Toán Toán 8: Kiến thức cơ bản đến nâng cao

[maloimi456]

Bài 7: Cho x + \frac{1}{x} = 3. Tính :
[tex]a,A = x^2 + \frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=3^2-2=7[/tex]
[tex]b,B=x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2-1+\frac{1}{x^2})=3.(7-1)=18[/tex]
[tex]d,D = x-\frac{1}{x}[/tex]
Ta có: [tex]d,D = x^2+\frac{1}{x^2}=7[/tex]
[tex]=> x^2-2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=7-2[/tex]
[tex]=> (x-\frac{1}{x})^2=5[/tex]
[tex]=> x-\frac{1}{x}=\sqrt{5}[/tex]

 

[huyenlinh7ctqp]

Bây giờ đến bài tập nâng cao nha mọi người !

Phép nhân đa thức ( tiếp )
1. Tìm Min
a, A = [tex](x+2)^2+3[/tex]
b, B = [tex]x^2 + 4x + 7[/tex]
c, C = [tex]x^2-6x+10[/tex]
d, D = [tex]4x^2 -6x + 9[/tex]
e, E = [tex]x^2+x+1[/tex]
g, G = [tex]2x^2+3x+5[/tex]
f, F = [tex]3x^2 + 5x+7[/tex]
h, H = [tex](x+1)^2+(x-3)^2[/tex]
2. Tìm Max
a, A = [tex]6+2x-x^2[/tex]
b, B = [tex]12+4x-4x^2[/tex]
c, C = [tex]x-x^2[/tex]
d, D = [tex]1-3x-2x^2[/tex]
e, E = [tex]9-6x-2x^2[/tex]
3. Tìm Min
a, A = [tex](x-1)(x-3)[/tex]
b, B = [tex](x-1)(x-3)(x-5)(x-7)[/tex]
c, C = [tex](x+1)(x+2)(x+3)(x+4)[/tex]

............................ Còn tiếp !

 

[maloimi456]

3. Tìm Min
[tex]a, A = (x-1)(x-3)=x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-1=(x-2)^2-1\geq -1[/tex]
[tex]=> A_{min}= -1 <=> x=2[/tex]

[tex]b, B = (x-1)(x-3)(x-5)(x-7) [/tex]
[tex]B=(x-1)(x-7).(x-3)(x-5) [/tex]
[tex]B=(x^2-8x+7)(x^2-8x+15)[/tex]
Đặt [tex]x^2-8x+7=a[/tex]
[tex]=>B=a(a+8)[/tex]
[tex]=>B=a^2+8a[/tex]
[tex]=>B=a^2+8a+16-16[/tex]
[tex]=>B=(a+4)^2-16 \geq -16[/tex]
[tex]=> B_{min}= -16 <=> a=-4 <=>x^2-8x+7=4=>x=4+\sqrt{13}[/tex] hoặc [tex]x=4-\sqrt{13}[/tex]

 

[quynhphamdq]

Bây giờ đến bài tập nâng cao nha mọi người !

Phép nhân đa thức ( tiếp )
1. Tìm Min
a, A = [tex](x+2)^2+3[/tex]
b, B = [tex]x^2 + 4x + 7[/tex]
c, C = [tex]x^2-6x+10[/tex]
d, D = [tex]4x^2 -6x + 9[/tex]
e, E = [tex]x^2+x+1[/tex]
g, G = [tex]2x^2+3x+5[/tex]
f, F = [tex]3x^2 + 5x+7[/tex]
h, H = [tex](x+1)^2+(x-3)^2[/tex]

1.
a,Ta có : A = [tex](x+2)^2+3[/tex]
Vì [tex](x+2)^2\geq 0[/tex] => A = [tex](x+2)^2+3 \geq 3[/tex]
Dấu (=) xảy ra khi x=-2
Vậy Min A= 3 khi x=-2
b.Ta có :B = [tex]x^2 + 4x + 7 = x^2+4x+4+3=(x+2)^2+3 [/tex]
Vì [tex](x+2)^2\geq 0[/tex] => B= [tex](x+2)^2+3 \geq 3[/tex]
Dấu (=) xảy ra khi x=-2
Vậy Min B= 3 khi khi x=-2
c, Ta có : C = [tex]x^2-6x+10=x^2-6x+9+1=(x-3)^2+1[/tex]
Vì [tex](x-3^2\geq 0[/tex] => C= [tex](x-3)^2+1\geq 1[/tex]
Dấu (=) xảy ra khi x=3
Vậy Min C= 1 khi khi x=3
d. D = [tex]4x^2 -6x + 9[/tex]
[tex]=4(x^2-2.\frac{3}{4}x+\frac{9}{16})+\frac{27}{4}=4(x-\frac{3}{4})^2+\frac{27}{4}[/tex]
Vì [tex]=4(x-\frac{3}{4})^2\geq 0[/tex] => D= [tex]4(x-\frac{3}{4})^2+\frac{27}{4} \geq \frac{27}{4}[/tex]
Dấu (=) xảy ra khi$ x=\frac{3}{4}$
Vậy $Min D =\frac{27}{4}$ khi khi x=$\frac{3}{4}$

 

[maloimi456]

3. Tìm Min
[tex]c, C = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)[/tex]
[tex]C=(x+1)(x+4).(x+2)(x+3)[/tex]
[tex]C=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)[/tex]
Đặt [tex] x^2+5x+4=a[/tex]
[tex]=> C = a(a+2)=a^2+2a=(a+1)^2-1\geq-1[/tex]
[tex]=> C_{min}=-1 <=> a=-1<=>x^2+5x+4=-1=>x=\frac{-5-\sqrt{5}}{2}[/tex] hoặc [tex]x=\frac{-5+\sqrt{5}}{2}[/tex]
1. Tìm Min
[tex]a, A = (x+2)^2+3\geq 3[/tex]
[tex]=> A_{min}=3 <=> x=-2[/tex]

[tex]b, B = x^2 + 4x + 7=(x+2)^2+3\geq 3[/tex]
[tex]=> B_{min}=3 <=> x=-2[/tex]

[tex]c, C = x^2-6x+10=(x-3)^2+1\geq 1[/tex]
[tex]=> C_{min}=1 <=> x=3[/tex]

 

[huyenlinh7ctqp]

Bây giờ đến bài tập nâng cao nha mọi người !

Phép nhân đa thức ( tiếp )
1. Tìm Min
a, A = [tex](x+2)^2+3[/tex]
b, B = [tex]x^2 + 4x + 7[/tex]
c, C = [tex]x^2-6x+10[/tex]
d, D = [tex]4x^2 -6x + 9[/tex]
e, E = [tex]x^2+x+1[/tex]
g, G = [tex]2x^2+3x+5[/tex]
f, F = [tex]3x^2 + 5x+7[/tex]
h, H = [tex](x+1)^2+(x-3)^2[/tex]
2. Tìm Max
a, A = [tex]6+2x-x^2[/tex]
b, B = [tex]12+4x-4x^2[/tex]
c, C = [tex]x-x^2[/tex]
d, D = [tex]1-3x-2x^2[/tex]
e, E = [tex]9-6x-2x^2[/tex]
3. Tìm Min
a, A = [tex](x-1)(x-3)[/tex]
b, B = [tex](x-1)(x-3)(x-5)(x-7)[/tex]
c, C = [tex](x+1)(x+2)(x+3)(x+4)[/tex]

............................ Còn tiếp !

Các câu còn lại : 1e, g, f, h và bài 2 . Cảm ơn 2 chị @quynhphamdq và @maloimi456 nhiều nha !

 

[quangkhai2811]

Bài 1.
e. [tex]x^{2}+ x + 1 = (x^{2}+2x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4})+\frac{3}{4}[/tex]
[tex]=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}[/tex]
Vì
[tex](x+\frac{1}{2})^{2}\geq 0 \Rightarrow (x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex]
Vậy Min E = [tex]\frac{3}{4}[/tex] khi [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex]

 

[maloimi456]

Cảm ơn 2 chị @quynhphamdq và @maloimi456 nhiều nha !

Anh chứ ko phải chị nha.

2. Tìm Max
a, A = 6+2x-x^2
b, B = 12+4x-4x^2
c, C = x-x^2
d, D = 1-3x-2x^2
e, E = 9-6x-2x^2

[tex]a,A = 6+2x-x^2=-(x^2-2x+1)+7=-(x-1)^2+7\leq 7[/tex]
[tex]=> A_{max}=7<=>x=1[/tex]

[tex]b, B = 12+4x-4x^2=-(4x^2-4x+1)+13=-(2x-1)^2+13\geq 13[/tex]
[tex]=> B_{max}=13<=>x= \frac{1}{2}[/tex]

[tex]c,C=x-x^2=-(x^2-x+\frac{1}{4})+\frac{1}{4}=-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}\leq \frac{1}{4}[/tex]
[tex]=> C_{max}=\frac{1}{4}<=>x= \frac{1}{2}[/tex]

[tex]d, D = 1-3x-2x^2=-2(x^2+\frac{3}{2}+\frac{9}{16})+\frac{17}{8}=-2(x+\frac{3}{4})^2+\frac{17}{8}\leq \frac{17}{8}[/tex]
[tex]=> D_{max}=\frac{17}{8}<=>x= \frac{-3}{4}[/tex]

[tex]e, E = 9-6x-2x^2=-2(x^2+3x+\frac{9}{4})+13,5=-2(x+\frac{3}{2})^2+13,5\leq 13,5[/tex]
[tex]=> E_{max}=13,5<=>x= \frac{-3}{2}[/tex]

 

[huyenlinh7ctqp]

@maloimi456 Hì ! Em xin lỗi nha !

4. CMR :
[tex]A = x^2-xy+y^2 \geq 0[/tex] ( với mọi x, y )
5. Tìm Min
a, [tex]A = x^2+y^2-2x+4y+8[/tex]
b, [tex]B=2x^2+5y^2-4xy-4x-2y+12[/tex]
6. Tìm x, y
a, [tex]x^2+2y^2-4x+4y+6=0[/tex]
b, [tex]x^2+y^2+1=x+y+xy[/tex]
7. Tìm x, y, z > 0 thỏa mãn
[tex]x^4+y^4+z^4+1=4xyz[/tex]

Các bạn làm zui zẻ nhé ! Cảm ơn mọi người đã ủng hộ em !

 

[maloimi456]

Bóc tem nào

4. CMR :
[tex]A = x^2-xy+y^2 \geq 0[/tex] ( với mọi x, y )

[tex]A = x^2-xy+y^2=x^2-2.x.\frac{y}{2}+\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}[/tex]
Vì [tex](x-\frac{y}{2})^2\geq 0[/tex] (với mọi x,y)
[tex]\frac{3y^2}{4}\geq 0[/tex] (với mọi y)
Nên [tex]A\geq 0[/tex] (đpcm)

 

[quynhphamdq]

@maloimi456 Hì ! Em xin lỗi nha !

4. CMR :
[tex]A = x^2-xy+y^2 \geq 0[/tex] ( với mọi x, y )

Các bạn làm zui zẻ nhé ! Cảm ơn mọi người đã ủng hộ em !

Ta có:
[tex]A = x^2-xy+y^2 = (x^2-2.\frac{xy}{2}+\frac{1}{4}y^2)+\frac{3}{4}y^2= (x-\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2 \geq 0 (đpcm)[/tex]
Dấu (=) xảy ra khi $x=0, y=0$

 

[huyenlinh7ctqp]

Bóc tem nào

[tex]A = x^2-xy+y^2=x^2-2.x.\frac{y}{2}+\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}[/tex]
Vì [tex](x-\frac{y}{2})^2\geq 0[/tex] (với mọi x,y)
[tex]\frac{3y^2}{4}\geq 0[/tex] (với mọi y)
Nên [tex]A\geq 0[/tex] (đpcm)

Ta có:
[tex]\dpi{120} A = x^2-xy+y^2 = (x^2-2.\frac{xy}{2}+\frac{1}{4}y^2)+\frac{3}{4}y^2= (x-\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2 \geq 0 (đpcm)[/tex]
Dấu (=) xảy ra khi $x=0, y=0$

2 người đều chọn bài khó nhất làm trước ! Khâm phục, khâm phục JFBQ00160070208A

 

[maloimi456]

Ta có:
[tex]\dpi{120} A = x^2-xy+y^2 = (x^2-2.\frac{xy}{2}+\frac{1}{4}y^2)+\frac{3}{4}y^2= (x-\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2 \geq 0 (đpcm)[/tex]
Dấu (=) xảy ra khi $x=0, y=0$

Sửa lại Latex chị ơi

 

[quynhphamdq]

@maloimi456 Hì ! Em xin lỗi nha !


5. Tìm Min
a, [tex]A = x^2+y^2-2x+4y+8[/tex]
b, [tex]B=2x^2+5y^2-4xy-4x-2y+12[/tex]
Các bạn làm zui zẻ nhé ! Cảm ơn mọi người đã ủng hộ em !

5.
a. Ta có : [tex]A = x^2+y^2-2x+4y+8= x^2-2x+1+y^2+4y+4+3=(x-1)^2+(y+2)^2+3[/tex]
Vì [tex](x-1)^2\geq 0 , (x+2)^2\geq 0[/tex] => [tex]A = (x-1)^2+(y+2)^2+3 \geq 3 [/tex]
Dấu (=) xảy ra khi $x=1$;$y=-2$
Vậy Min A = 3 khi $x=1$;$y=-2$

 

[maloimi456]

Em làm bài 6 nha. Đừng cướp của em nha chị @quynhphamdq

 

[maloimi456]

6. Tìm x, y
a, [tex]x^2+2y^2-4x+4y+6=0[/tex]
b, [tex]x^2+y^2+1=x+y+xy[/tex]

a, [tex]x^2+2y^2-4x+4y+6=0[/tex]
[tex]<=>(x^2-4x+4)+2(y^2+2y+1)=0[/tex]
[tex]<=>(x-2)^2+2(y+1)^2=0[/tex]
Mà [tex](x-2)^2 \geq 0[/tex]
[tex]2(y+1)^2 \geq 0[/tex]
Nên [tex]\left\{\begin{matrix} (x-2)^2=0 \\ 2(y+1)^2 = 0 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]=> x=2, y=-1[/tex]

b, [tex]x^2+y^2+1=x+y+xy[/tex]
[tex]<=>2x^2+2y^2+2-2x-2y-2xy=0[/tex]
[tex]<=>(x^2-2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)=0[/tex]
[tex]<=>(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=0[/tex]
[tex]=>x=y=1[/tex]

 

[quynhphamdq]

Em làm bài 6 nha. Đừng cướp của em nha chị @quynhphamdq

Vậy chị làm cho xong bài 5
Tưởng d đnag làm nên nthui

 

[maloimi456]

Vậy chị làm cho xong bài 5
Tưởng d đnag làm nên nthui

Ok. E mệt lắm rồi. Nhường cho chị đó

 

[quynhphamdq]

@maloimi456 Hì ! Em xin lỗi nha !
5

b, [tex]B=2x^2+5y^2-4xy-4x-2y+12[/tex]

Các bạn làm zui zẻ nhé ! Cảm ơn mọi người đã ủng hộ em !

b, TA có: B=[tex]2x^2+5y^2-4xy-4x-2y+12[/tex]
[tex]= x^2-4xy+4y^2 +x^2-4x+4+y^2-2y+1+7=(x-2y)^2+(x-2)^2+(y-1)^2+7[/tex]
Vì [tex](x-2y)^2\geq 0 , (x-2)^2\geq 0, (y-1)^2\geq 0[/tex] => B=[tex](x-2y)^2+(x-2)^2+(y-1)^2+7\geq7[/tex]
Dấu (=) xảy ra khi $x=2 , y=1$
Vậy Min B = 7 khi $x=2,y=1$

 

[huyenlinh7ctqp]

Oe, mọi người làm em ra đề không kịp nữa ! Nhưng em thích thế nè hơn là bị bơ ! Mọi người ủng hộ em típ nha !

Ôn tập
1. Cho A = [tex]\frac{5x-y}{3x+7}-\frac{3y-2x}{2y-7}[/tex]. Tính A với 2x - y =7
2. Tính B = [tex]\frac{x+y}{x-y}[/tex] với [tex]\left\{\begin{matrix} x > y>0 & & \\ 2x^2+2y^2 = 5xy & & \end{matrix}\right.[/tex]
3. Tính C = [tex]\frac{3x-2y}{3x+2y}[/tex] với [tex]\left\{\begin{matrix} 3x >2y>0 & & \\ 9x^2+4y^2=20xy & & \end{matrix}\right.[/tex]
4. Tính D = [tex]\frac{2x+3y}{3x+4y}[/tex] với [tex]\left\{\begin{matrix} x, y>0 & & \\ 9x^2+4y^2=20xy & & \end{matrix}\right.[/tex]
5. CMR [tex](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca[/tex]

Còn tiếp ............................................................