[Toán 8]topic BĐT !

T

tuyn

Chú ý:[TEX]ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]1) \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ca} \geq \frac{(1+1+1+1)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca}=\frac{16}{(a+b+c)^2+(ab+bc+ca)} \geq 12[/TEX]
[TEX]2) \frac{2}{3}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}) \geq \frac{18}{3(ab+bc+ca)} \geq \frac{18}{3.\frac{1}{3}}=18[/TEX]
Cộng vế với vế là ra
 
C

conangbuongbinh_97

rảnh rỗi ko có việc làm post lên chơi!Dễ lắm!
__________________
Chứng minh BĐT:

[TEX]x^2_1+x^2_2+x^2_3+x^2_4+x^2_5\geq x_1(x_2+x_3+x_4+x_5)[/TEX]

(Đề thi chọn HSG Hà Nội năm 1985-1986)
 
J

jet_nguyen

conangbuongbinh_97 said:
rảnh rỗi ko có việc làm post lên chơi!Dễ lắm!
__________________
Chứng minh BĐT:

[TEX]x^2_1+x^2_2+x^2_3+x^2_4+x^2_5\geq x_1(x_2+x_3+x_4+x_5)[/TEX]

(Đề thi chọn HSG Hà Nội năm 1985-1986)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]x^2_1+x^2_2+x^2_3+x^2_4+x^2_5\geq x_1(x_2+x_3+x_4+x_5)[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]x^2_1+x^2_2+x^2_3+x^2_4+x^2_5- x_1(x_2+x_3+x_4+x_5) \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[tex] ({\frac{{x}_{1}}{4}}^{2}-x_1.x_2+x^2_2)+({\frac{{x}_{1}}{4}}^{2}-x_1.x_3+x^2_3)+({\frac{{x}_{1}}{4}}^{2}-x_1.x_4+x^2_4)+({\frac{{x}_{1}}{4}}^{2}-x_1.x_5+x^2_5) \geq 0[/tex]
\Leftrightarrow[TEX]{(\frac{x_1}{2}-x_2)}^{2}+{(\frac{x_1}{2}-x_3)}^{2}+{(\frac{x_1}{2}-x_4)}^{2}+{(\frac{x_1}{2}-x_5)}^{2} \geq 0[/TEX] (đúng ) \Rightarrow [TEX]dpcm[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
N

nang_ban_mai

Chứng minh rằng với n là số tự nhiên ta luôn có

[TEX]\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{n^2+(n+1)^2}<\frac{1}{2}[/TEX]

(Đề thi HSG năm 1980-1981)
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

nang_ban_mai said:
Phân tích đa thức thành nhân tử
[TEX]a) 4x^2 - 3x -1[/TEX]
[TEX]b) 3x^2 - 22xy - 4x + 8y + 7y^2 + 1[/TEX]
(Đề thi chuyên toán 8 ở Hà Nội năm 1992-1993)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Mình không biết đúng không . Mong bạn thổng cảm nha
[TEX]\left{4x^2 - 3x -1=\(x-1\)\(4x+1\)\\ 3x^2 - 22xy - 4x + 8y + 7y^2 + 1=\(x-7y-1\)\(3x-y-1\)[/TEX]
 
T

tuyn

nang_ban_mai said:
Chứng minh rằng với n là số tự nhiên ta luôn có

[TEX]S=\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{n^2+(n+1)^2}<\frac{1}{2}[/TEX]

(Đề thi HSG năm 1980-1981)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

ta có [TEX]k^2+(k+1)^2 > 2k(k+1) \Rightarrow \frac{1}{k^2+(k+1)^2} < \frac{1}{2k(k+1)}=\frac{1}{2}.(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})[/TEX].Cho k=0,1,2...n
[TEX]\Rightarrow S < \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+...+\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n+1}) < \frac{1}{2}[/TEX]
 
C

conangbuongbinh_97

nang_ban_mai said:
Chứng minh rằng với n là số tự nhiên ta luôn có

[TEX]\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{n^2+(n+1)^2}<\frac{1}{2}[/TEX]

(Đề thi HSG năm 1980-1981)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]4k^2-k^2-(k+1)^2=2k^2-2k-1<0 \Rightarrow (2k)^2<k^2+(k+1)^2\\\Rightarrow \frac{1}{k^2+(k+1)^2}<\frac{1}{(2k)^2}\\\Rightarro VT<\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\\frac{1}{(2n)^2}=\frac{1}{2^2}+\\\frac{1}{2^2.2^2}+\frac{1}{2^2.3^2}+...+\frac{1}{2^2.n^2}=\frac{1}{2^2}(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2})<\frac{1}{4}(1+1)=\frac 12 (dpcm)[/TEX]
______________

Dễ dàng c/m được

[TEX]\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<1[/TEX]

ai ko biết thì pm cho mink nha!
k là số tự nhiên
 
Last edited by a moderator:
T

thienlong_cuong

thêm 1 bài nhể nhả nữa nha !
Cho các số [TEX]a, b ,c > 0[/TEX]
[TEX]a + b + c = 1[/TEX]
Tìm Max [TEX]C = \frac{a}{a +1} + \frac{b}{b +1} + \frac{c}{c +1}[/TEX]
 
B

bangtuyethah

cách khác: C = 3-[1/(a+1)+1/(b+ 1)+1/ (1+c)]=C-B
áp dụng bu-nhi
B>=9/(a+b+c+3)=9/4
suy ra dccm
 
T

thienlong_cuong

Bài này ai xem xem đúng hay sai đề nha !
Cho các số [TEX]a , b ,c > 0[/TEX]
t/m : [TEX]a^k + b^k + c^k = 3[/TEX]
Tìm MAX [TEX]a +b + c[/TEX]
 
C

conangbuongbinh_97

ko hiểu cái BĐT đó!!!!!!!!!!!!!!!!!
Dấu "=" xảy ra khi nào!!!!!!!!!!!!!!!!!!
 
T

thienlong_cuong

áp dụng 1 cái ra ngay ý mà !
Dùng cái BDT gì đó => cái hệ quả này

[TEX]\frac{{x_1}^k + {x_2}^k + {x_3}^k + ... + {x_n}^k}{n} \geq (\frac{x_1 + x_2 + ...+ x_n}{n})^n[/TEX]
 
D

dnasasaki

Cm bđt

Mọi người cùng làm nhé:

Bài 1: Cho a, b, c >0 và [tex]\frac{a^2 .b}{c} + \frac{b^2 .c}{a} + \frac{c^2 .a}{b} = 3.[/tex]. CMR: [tex]\frac{a^6}{b^3}+\frac{b^6}{c^3}+\frac{c^6}{a^3}\ge 3[/tex]

Bài 2: Cho a, b, c > 0 và abc=a+b+c. CMR: [tex]\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3}\ge 3[/tex]
 
T

thienlong_cuong

Thêm bài nữa !

Cho a , b ,c là các số thực dương thoả mãn a +b +c = 3
CMR :
[TEX]\frac{a}{b^2 +1} + \frac{b}{1 +c^2} + \frac{c}{1 +a^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
 
T

thienlong_cuong

dnasasaki said:
Mọi người cùng làm nhé:

Bài 1: Cho a, b, c >0 và [tex]\frac{a^2 .b}{c} + \frac{b^2 .c}{a} + \frac{c^2 .a}{b} = 3.[/tex]. CMR: [tex]\frac{a^6}{b^3}+\frac{b^6}{c^3}+\frac{c^6}{a^3}\ge 3[/tex]

Bài 2: Cho a, b, c > 0 và abc=a+b+c. CMR: [tex]\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3}\ge 3[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

bài 2 mình ko hiểu lắm
Với [TEX]a = b = c = \sqrt[3]{3}[/TEX]
Thay vô nhưng sao ý ! Hình như không thoả mãn BDT !
 
H

hoa_giot_tuyet

thienlong_cuong said:
Cho a , b ,c là các số thực dương thoả mãn a +b +c = 3
CMR :
[TEX]\frac{a}{b^2 +1} + \frac{b}{1 +c^2} + \frac{c}{1 +a^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Hix :( trong sách con j đó mới tặng có mí dạng như thế này =(( :D :x
Theo Cauchy
[TEX] \frac{a}{1+b^2} = a - \frac{ab^2}{1+b^2} \geq a - \frac{ab^2}{2b} = a - \frac{ab}{2}[/TEX]

Tương tự [TEX]\frac{b}{1+c^2} \geq b - \frac{bc}{2} [/TEX]

[TEX]\frac{c}{a^2+1} \geq c - \frac{ac}{2}[/TEX]

Cộng lai ta có
[TEX]\frac{a}{b^2 +1} + \frac{b}{1 +c^2} + \frac{c}{1 +a^2} \geq a+b+c - \frac{ab+bc+ca}{2}[/TEX]

Sau đó c/m ab+bc+ca \leq 3 là ok

p/s: cái này gọi là Kĩ thuật Cauchy ngược dấu :x
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom