[Toán 8] đại chiến : War mathematical

[linhhuyenvuong]

Nguyên văn bởi hoa_giot_tuyet
Góp vui nè

1. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn

C/m

3. Cho a,b,c >o thoả

. C/m a+b+c \geq ab+bc+ca

p/s: đố bây điểm chung của mấy bài này là gì =))


1,
Áp dụng [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq\frac{4}{a+b}[/TEX]
Ta có:
[TEX]\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \leq\frac{1}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z})=\frac{1}{4}.(\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{x+z})=\frac{1}{2}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac {1}{y+z}) \leq \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+ \frac{2}{z} )= 1[/TEX]

 

[hoa_giot_tuyet]

Nguyên văn bởi hoa_giot_tuyet
Góp vui nè

1. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn

C/m

3. Cho a,b,c >o thoả

. C/m a+b+c \geq ab+bc+ca

p/s: đố bây điểm chung của mấy bài này là gì =))


1,
Áp dụng [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq\frac{4}{a+b}[/TEX]
Ta có:
[TEX]\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \leq\frac{1}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z})=\frac{1}{4}.(\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{x+z})=\frac{1}{2}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac {1}{y+z}) \leq \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+ \frac{2}{z} )= 1[/TEX]

Liệu có cách nào sử dụng Bunyakovsky vì bài này là đang học trong chuyên đề BĐT đó (

Bài 1: Dùng Svacxo là hệ quả của Cauchy-Schwarz
[tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{16}{2x+y+z} [/tex]
Bài 2: Ta có:
[tex] ( a+b+1)(a+b+c^2) \ge (a+b+c)^2 [/tex]
nên từ giả thuyết suy ra :
[tex]a^2 + b^2 + c^2 + 2(a+b+c) \ge ( a+ b + c)^2 [/tex]
Từ đó có điều phải chứng minh

 

[linhhuyenvuong]

Liệu có cách nào sử dụng Bunyakovsky vì bài này là đang học trong chuyên đề BĐT đó (

_____________________-
Ta có:
[TEX] \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \leq \frac{1}{2\sqrt{2x.(y+z)}}+\frac{1}{2.\sqrt{2y.(x+z)}}+\frac{1}{2.\sqrt{2z(x+y)}}=(\frac{1}{2\sqrt{2x}}.\frac{1}{\sqrt{(y+z)}}+\frac{1} {2 \sqrt{2y}}.\frac{1}{\sqrt{(x+z)}}+\frac{1}{2.\sqrt{2z}}.\frac{1}{\sqrt{(x+y)}}) \leq (\frac{1}{8x}+\frac{1}{8y}+\frac{1}{8z}). (\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}) \leq \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+ \frac{2}{z} )=1 [/TEX]

 

[quynhnhung81]

Thêm một bài nữa nè (lây oy không post đề )

Cho hai số thực x,y #0.CMR:
[TEX]\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \geq 3[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Thêm một bài nữa nè (lây oy không post đề )

Cho hai số thực x,y #0.CMR:
[TEX]\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \geq 3[/TEX]

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=101733&page=4

 

[thuyduong1851998]

ai mún thì chém bài này nè
CMR trong 1 tứ giác lồi thì hai đường chéo cắt nhau và ngược lại.

boy nào giỏi thì chém đi

 

[thienlong_cuong]

Bài 1 (Đo IQ )
cho 1 cái bể nước có 3 cái lỗ !
1 cái lỗ có đg kính 20 cm ; 2 cái lỗ có đg kính 10 cm !
Hỏi xả 1 lúc 2 lỗ có đg kính 10cm hay xả mỗi một mình lỗ có đg kính 20 cm thì cách nào nhanh hơn ! Chứng minh!


Bài 2 :
Có 17 nhà Bác học viết thư cho nhau . Mỗi người viết thư cho tất cả những nhà bác họic khác ! Các thư trao đỏi chỉ nói về 3 đề tài . Từng cặp nhà bác học chỉ viết thư cho nhau về cùng 1 đề tài !
CMR : Ko ít hơn 3 người viết thư cho nhau cùng 1 đề tài !


Bài 3 :
(đè thi )
Cho 1 lục giác đều , độ dài mỗi cạnh là 2 . Cho 81 điểm bất kì nằm trong đa giác !
CMR : Luôn có 1 hình vuồng cạnh là 1 chứa ít nhất 6 điểm bên trong nó (kể cả biên) !

 

[phuong95_online]

Bài 1 (Đo IQ )
Bài 2 :
Có 17 nhà Bác học viết thư cho nhau . Mỗi người viết thư cho tất cả những nhà bác họic khác ! Các thư trao đỏi chỉ nói về 3 đề tài . Từng cặp nhà bác học chỉ viết thư cho nhau về cùng 1 đề tài !
CMR : Ko ít hơn 3 người viết thư cho nhau cùng 1 đề tài !

bài 2 đề thi hsg cụm chị năm ngoái thì phải ) chém liền tay
mỗi nhà bác học trao đổi với 16 ng` còn lại về ba đề tài nên theo nguyên lý drichlet có ít nhất 6 ng` trao đổi về cùng 1 đè tài
TH1 6 ng` có cùng 1 cặp trao đổi về đề tài --->dpcm
TH2,6 n`g đó chỉ trao đổi về hai đề tài.1 ng` trao đổi với 5 ng` còn lại mà có 2 đề tài nên theo nguyên lý drichlet có ít nhất 3 ng` trao đổi cùng 1 đề tài
vậy.....

 

[hoa_giot_tuyet]

Bài 1 (Đo IQ )
cho 1 cái bể nước có 3 cái lỗ !
1 cái lỗ có đg kính 20 cm ; 2 cái lỗ có đg kính 10 cm !
Hỏi xả 1 lúc 2 lỗ có đg kính 10cm hay xả mỗi một mình lỗ có đg kính 20 cm thì cách nào nhanh hơn ! Chứng minh!

IQ thấp (thấp hơn cả tb người việt =)) )

Nếu ko nhầm thì chắc là so sánh diện tích 2 lỗ

Đặt a = 5 cm cho dễ nhìn

Diện tích lỗ 20 cm là [TEX](2a)^2 . 3,14[/TEX] (nếu nhớ k nhầm công thức ()

Diện tích 2 lỗ 10 cm [TEX]2.a^2.3,14[/TEX]

So sánh là thấy lỗ 20 nhanh hơn

 

[thienlong_cuong]

Bài 3 đại khái tui làm thế này nhưng ko chắc !
Tính S hình lục giác đều đó
Tính S mỗi hình vuông
Theo như tui tính đc thì ta có thể chia lục giác đó thành 11 hình vuông !
Trong khi đó có 81 điểm , Vậy thì luôn luôn có ít nhất 7 điểm trong 1 hình !
(p/s: đề họ nói phải chứng minh ít nhất có 6 điểm trong 1 hình ! Nhưng giờ lại chứng minh mạnh hơn , có tới ít nhất 7 điểm ! oh my god !Nghi ngờ lắm !

 

[thienlong_cuong]

Cho 1 bài nữa nè : cho x y z = (x y)(y z)(z x). CMR : xyz chia hết 27

 

[longlxag123]

................................................Anh góp 1 bài cho vui:
c/m : n^7-n chia hết cho 7

 

[khanhtoan_qb]

................................................Anh góp 1 bài cho vui:
c/m : [TEX]n^7 - n [/TEX]chia hết cho 7

Ta có 7 là số nguyên tố \Rightarrow áp dụng định lí Féc ma có [TEX]n^7 - n[/TEX]chia hết cho 7(*)

 

[longlxag123]

Oh dear, bảo chú c/m cái định lí nhỏ của Fermat trong trường hợp này chứ ai bảo chú lôi cái đ/l ấy ra. :khi (153):

 

[billy9797]

Cho 1 bài nữa nè : cho x y z = (x y)(y z)(z x). CMR : xyz chia hết 27

ko hiểu cái đề,mấy cái khoảng trống ở giữa là dấu gì

 

[khanhtoan_qb]

Oh dear, bảo chú c/m cái định lí nhỏ của Fermat trong trường hợp này chứ ai bảo chú lôi cái đ/l ấy ra.

Không áp dụng định lí Féc ma thì chứng minh theo truyền thống thui
ta có [TEX]n^7 - n = n(n^6 - 1) = n (n^3 - 1)(n^3 + 1) [/TEX]
TH1 : n = 7k + 1
\Rightarrow[TEX]n^3 - 1 [/TEX]chia hết cho 7
TH2 : n = 7k + 2
\Rightarrow[TEX]n^3 - 1[/TEX] chia hết cho 7
TH3: n = 7k + 3
\Rightarrow[TEX]n^3 + 1[/TEX]chia hết cho 7
TH4: n = 7k + 4
\Rightarrow[TEX]n^3 - 1[/TEX]chia hết cho 7
TH5: n = 7k + 5
\Rightarrow[TEX]n^3 + 1[/TEX]chia hết cho 7
TH6 : n = 7k + 6
\Rightarrow[TEX]n^3 + 1[/TEX]chia hết cho 7
Th7 n = 7k \Rightarrow n chia hết cho 7
\Rightarrow [TEX]n(n^3 - 1)(n^3 + 1)[/TEX]chia hết cho 7 với mọi n (*)(*)(*)(*)

 

[longlxag123]

Chà, mấy chú lớp 8 học ghê nhở, bonus 1 bài nữa:
Tìm Max & Min của hảm số
y= x + [tex] \sqrt{2-x^2}[/tex]

 

[khanhtoan_qb]

Chà, mấy chú lớp 8 học ghê nhở, bonus 1 bài nữa:
Tìm Max & Min của hảm số
y= x + [tex] \sqrt{2-x^2}[/tex]

Tui mới chỉ tìm ra Min thui, nhưng không biết có đúng không nhỉ:
ta có [TEX]y_{Min} \Leftrightarrow y^2_{Min}[/TEX]
Ta có [TEX]y^2 = x^2 + 2 - x^2 + 2\sqrt{x(2 - x^2)} = 2 + 2\sqrt{x(2 - x^2)}[/TEX]
[TEX]\sqrt{x(2 - x^2)} \geq 0[/TEX]
\Rightarrow[TEX]y^2_{Min} = 2 \Leftrightarrow x(2 - x^2) = 0 \Leftrightarrow x = 0...hoac x^2 = 2[/TEX]
thử lần lượt từng gt ta thấy [TEX]y_{min} = -\sqrt{2} \Leftrightarrow x = -\sqrt{2}[/TEX]
p/s : có đúng không nhỉ, mò lung tung đó (*)(*)(*)

Tui mới lên lớp 9 thui, thế nên bạn ra cho tui mấy bài lớp 8 đi

 

[thienlong_cuong]

Chà, mấy chú lớp 8 học ghê nhở, bonus 1 bài nữa:
Tìm Max & Min của hảm số
y= x + [tex] \sqrt{2-x^2}[/tex]

ẹc ! Cauchy schawarz

[TEX]y^2 \leq (x^2 + 2 -x^2)(1 +1) = 4[/TEX]
[TEX] \Rightarrow y \geq -2[/TEX]
và
[TEX]y \leq 2[/TEX]

OK men !

 

[thienlong_cuong]

Thêm 1 thằng cha khó nhai nè !

Cho tam giác ABC vuông cân ở A
ĐG cao AD
Trên AD lấy M (tuỳ ý)
Từ M kẻ MK và MH vuông góc với AB ; AC
TỪ K kẻ KF vuông góc vs HD

Tìm MAX tam giác AFB