Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[lan8078]

CMR bất đẳng thức sau đúng với mọi số nguyên dương a,b,c
[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}[/TEX] +[TEX]\frac{54abc}{ (a+b+c)^3}[/TEX]\geq 5
cảm ơn ạ

bất đẳng thức trên dc suy ra từ 2 bất đẳng thức sau
[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}[/TEX] +[TEX]\frac{81abc}{ (a+b+c)^3}[/TEX]\geq6 (1)
và
[TEX]\frac{27abc}{ (a+b+c)^3}[/TEX]\leq1
CM cái 1
\Leftrightarrow[TEX]\frac{9(a^3+b^3+c^3)}{9abc}[/TEX] +[TEX]\frac{81abc}{ (a+b+c)^3}[/TEX]\geq[TEX]\frac{(a+b+c)^3}{9abc}[/TEX] +[TEX]\frac{81abc}{ (a+b+c)^3}[/TEX]\geq6
áp dụng bunhia và côsin
cái còn lại thì đơn giản
giải bừa ko bít đúng sai thông cảm

 

[conami]

Cho x,y,z dương thoả mãn x+y+z=3.
Tìm GTLN hoặc GTNN của A=[TEX]x^{2}y^{3}z^{2011}[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

[TEX]1)P=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd[/TEX] và [TEX]ad-bc=1. CMR \ P \geq \sqrt{3}[/TEX]
[TEX]2) x,y,z>2 , \ \sum \frac{1}{x}=1. CMR: \ (x-2)(y-2)(z-2) \leq 1[/TEX]

1;ta có [TEX]\sqrt{1+(ac+bd)^2}=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\leq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2\sqrt{1+(ac+bd)^2}[/TEX]
Vậy ta cần chứng minh [TEX]2\sqrt{1+(ac+bd)^2}+ac+bd \geq \sqrt3 (1)[/TEX]
Đặt [TEX]ac+bd=x \text{thi} (1)\Leftrightarrow 2\sqrt{1+x^2}+x\geq \sqrt3[/TEX]
ta có [TEX](2\sqrt{1+x^2}+x)^2=x^2+4+4x^2+4x\sqrt{1+x^2}=(2x+\sqrt{1+x})^2+3\geq 3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow dpcm [/TEX]

 

[pampam_kh]

Cho x, y, z > 0 thoả [TEX] x^2 + y^2 +z^2 =27[/TEX]
Tìm min:

[TEX] A= x^3 +y^3 +z^3[/TEX]

[TEX] B= x^2\sqrt{x} + y^2\sqrt{y} + z^2\sqrt{z}[/TEX]

[TEX]C= x^5 +y^5 +z^5[/TEX]

(Các bạn dùng Côsi cả 3 câu nhé)

 

[khanh_ndd]

Cho x, y, z > 0 thoả [TEX] x^2 + y^2 +z^2 =27[/TEX]
Tìm min:

[TEX] A= x^3 +y^3 +z^3[/TEX]

[TEX] B= x^2\sqrt{x} + y^2\sqrt{y} + z^2\sqrt{z}[/TEX]

[TEX]C= x^5 +y^5 +z^5[/TEX]

(Các bạn dùng Côsi cả 3 câu nhé)

Áp dụng AM-GM
1,[TEX]x^3+x^3+27\geq 3\sqrt[3]{x^3.x^3.27}=9x^2[/TEX] tương tự
[TEX]\Rightarrow 2(x^3+y^3+z^3)+81\geq 9(x^2+y^2+z^2) \Rightarrow A\geq 81[/TEX]
2,[TEX]x^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{x}+9\sqrt{3}\geq 5\sqrt[5]{x^2\sqrt{x}.x^2\sqrt{x}.x^2\sqrt{x}.x^2\sqrt{x}.9\sqrt{3}}=5\sqrt{3}x^2[/TEX]
tương tự [TEX]\Rightarrow B\geq 27\sqrt{3}[/TEX]
3,[TEX] x^5 +x^5+243+243+243\geq 5\sqrt[5]{x^5.x^5.243.243.243}=135x^2[/TEX]
tương tự [TEX]\Rightarrow C\geq 729[/TEX]
dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=z=3

 

[pampam_kh]

Cho x, y, z >0 thoả xyz =1.CMR:

[TEX] \frac{9}{x^2(x+y+z)} + 6[\frac{1}{y^2(x+y+z)+1} +\frac{1}{z^2(x+y+z) +1}] \geq 5[/TEX]

 

[selena142]

các bác giải hộ tớ nhá! iu nhắm
Với \foralla, b, c > 0
cm: [TEX](\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2 \geq (a+ b+ c)(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) [/TEX]

 

[selena142]

tớ nghĩ là thế nài:
[TEX](\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2 \geq 3(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})[/TEX]
rồi mới CM
[TEX]3(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})\geq(a+ b+ c)(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) [/TEX]
nhưg sau đó đến đây thì tịt toàn phần TT

 

[nhockthongay_girlkute]

các bác giải hộ tớ nhá! iu nhắm
Với \foralla, b, c > 0
cm: [TEX](\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2 \geq (a+ b+ c)(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) [/TEX]

[TEX]BDT\Leftrightarrow \sum\frac{a^2}{b^2}+\sum\frac{a}{c}\geq 3+\sum\frac{a}{b}[/TEX]
Ta có [TEX]\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3[/TEX]
[TEX]\frac{a^2}{b^2}+1\geq \frac{2a}{b}[/TEX]
[TEX]\frac{b^2}{c^2}+1\geq \frac{2b}{c}[/TEX]
[TEX]\frac{c^2}{a^2}+1\geq \frac{2c}{a}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sum\frac{a^2}{b^2}+\sum\frac{a}{c}\geq 3+2(\sum\frac{a}{b})-3=(\sum\frac{a}{b})+\sum\frac{a}{b}[/TEX]
Mà [TEX]\sum\frac{a}{b}\geq 3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sum\frac{a^2}{b^2}+\sum\frac{a}{c}\geq 3+\sum\frac{a}{b}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Cho x,y,z dương thoả mãn x+y+z=3.
Tìm GTLN hoặc GTNN của A=[TEX]x^{2}y^{3}z^{2011}[/TEX]

Mình chỉ tìm được GTLN!
áp dụng BĐT AM-GM :
[TEX]3= x+ 3.\frac{y}{3}+2011.\frac{z}{2011} \geq 2015.\sqrt[2015]{\frac{x^{2}y^{3}z^{2011}}{2011^{2011}.3^3}} [/TEX]
\Rightarrow Max

 

[ak48zz]

bdt

Giả sử a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.CMR:
[TEX](\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}) - \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \leq 6[/TEX]

 

[asroma11235]

Giả sử a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.CMR:
[TEX](\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}) - \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \leq 6[/TEX]

giả sử a \geq b \geq c .Đặt [TEX]x=\sqrt[3]{a};y= \sqrt[3]{b} ; z=\sqrt[3]{c}[/TEX]
Ta có : x \geq y \geq z . BDT cần Cm tương đương vs:
[TEX](x+y+z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})-\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz} \leq 6 [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x+y+z)(xy+yz+xz)-(x^3+y^3+z^3) \leq 6xyz[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x^3+y^3+z^3+3xyz \geq x^2y+x^2z +y^2z +z^2x+z^2y \Leftrightarrow x(x^2+yz)+y(y^2+zx)+z(z^2+xy)-x(y^2+zx)-y(x^2+yz)-z(zx+zy)\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x^2+yz)(x-y)+(y^2+zx)(y-x)+z[x(y-z)-z(y-z)]\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x-y)(x^2+yz-y^2-xz)+z(x-z)(y-z) \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x-y)^2(x+y-z)+z(x-z)(y-z) \geq 0[/TEX]
bdt cuối đúng \Rightarrow bdt đầu đúng
Đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow a=b=c \Leftrightarrow tam giác ban đầu đều

 

[khanh_ndd]

Chứng minh rằng: [TEX](a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1) \leq 8[/TEX]
Trong đó a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: [TEX]ab+bc+ac = abc[/TEX]

Đặt [TEX]a-1=x;b-1=y,c-1=z[/TEX] và [TEX]a+b-c-1=m;b+c-a-1=n;c+a-b-1=p[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x+y+z=m+n+p[/TEX]
ta cần cm [TEX]mnp\leq 8[/TEX]
kết hợp gt [TEX]\Rightarrow x+y+z+2=xyz[/TEX] nên ta có
[TEX]x+y+z+2=m+n+p+2=\frac{m+n}{2}+\frac{n+p}{2}+\frac{p+m}{2}+2=\frac{(m+n)(n+p)(p+m)}{8}\geq \frac{(m+n+p)(mn+np+pm)}{9}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 9+\frac{18}{m+n+p}\geq mn+np+pm[/TEX]
mặt khác cũng từ gt ta dễ cm được [TEX]x+y+z\geq 6\Rightarrow 12\geq 9+\frac{18}{m+n+p}\geq mn+np+pm\geq 3\sqrt[3]{m^2n^2p^2}\Rightarrow mnp\leq 8\Rightarrow [/TEX] đpcm
dấu = khi [TEX]a=b=c=3[/TEX]

[TEX]2) x,y,z>2 , \ \sum \frac{1}{x}=1. CMR: \ (x-2)(y-2)(z-2) \leq 1[/TEX]

bài này cũng tt, để ý đk chút

 

[pampam_kh]

Cho a, b, c, d >0. CMR

[TEX](1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\geq (1+ \sqrt[4]{abcd})^4[/TEX]

 

[ohmymath]

Đặt [TEX]a-1=x;b-1=y,c-1=z[/TEX] và [TEX]a+b-c-1=m;b+c-a-1=n;c+a-b-1=p[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x+y+z=m+n+p[/TEX]
ta cần cm [TEX]mnp\leq 8[/TEX]
kết hợp gt [TEX]\Rightarrow x+y+z+2=xyz[/TEX] nên ta có
[TEX]x+y+z+2=m+n+p+2=\frac{m+n}{2}+\frac{n+p}{2}+\frac{p+m}{2}+2=\frac{(m+n)(n+p)(p+m)}{8}\geq \frac{(m+n+p)(mn+np+pm)}{9}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 9+\frac{18}{m+n+p}\geq mn+np+pm[/TEX]
mặt khác cũng từ gt ta dễ cm được [TEX]x+y+z\geq 6\Rightarrow 12\geq 9+\frac{18}{m+n+p}\geq mn+np+pm\geq 3\sqrt[3]{m^2n^2p^2}\Rightarrow mnp\leq 8\Rightarrow [/TEX] đpcm
dấu = khi [TEX]a=b=c=3[/TEX]

bài này cũng tt, để ý đk chút

Mình chưa hiểu chỗ này lắm? [TEX]\geq \frac{(m+n+p)(mn+np+pm)}{9}[/TEX] (sao lại có cái này vậy bạn??)

Còn mình làm thế này! Cách làm hơi thiếu tự nhiên 1 chút ; vì mình vừa thấy 1 bài gần giống trong THTT
Từ giả thiết ~> [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1[/TEX]
~>a;b;c>1
Đặt [TEX]a+b - c - 1 =2x^3; b+c-a-1=2y^3; c+a-b-1=2z^3[/TEX]
Nếu 1 trong 3 số hoặc cả 3 số x;y;z<0 thì vt <0<8!!
Nếu 2 trong 3 số x;y;z<0. Giả sử đó là x;y ~>x+y<0~>2 (b - 1) <0 ~>b<1 (vô lí)
Nên ta chỉ xét trường hợp cả 3 số x;y;z>0
Vậy ta cần chứng minh[TEX] xyz\leq1[/TEX]
Ta sẽ chứng minh điều trên bằng phản chứng !!! @-)
Giả sử xyz[TEX]\geq1\Rightarrow xy\geq z[/TEX]
Ta có [TEX]x^3+y^3\geq xy(x+y)\geq\frac{x+y}{z}[/TEX]
~> [TEX]b-1\geq \frac{x+y}{z} [/TEX]
~> [TEX]b\geq \frac{x+y+z}{z}[/TEX]
~>[TEX]\frac{1}{b}\leq\frac{z}{x+y+z}[/TEX]

Tương tự ta cũng có :
[TEX]\frac{1}{c}\leq\frac{x}{x+y+z}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{a}\leq\frac{y}{x+y+z}[/TEX]
~> [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 1[/TEX]
~> Vô Lí!!!!!
Vậy giả sử sai ~> xyz[TEX]\leq1[/TEX]
Vậy ta có điều phải chứng minh!!

 

[viet_tranmaininh]

hjc. Mọi người thử làm bài này coi
Xét xem khẳng định sau đây đúng hay sai:
Với \forall m, n nguyên dương đều có :
[TEX]|\frac{m}{n} - sqrt{2}| \geq \frac{1}{n^2( \sqrt{3} +\sqrt{2})}[/TEX]

P/s: Đề sư phạm 97-98 (nếu có đáp án cũng post cho mình nhé!8-|8-|8-|)

 

[vodichhocmai]

Cho a, b, c, d >0. CMR

[TEX](1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\geq (1+ \sqrt[4]{abcd})^4[/TEX]

[TEX]\(1+a\)\(1+b\)\(1+c\)\(1+d\)=\[\(1+\sqrt{ab}\)^2+\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)^2\]\[\(1+\sqrt{cd}\)^2+\(\sqrt{c}-\sqrt{d}\)^2\][/TEX]

[TEX]=\[\(1+\sqrt[4]{abcd}\)^2+\(\sqrt[4]{ab}- \sqrt[4]{cd}\)^2 \]^2+\[\(1+\sqrt{cd}\)\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)\]^2+\[\(1+\sqrt{ab}\)\(\sqrt{c}-\sqrt{d}\)\]^2[/TEX]

[TEX]=\(1+\sqrt[4]{abcd}\)^4+\(\sqrt[4]{ab}- \sqrt[4]{cd}\)^4+ 2\[\(1+\sqrt[4]{abcd}\)\(\sqrt[4]{ab}-\sqrt[4]{cd}\)\]^2+\[\(1+\sqrt{cd}\)\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)\]^2+\[\(1+\sqrt{ab}\)\(\sqrt{c}-\sqrt{d}\)\]^2[/TEX]

 

[quyenuy0241]

[TEX]a,b,c>0, ab+bc+ac \ge 2abc [/TEX]


[TEX]Max?... S=(a-1)(b-1)(c-1) [/TEX]

 

[khanh_ndd]

:khi:

Mình chưa hiểu chỗ này lắm? [TEX]\geq \frac{(m+n+p)(mn+np+pm)}{9}[/TEX] (sao lại có cái này vậy bạn??)

đây là 1 bdt khá đẹp và quen thuộc [TEX]\frac{(m+n)(n+p)(p+m)}{8}\geq \frac{(m+n+p)(mn+np+pm)}{9}[/TEX]
chứng minh cái này chỉ cần nhân tung toé rồi AM-GM

Đặt [TEX]a+b - c - 1 =2x^3; b+c-a-1=2y^3; c+a-b-1=2z^3[/TEX]

cách đặt hơi bị siêu nhân

 

[01263812493]

Cho a, b, c, d >0. CMR

[TEX](1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\geq (1+ \sqrt[4]{abcd})^4[/TEX]

[TEX]\blue VT=1+a+b+c+d+ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+acd+bcd+abd \geq 1+4\sqrt[4]{abcd}+6\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}+4\sqrt[4]{a^3b^3c^3d^3}+abcd=(1+\sqrt[4]{abcd})^4 \rightarrow dpcm[/TEX]