[Toán 8]topic BĐT !

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Hix trong sách con j đó mới tặng có mí dạng như thế này =(( :x
Theo Cauchy
[TEX] \frac{a}{1+b^2} = a - \frac{ab^2}{1+b^2} \geq a - \frac{ab^2}{2b} = a - \frac{ab}{2}[/TEX]

Tương tự [TEX]\frac{b}{1+c^2} \geq b - \frac{bc}{2} [/TEX]

[TEX]\frac{c}{a^2+1} \geq c - \frac{ac}{2}[/TEX]

Cộng lai ta có
[TEX]\frac{a}{b^2 +1} + \frac{b}{1 +c^2} + \frac{c}{1 +a^2} \geq a+b+c - \frac{ab+bc+ca}{2}[/TEX]

Sau đó c/m ab+bc+ca \leq 3 là ok

p/s: cái này gọi là Kĩ thuật Cauchy ngược dấu :x

bài này còn cách nữa
cũng tách kiểu này nhưng mà k dùng Côsi ngược dấu
[TEX] \frac{a}{1+b^2} = a - \frac{ab^2}{1+b^2} \geq a - \frac{b}{2} [/TEX]
tương tự xây dựng đc 2 bđt nữa rồi cộng lại

 

[dethuongqua]

Thêm bài này!

[TEX] Cho a, b \geq 0. CM: (a+b)(a^3+b^3)(a^5+b^5) \leq 4(a^9+b^9) [/TEX]

 

[thienlong_cuong]

[TEX] Cho a, b \geq 0. CM: (a+b)(a^3+b^3)(a^5+b^5) \leq 4(a^9+b^9) [/TEX]

bài này sử dụng BDT
Với a , b dương
[TEX]a^{k + p} + b^{k +p} \geq a^kb^p + a^pb^k[/TEX]

Có
[TEX](a +b)(a^2 +b^2)(a^5 +b^5) = a^9 + b^9 + (a^4b^5 + a^5b^4) + (a^3b^6 + a^6b^3) + (ab^8 + a^8b) \leq 4(a^9 + b^9)[/TEX]

Ủa ! Sai gì ta ???? Ai chỉ tui với !

 

[nguyenkhanhchi]

bài này sử dụng BDT
Với a , b dương
[TEX]a^{k + p} + b^{k +p} \geq a^kb^p + a^pb^k[/TEX]

Có
[TEX](a +b)(a^2 +b^2)(a^5 +b^5) = a^9 + b^9 + (a^4b^5 + a^5b^4) + (a^3b^6 + a^6b^3) + (ab^8 + a^8b) \geq 4(a^9 + b^9)[/TEX]

Ủa ! Sai gì ta ???? Ai chỉ tui với !

Chỉ là nhầm dấu thôi mà, theo BĐT có [TEX]a^{k + p} + b^{k +p} \geq a^kb^p + a^pb^k[/TEX]
AD với k=4, p=5 thì [TEX]a^4b^5 + a^5b^4 \leq a^9+b^9[/TEX]
T.tự với những cái còn lại, tóm lại chỉ là nhầm cái dấu cuối thôi
À mà BĐT trên tên là gì nhỉ, hay bạn chỉ cho mình cách CM nó đc ko ??

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

[TEX]x^2+y^2+xy=1 \Rightarrow[/TEX]Min, Max [TEX]A=x^2+2y^2-xy = ? [/TEX]
/ tb

 

[cunkoibg]

[TEX]^2+y^2+xy=1 \Rightarrow[/TEX]Min, Max [TEX]A=x^2+2y^2-xy = ? [/TEX]
/ tb

cái mũ 2 j thế kia bạn. viết rõ 1 tý:-SS:-SS:-SS
_______________________________________

 

[thienlong_cuong]

Chỉ là nhầm dấu thôi mà, theo BĐT có [TEX]a^{k + p} + b^{k +p} \geq a^kb^p + a^pb^k[/TEX]
AD với k=4, p=5 thì [TEX]a^4b^5 + a^5b^4 \leq a^9+b^9[/TEX]
T.tự với những cái còn lại, tóm lại chỉ là nhầm cái dấu cuối thôi
À mà BĐT trên tên là gì nhỉ, hay bạn chỉ cho mình cách CM nó đc ko ??

Bạn cứ thử xét hiệu ! Dùng cái hằng đẳng thức [TEX]a^n - b^n = (a -b)(a^{n -1} + ... + b^{n -1})[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

cho [TEX]a , b ,c > 0[/TEX]
CMR :
[TEX]\frac{1}{a^3 +b^3 + abc} + \frac{1}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{1}{c^3 + a^3 + abc} \leq \frac{1}{abc}[/TEX]

p/s: Áp dụng cái BDT trên !

 

[01263812493]

cho [TEX]a , b ,c > 0[/TEX]
CMR :
[TEX]\frac{1}{a^3 +b^3 + abc} + \frac{1}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{1}{c^3 + a^3 + abc} \leq \frac{1}{abc}[/TEX]

p/s: Áp dụng cái BDT trên !

[TEX]\blue VT \leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)} =VP [/TEX]

Bài này trên 4rum post như cái biển vậy )

Cho Mấy Chú 1 Bài:
[TEX]\blue a,b,c >0. Prove: \ \sum \frac{a^2}{b^2+c^2} \geq \sum \frac{a}{b+c}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho Mấy Chú 1 Bài:
[TEX]\blue a,b,c >0. Prove: \ \sum \frac{a^2}{b^2+c^2} \geq \sum \frac{a}{b+c}[/TEX]

Mình không biết có đúng không , nếu sai mong mấy bạn thông cảm cho nha

giả sử [TEX]a\ge b\ge c[/TEX]

[TEX]\left{\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}= \frac{ab\(a-b\)+ca\(a-c\)}{\(b^2+c^2\)\(b+c\)}=\frac{TS_1+TS_2}{MS_{BC}}\\\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}= \frac{bc\(b-c\)+ba\(b-a\)}{\(c^2+a^2\)\(c+a\)}=\frac{TS_3+TS_4}{MS_{CA}}\\ \frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}= \frac{ca\(c-a\)+cb\(c-b\)}{\(a^2+b^2\)\(a+b\)}=\frac{TS_5+TS_6}{MS_{AB}}[/TEX]

Chúng ta lại luôn có :

[TEX]\left{\frac{TS_1}{MS_{BC}}+\frac{TS_4}{MS_{CA}}\ge 0 \\ \frac{TS_2}{MS_{BC}}+\frac{TS_5}{MS_{AB}} \ge 0\\ \frac{TS_3}{MS_{CA}}+\frac{TS_6}{MS_{AB}}\ge 0[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

[TEX]\blue VT \leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)} =VP [/TEX]


Cho Mấy Chú 1 Bài:

[TEX]\blue a,b,c >0. Prove: \ \sum \frac{a^2}{b^2+c^2} \geq \sum \frac{a}{b+c}[/TEX]

anh ơi ! Đề thế này thì em chịu ah` ! Phiền anh chỉ giáo và dịch cái đề cho dễ hiểu đc ko ạ !?

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Mình không biết có đúng không , nếu sai mong mấy bạn thông cảm cho nha

giả sử [TEX]a\ge b\ge c[/TEX]

[TEX]\left{\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}= \frac{ab\(a-b\)+ca\(a-c\)}{\(b^2+c^2\)\(b+c\)}=\frac{TS_1+TS_2}{MS_{BC}}\\\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}= \frac{bc\(b-c\)+ba\(b-a\)}{\(c^2+a^2\)\(c+a\)}=\frac{TS_3+TS_4}{MS_{CA}}\\ \frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}= \frac{ca\(c-a\)+cb\(c-b\)}{\(a^2+b^2\)\(a+b\)}=\frac{TS_5+TS_6}{MS_{AB}}[/TEX]

Chúng ta lại luôn có :

[TEX]\left{\frac{TS_1}{MS_{BC}}+\frac{TS_4}{MS_{CA}}\ge 0 \\ \frac{TS_2}{MS_{BC}}+\frac{TS_5}{MS_{AB}} \ge 0\\ \frac{TS_3}{MS_{CA}}+\frac{TS_6}{MS_{AB}}\ge 0[/TEX]

bài này hình như đọc ở đâu rồi
a, b, c k có vai trò như nhau thì phải
hình như cũng chuyển vế thế này rôi xét các trường hợp

 

[thienlong_cuong]

[TEX]3a - 5b = 8[/TEX]
CMR :
[TEX]7a^2 + 11b^2 \geq \frac{2464}{137}[/TEX]

 

[01263812493]

[TEX]3a - 5b = 8[/TEX]
CMR :
[TEX]7a^2 + 11b^2 \geq \frac{2464}{137}[/TEX]

[TEX]\huge \blue (3a-5b)^2=(\frac{3}{\sqrt{7}}\sqrt{7}a- \frac{5}{\sqrt{11}}\sqrt{11}b)^2 \leq (\frac{9}{7}+ \frac{25}{11})(7a^2+11b^2)[/TEX]
[TEX]\blue \huge \rightarrow 7a^2+11b^2 \geq \frac{64}{\frac{9}{7}+ \frac{25}{11}} =VP[/TEX]

anh ơi ! Đề thế này thì em chịu ah` ! Phiền anh chỉ giáo và dịch cái đề cho dễ hiểu đc ko ạ !?

Cái này là tổng hoán vị thoy em: [TEX]\blue \sum a=a+b+c; \sum \frac{a}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}[/TEX]

 

[nguyenkhanhchi]

bài này hình như đọc ở đâu rồi
a, b, c k có vai trò như nhau thì phải
hình như cũng chuyển vế thế này rôi xét các trường hợp

Vai trò a,b,c là như nhau đấy bạn à, khi hoán vị a->b->c thì đề bài ko thay đổi mà
p.s: Ai có cách nào mà ko cần xét hiệu ko

 

[thienlong_cuong]

Cho [TEX]x , y ,z > 0[/TEX]
CMR :
[TEX]x(\frac{x}{2} + \frac{1}{yz}) + y(\frac{y}{2} + \frac{1}{xz}) + z(\frac{z}{2} + \frac{1}{xy}) \geq 4,5 [/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho [TEX]x , y ,z > 0[/TEX]
CMR :
[TEX]x(\frac{x}{2} + \frac{1}{yz}) + y(\frac{y}{2} + \frac{1}{xz}) + z(\frac{z}{2} + \frac{1}{xy}) \geq 4,5 [/TEX]

[TEX]VT = (\frac{x^2}{2}+\frac{y}{2xz}+\frac{z}{2xy})+ (\frac{y^2}{2}+\frac{x}{2yz}+\frac{z}{2xy})+(\frac{z^2}{2}+\frac{y}{2xz}+\frac{x}{2zy})\geq VP[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

[TEX]VT = (\frac{x^2}{2}+\frac{y}{2xz}+\frac{z}{2xy})+ (\frac{y^2}{2}+\frac{x}{2yz}+\frac{z}{2xy})+(\frac{z^2}{2}+\frac{y}{2xz}+\frac{x}{2zy})\geq VP[/TEX]

Tui làm theo kiểu khác !

Tui tách
[TEX]\frac{1}{xy} = \frac{1}{2xy} + \frac{1}{2xy}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{xz} = \frac{1}{2xz} + \frac{1}{2xz}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{zy} = \frac{1}{2zy} + \frac{1}{2zy}[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho [TEX]x , y ,z > 0[/TEX]
CMR :
[TEX]x(\frac{x}{2} + \frac{1}{yz}) + y(\frac{y}{2} + \frac{1}{xz}) + z(\frac{z}{2} + \frac{1}{xy}) \geq 4,5 [/TEX]

tìm thêm đc 2 cách nữa
C1: [TEX]VT= \frac{x^2+y^2+z^2}{2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}[/TEX]
[TEX]\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}+\frac{xy+yz+zx}{xyz}[/TEX]
[TEX]= (\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x})+ (\frac{y^2}{2}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y})+ (\frac{z^2}{2}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z})[/TEX]
[TEX]\geq VT[/TEX]
C2: [TEX]VT=(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{2} +\frac{1}{xyz})[/TEX]
[TEX]= \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)(1+\frac{1}{xyz}+\frac{1}{xyz})[/TEX]
[TEX]\geq VP[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

cho [TEX]a , b ,c > 0[/TEX]
[TEX]ab + bc + ac = abc[/TEX]
CMR :
[TEX]\frac{\sqrt{b^2 + 2a^2}}{ab} + \frac{\sqrt{c^2 + 2b^2}}{bc} + \frac{\sqrt{a^2 + 2c^2}}{ac} \geq \sqrt{3}[/TEX]