[/TEX]

 

[bboy114crew]

[TEX]\blue Let \ a,b,c \geq 0 \ and \ a+b+c=1. \ Prove:[/TEX]
[TEX]\blue \sum a^2 +\sqrt{12abc} \leq 1[/TEX]

ta có:
[TEX]12abc =12(a+b+c)abc \leq 4(ac+bc+ac)^2 \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[01263812493]

[TEX]\blue Let \ a,b,c>0. \ Prove:[/TEX]
[TEX]\blue 2- \frac{\sum ab}{2\sum a^2} \leq \sum \frac{a}{b+c} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sum a^2}{\sum ab}[/TEX]

 

[ohmymath]

1 bài hay !! Còn khó hay ko chưa biết )
Cho a;b;c>0!! Chứng minh:
[TEX](a+b+c)^3(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq27a^2b^2c^2[/TEX]

 

[vodichhocmai]

[TEX]\(1+a\)\(1+b\)\(1+c\)\(1+d\)=\[\(1+\sqrt{ab}\)^2+\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)^2\]\[\(1+\sqrt{cd}\)^2+\(\sqrt{c}-\sqrt{d}\)^2\][/TEX]

[TEX]=\[\(1+\sqrt[4]{abcd}\)^2+\(\sqrt[4]{ab}- \sqrt[4]{cd}\)^2 \]^2+\[\(1+\sqrt{cd}\)\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)\]^2+\[\(1+\sqrt{ab}\)\(\sqrt{c}-\sqrt{d}\)\]^2[/TEX]

[TEX]=\(1+\sqrt[4]{abcd}\)^4+\(\sqrt[4]{ab}- \sqrt[4]{cd}\)^4+ 2\[\(1+\sqrt[4]{abcd}\)\(\sqrt[4]{ab}-\sqrt[4]{cd}\)\]^2+\[\(1+\sqrt{cd}\)\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)\]^2+\[\(1+\sqrt{ab}\)\(\sqrt{c}-\sqrt{d}\)\]^2[/TEX]

cái này chính là HOLDER

[TEX]\blue VT=1+a+b+c+d+ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+acd+bcd+abd \geq 1+4\sqrt[4]{abcd}+6\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}+4\sqrt[4]{a^3b^3c^3d^3}+abcd=(1+\sqrt[4]{abcd})^4 \rightarrow dpcm[/TEX]

Quả thật Tôi đả già rồi . Bất đẳng thức dễ vậy mà Tôi chứng minh cùi bắp quá

 

[khanh_ndd]

[TEX]\blue Let \ a,b,c>0. \ Prove:[/TEX]
[TEX]\blue 2- \frac{\sum ab}{2\sum a^2} \leq \sum \frac{a}{b+c} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sum a^2}{\sum ab}[/TEX]

bdt tương đương [TEX]\frac{1}{2}-\frac{\sum ab}{2\sum a^2} \leq \sum \frac{a}{b+c} -\frac{3}{2}\leq \frac{\sum a^2}{\sum ab}-1[/TEX]
biến đổi thành tổng bình phương
[TEX]\sum \frac{a}{b+c} -\frac{3}{2}=\sum \frac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{2}-\frac{\sum ab}{2\sum a^2}=\frac{1}{4}.\frac{\sum (a-b)^2}{\sum a^2} [/TEX]
[TEX]\frac{\sum a^2}{\sum ab}-1=\frac{\sum (a-b)^2}{2\sum ab}[/TEX]
BDT bên trái [TEX]\sum \frac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}\geq \frac{1}{2}.\frac{\sum (a-b)^2}{\sum a^2}\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+c)(b+c)}-\frac{1}{2})\geq 0[/TEX] khi đó cần cm [TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+c)(b+c)}-\frac{1}{2}\geq 0\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq (a+c)(b+c)[/TEX] mà cái này luôn đúng
BDT bên phải [TEX]\frac{\sum (a-b)^2}{2\sum ab}\geq \sum \frac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(1-\frac{ab+bc+ca}{(a+c)(b+c)})\geq 0\Leftrightarrow 1-\frac{ab+bc+ca}{(a+c)(b+c)}\geq 0\Leftrightarrow (a+c)(b+c)\geq ab+bc+ca[/TEX] (đúng)
\Rightarrow đpcm dấu = khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]
:khi::khi::khi::khi::khi::khi:

 

[01263812493]

Lam Sơn Thanh Hóa

[TEX]\blue x,y \in R \ and \ x^3+y^3=-2. \ Prove: \ -2 \leq x+y< 0[/TEX]

 

[pampam_kh]

Bài 1: Cho a, b, c>0 thoả a+ b+ c=6.
Tìm min [TEX]B = \frac{1}{a^2+4} + \frac{1}{b^2+4} + \frac{1}{c^2+4}[/TEX]

Bài 2: Cho hằng số k >0, Các số dương x, y, z thoả x+ y+ z= 3k. Tìm min

[TEX]C= \frac{1}{x^2 + k^2} + \frac{1}{y^2 + k^2} + \frac{1}{z^2 + k^2}[/TEX]

[TEX]D= \frac{x^3}{x^2 + y^2} + \frac{y^3}{y^2 + z^2} + \frac{z^3}{z^2 + x^2}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Cho các số a,b,c là độ dài ba cạnh BC,AC,AB của tam giác ABC còn A,B,C là số đo các góc A,B,C của tam giác ABC.CMR:
[tex]60^0 \leq \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} \leq 90^0[/tex]

 

[01263812493]

Bài 1: Cho a, b, c>0 thoả a+ b+ c=6.
Tìm min [TEX]B = \frac{1}{a^2+4} + \frac{1}{b^2+4} + \frac{1}{c^2+4}[/TEX]

[TEX]\blue B=\sum \frac{1}{a^2+4} \rightarrow 4B=\sum \frac{4}{a^2+4}[/TEX]
[TEX]\blue \rightarrow 3-4B=\sum \frac{a^2}{a^2+4} \leq \sum \frac{a}{4}=\frac{6}{4} [/TEX]
[TEX]\blue \rightarrow B \geq \frac{1}{4}(3-\frac{3}{2})=\frac{3}{8}[/TEX]
[TEX]\blue \leftrightarrow Min= \frac{3}{8} \Leftrightarrow a=b=c=2[/TEX]

 

[khanh_ndd]

Bài 2: Cho hằng số k >0, Các số dương x, y, z thoả x+ y+ z= 3k. Tìm min

[TEX]C= \frac{1}{x^2 + k^2} + \frac{1}{y^2 + k^2} + \frac{1}{z^2 + k^2}[/TEX]

Sử sụng AM-GM ngược dấu
[TEX]\frac{1}{x^2 + k^2}=\frac{1}{k^2}(1-\frac{x^2}{x^2+k^2})\geq \frac{1}{k^2}(1-\frac{x^2}{2xk})=\frac{1}{k^2}(1-\frac{x}{2k})[/TEX]
làm tt sẽ có [TEX]MinA=\frac{3}{2k^2}[/TEX]

[TEX]D= \frac{x^3}{x^2 + y^2} + \frac{y^3}{y^2 + z^2} + \frac{z^3}{z^2 + x^2}[/TEX]

[TEX]\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\geq x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{y}{2}[/TEX]
tt [TEX]\Rightarrow MinA=\frac{3k}{2}[/TEX]

 

[pampam_kh]

Bài 1

a. Cho a, b >0 CMR:
[TEX]\frac{1}{1+ a^2} + \frac{1}{1+b^2} \geq \frac{2}{1+ab}[/TEX]

b. Cho a, b, c, d >0 thoả abcd=1
Tìm min [TEX]B = \frac{1}{1+ a^2} + \frac{1}{1+b^2} + \frac{1}{1+ c^2} + \frac{1}{1+d^2} [/TEX]

Bài 2:Cho ab+bc+ca=10
Tìm min[tex]A= 4a^2+4b^2 +c^2[/tex]

 

[khanh_ndd]

Bài 1

a. Cho a, b >0 CMR:
[TEX]\frac{1}{1+ a^2} + \frac{1}{1+b^2} \geq \frac{2}{1+ab}[/TEX]

b. Cho a, b, c, d >0 thoả abcd=1
Tìm min [TEX]B= \frac{1}{1+ a^2} + \frac{1}{1+b^2} + \frac{1}{1+ c^2} + \frac{1}{1+d^2} [/TEX]

Bài 2:Cho ab+bc+ca=10
Tìm min[tex]A= 4a^2+4b^2 +c^2[/tex]

1.
a, cái này đơn giản bạn chỉ cần quy đồng và chuyển vế là ok
b,sử dụng bdt câu a
[TEX]B\geq \frac{2}{1+ab}+\frac{2}{1+cd}\geq \frac{4}{1+\sqrt{abcd}}=2[/TEX]
2.không biết bạn có gõ nhầm đề không chứ nếu theo đề trên thì....
Áp dụng AM-GM
[TEX]\frac{-1+\sqrt{33}}{4}(a^2+b^2)\geq \frac{-1+\sqrt{33}}{2}ab[/TEX]
[TEX]\frac{17-\sqrt{33}}{4}a^2+\frac{1}{2}c^2\geq 2\sqrt{\frac{17-\sqrt{33}}{8}}ac=\frac{-1+\sqrt{33}}{2}ac[/TEX]
[TEX]\frac{17-\sqrt{33}}{4}b^2+\frac{1}{2}c^2\geq 2\sqrt{\frac{17-\sqrt{33}}{8}}bc=\frac{-1+\sqrt{33}}{2}bc[/TEX]
cộng theo vế [TEX]\Rightarrow A\geq 5(-1+\sqrt{33})[/TEX] dấu = khi.....:khi (163)::khi (184):

 

[01263812493]

1 thường 1 không thường

[TEX]\blue 1) \ x,y,z>1 \ and \ \sum x=xyz. Min: \ P= \frac{y-2}{x^2}+ \frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}[/TEX]
[TEX]\blue 2) \ Min \ Q=\sqrt{2x^2+2x+1}+\sqrt{2x^2-4x+4}=?[/TEX]

 

[viet_tranmaininh]

[TEX]\blue 2) \ Min \ Q=\sqrt{2x^2+2x+1}+\sqrt{2x^2-4x+4}=?[/TEX][/QUOTE]


[TEX]Q=\sqrt{2x^2+2x+1}+\sqrt{2x^2-4x+4}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]Q=\sqrt{(x+1)^2+x^2}+\sqrt{(x-2)^2+x^2}[/TEX]
[TEX]Q \geq |x+1| +|2-x| \geq3[/TEX]
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=0

 

[nhockthongay_girlkute]

Câu 5 đề thi thử THPT chuyên ngoại ngữ
cho [TEX] \left{x,y,z>0\\{x^2+y^2+z^2=1}.\text{ Tim min } A=\sum\frac{x^2y^2}{z^2}[/TEX]